出具审计报告初中数学校本教材完整版

2020年11月28日发(作者：毛楚哲)
初中数学校本教材完整版
初中数学校本教材

————
《生活与数学》序言

一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”
《数学课程标准》中指出：“数学可以 帮助人们更好地探求客观世界
的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进< br>而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反
作用于社会，社会生活与 数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，
我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于 生活，又运用于
生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通
生活中 的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的
具体事例，激发学生学习数学的求知欲 ，帮助学生更好的理解和掌握数学
基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。
二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”
数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力 成就，也是人类心灵
最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人
心 弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一
切。” 美作为现实的事物和现象 ，物质产品和精神产品、艺术作品等属
性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新 颖性。
作为精神产品的数学就具有上述美的特点。
简练、精确是数学的美。数学的基本定理说 法简约，却又涵盖真理，
让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是
精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数
学思想，这种简洁性有助于思 维的效率。
数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数
学还能训练人 的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步
都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美 。抽象给我们想象的余地，
让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗
数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，像
圆， 正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这
些点对称、线对称、面对称，才构成 了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天
工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。
初中数学校本教材完整版
中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要
我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要
善于挖掘美的素材，在 学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味
深厚。
三、把握校本教材的可读性-------“使教学有拓展性”
陶行知先生早就说过：“在现 状下，把学习的基本自由还给学生。”，
经过我们反复的思考和研究，同时邀请专家亲临指点，最终我们 确定本课
程的基本框架，本课程的设计理念就是要“把学习的基本自由还给学生”，
所有的过程 基本上都是以学生的活动展开的，真正实现“自主、合作、探
究”的学习方式的变革，本课程共分为六个 章节，分别是：《古老的数学》，
《好玩的数学》，《有用的数学》，《智慧的数学》，《先进的数学》 和
《美丽的数学》。
在《古老的数学》一章中，并不是把数学史作为一门研究数学的起源、< br>发展过程和规律的学科，而是根据现代心理学发现的一个体现数学史的认
知功能的“遗传法则”。 从数学一次又一次的飞跃中寻找数学发现的故事，
用故事的形式让学生了解这些数学知识产生的背景、体 会数学家们为寻找
这些知识的付出的艰辛。这样一方面可以让学生从本质上更好的理解自己
所学 的知识；另一方面也可以以此作为人生观与价值观教育的教材，让学
生体会“只有付出努力才会获得成功 的人生道理”，“为实现理想而不懈
追求的数学精神”。
在《好玩的数学》一章中，利用心理 学中“兴趣是学习最好的老师”
的规律，以一系列数学游戏为载体，让学生感受到数学并不是“枯燥”的
代名词，真正的数学其实可以是乐趣无穷的，以此来激发学生的学习兴趣，
并以这种兴趣作为他 以后学习数学的动力和源泉。这样一方面可以让学生
主动意识到自己爱玩的游戏原来与数学紧密相连，从 而为学生学好数学培
养内在驱动力；另一方面，也可以在学生玩游戏的过程中帮助学生巩固看
似 乏味的知识，让学生的学科知识在游戏中得到锻炼和提升。
在《有用的数学》一章中，根据《数学课程 标准》：义务教育阶段的
数学课程要求“人人学有价值的数学”，设计了很多贴近学生、符合实际、利用学生现有知识能够解决的生活实例。这样做可以使学生深刻的感受到
生活中处处存在着数学，数 学来源于生活。这些在生活中经常碰到的数学
问题需要我们去探究，学生通过对这些数学问题的解决，能 够更具体更深
刻的理解什么是数学，知道学习和学好数学是很有用的，从而进一步培养
学生学习 数学的兴趣、增强学生学好数学的内在驱动力。
在《智慧的数学》一章中，通过穿插一些有趣的数学小 故事,以改变
人们认为科学研究枯燥无味的看法。本章内容主要包括有趣的数学问题、
初中数学 校本教材完整版
经典的数学问题、奇怪的数学问题。通过对“有趣的数学问题”的研究，
使学 生对数学中的存在的智慧产生强烈的好奇与追求，从而激发学生天生
的求知欲；通过对“经典的数学问题 ”的研究使学生掌握一些基本的数学
方法，学会用数学的方法解决问题；通过对“奇怪的数学问题”的研 究，
帮助学生开阔眼界，增长知识、锻炼和培养学生的创新思维。
在《先进的数学》一章中， 主要学习和研究数学软件“几何画板”的
使用方法。通过对几何画板软件的学习，可以激发学生的学习兴 趣，拓宽
学生的知识面，改变学生“数学枯燥论”和“数学无用论”的观点；可以
开发学生的学 习潜能，培养学生的学习习惯，改变学生的学习方式，从而
实现提高学生数学素养的目的；另外，通过对 几何画板软件的学习，可为
学生学习其他计算机软件打下了一个结实的基础，从而提高学生的电脑素养，为学生终身发展和可持续发展做出数学教育上的贡献。
在《美丽的数学》一章中，展示给大家 的是数学的美丽无所不在，数
学的符号、公式、算法、图形、表格、方程、解题思路、解题方法……都< br>是很美丽的。这些“数学之美”都需要我们能够和我们的学生一起去寻找、
去发现、去挖掘、去欣 赏，使美丽的数学成为学生快乐学习的源泉。数学
的美丽使我们深刻感受到数学的教育不应该仅仅是作为 对数学学科的教
学，更应该把它作为一种审美教育的载体，用它来感染和启迪学生的心灵，
让学 生的人格更健全，心灵更美好。
开发校本课程要有高度的责任感、使命感和强烈的事业心，决不能仅< br>仅凭着自己的兴趣，更重要的是要把它作为自己的事业来做，要付出艰辛
的努力、经历痛苦的历程 ，只有付出艰辛的努力、经历痛苦的历程才能在
这个过程中感受成功的喜悦与幸福。
开发校本 课程，首先要有一个追求（对我们国家的教育事业无比热爱，
功利心不能太强，不要一说到数学研究就问 这件事情对我职称评审有没有
用，对我评骨干教师有没有用……），要确定一个核心思想（即开发的核< br>心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校内外各类资源，要不断地
进行课程资源的积累和课 程特色的培育；校本课程的规划要根据学生的课
程需要来制订；要选择贴近时代特点、社会发展与学生实 际的课程内容，
要变革教学方式和学习方式，充分发挥师生的独立性、自主性和创造性，
引导学 生在身心愉悦的环境中实践和研究。
校本课程的开发和建设是一个漫长的道路，需要我们时时刻刻做一 个
有心人，心中时时刻刻装着为学生的终身发展和可持续发展考虑，装着为
我们数学教学向数学 教育转变服务的理想和追求。


初中数学校本教材完整版
第一章 兴趣数学

第一节 七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如
图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中
两支流间的陆地D与A、B、 C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中
流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥 只走过一次，
最后回到出发点大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问
题。




七桥问题引起了着名数学家欧拉（1707—1783）的 关注。他把具体七
桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：
怎 样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔
不离开纸，而且a、b、c、d 、e、f、g各条线
只画一次不准重复），并且最后返回起点
欧拉经过研究得出的结论是： 图是不能一笔画出的图形。这就是说，
七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢
如果我们从 某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除
起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画 进该点的一条线和画出该
点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那
初中数学校本教材完整版
么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，
都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终
点是不同的两个点，那么这 两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，
或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3 条线相连结，图
中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不
能一笔 画出这个图形。
欧拉定理?：?
如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，
那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：
■⒈凡是由偶点组成的连 通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点
为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点 ，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔
画成。)







初中数学校本教材完整版
练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗试试看。（不走重
复线路）
图例1








图例2






图例3









图例4










初中数学校本教材完整版
第二节
四色问题
人人都熟悉地图，可是绘制 一张普通的政区图，至少需要几种颜色，
才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一 个简单的
问题了。
这个地图着色问题，是一个着名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所
有省份都区别开来。所以， 很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着
色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名 称的由来。










四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的 内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边
界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示， 即“将平面任意地细分为
不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（上右图）。
这里所指的相邻区域，是指有一整 段边界是公共的。如果两个区域只
相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色 不
会引起混淆。
初中数学校本教材完整版
数学史上正式提出“四色问题”的时间是 在1852年。当时伦敦的大
学的一名学生法朗西斯向他的老师、着名数学家、伦敦大学数学教授莫根< br>提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答
案。于是从那时起，这个 问题便成为数学界的一个“悬案”。
一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布 了一件
震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利
用电子计算机证 明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地
图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问 题，然后在电子计算机上计
算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题，
轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家
将 他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加
盖了“四色足够”的特制邮戳，以 庆祝这一难题获得解决。









初中数学校本教材完整版
第三节
麦比乌斯带
上 流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾
相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一 种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最
后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样 粘
如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个，势必要涂完一个面再重新涂另
一个面，不符合涂抹 的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做的
纸圈儿呢
对于这样一个看来十分简单的问 题，数百年间，曾有许多进行了认真
研究，结果都没有成功。后来，的麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他 长时
间专心思索、，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去 散步。新鲜的空
气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找
到的圈 儿。
一片片肥大的叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主
地蹲下去，摆 弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成的，他随
便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向成一个圆 圈儿，他惊喜地发现，这“绿
色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。
麦比乌斯回到 办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端
的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个 面的纸圈儿。
圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小，放在上面让它爬。结果，小甲虫
不翻 越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正
的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个 圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就
这样被发现了。
做几个简单的实验，就会发现“麦 比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇
而有趣的结果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入 口被
堵住了,原理就是这样啊.
实验一
如果在裁好的一张纸条正中间画一条 线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿
线剪开，把这个圈，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大
圈儿。
初中数学校本教材完整版
实验二
如果在纸条上划两条线， 把纸条三，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀
沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪 开后的结果
是什么，是一个大圈还是三个圈儿都不是。它究竟是什么呢你自己动手做
这个实验就 知道了。你就会惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相
扣环。
有趣的是：新得到 的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的
两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以 把上述纸圈，再一
次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，
而原 先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不
打结罢了。





奇妙之处有三：
一、麦比乌斯环只存在一个面。
二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦 比乌
斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环（在本文中将之编号为：环0），
而不是形成两个 麦比乌斯环或两个其它形式的环。
三、如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一 样的、
具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的（在本文中将之编号
为：环1和环2 ），从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间
剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成 两个与环0空间一样的、具
有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。
数学中有一个重要分支叫，主要 是研究连续改变形状时的一些特征
和规律的，麦比乌斯圈变成了学中最有趣的单侧面问题之一。
麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了，，生产中。运用麦比乌斯圈原
理我们可以建造和，避免车辆行人 的拥堵。
初中数学校本教材完整版
一、1979年，美国着名轮胎公司创造性地把传送 带制成麦比乌斯圈形
状，这样一来，整条传送带各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面
受 损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。
二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的 墨点，为充
分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。
三、在美国着名肯尼森 林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车
——它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰 。
四、麦比乌斯圈循环往复的特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此
常被用于各类标志设 计。厂商Power Architecture的商标就是一条麦比
乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。


垃圾回收标志
Power Architecture 标志








第四节
分割图形
初中数学校本教材完整版
分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。
我们先来看一个简单的分割图形的题目──分割正方形。
在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分
成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。
用4条线段还可以把一个正方形分成10 块，只是和九宫格不同的是，
每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10< br>块呢请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画
其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。








练习：想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗应该怎样分











第五节
数学故事
初中数学校本教材完整版
（1）奇特的墓志铭
在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几 何图形：一个
圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米 德生前最为欣赏的一个定理。
在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位 数值。这个数
值被叫做。”鲁道夫数”。它是鲁道夫毕生心血 的结晶。
大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他 的墓碑上刻
上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形 的尺规作图后，才决定
献身于数学研究的……
不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番 图的。他的墓碑
上刻着一道谜语般的数学题： “过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他
生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的
1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子，孩子活到他 父亲一半的年纪
便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年，也结束了尘
世生涯。过路人，你知道丢 番图的年纪吗”
丢番图的年纪究竟有多大呢
设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只
要解出这个方程就行了。
这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁 就得解一个一
元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人 们，不要忘记了丢番图献身
的事业。
在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待 遇到的所有数
学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一 个大代数学家，喜欢用代数
的方法来 解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方
程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知 道了。他尤其擅长解答不定方
程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学 分支的开山鼻
初中数学校本教材完整版
祖。
丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关 于他的生平。
后人几乎一无所知，既不知道他生于何地， 也不知道他卒于何时。幸亏
有了这段奇特的墓志铭，才知 道他曾享有84岁的高龄。
（2）希腊十字架问题
图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切< br>割问题，下面是其中的三个。
(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;





有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再 把它们拼成一个正方
形，下图给出了其中的一个解法。 奇妙的是，任何两条切割直线，只要
与 图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼
出一个正方形。
(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;
(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其 长是宽的两倍。





第二章 最完美的数
初中数学校本教材完整版
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意
到:
数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14
接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
若2
n
-1是素数,则数
2n-1[2n-1] (1) 是完全数. < br>两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅
森数(形式为
2? 1
的素数)之间建立了紧密的联系,到1999年6
n
月1日为止,共发现了38个梅 森素数,这就是说已发现了38个完全数.
1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如 每个完全数都
是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.
6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+...+31=31*32/2 ....
2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2

n-1nnnn
2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一
定是1;它们都是连续奇 数的立方和(6除外),
2
2
(2
3
-1)=28=1
3
+3
3

初中数学校本教材完整版
2(2-1)=496=1+3+5+7
2(2-1)=8128=1+3+5+7+9+11+13+15 ....
2(2 -1)=1+3+5+...+(2
n-1n333(n+1)/2
6733333333453333
-1)
3
3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,
比如:
1
/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 ....
4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.
注意 以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,
如果真的存在奇完全数.







第三章 有理数的巧算
初中数学校本教材完整版
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理
解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、
迅速地进行运算．不仅如此，还要善 于根据题目条件，将推理与计
算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高
运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
1．括号的使用
在代数运算中，可以 根据运算法则和运算律，去掉或者添上括
号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1 计算：


分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+” 与“-”具有了
双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负
数的性质符号 ．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的
运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．


初中数学校本教材完整版

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成
假分数，这样便于计算．

例2 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析 直接计算很麻 烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计
算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别 结合起来计算．
解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的
常用技巧．

例3 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次
运算，所得可能的最小非负数是多少

初中数学校本教材完整版
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的 个数有关，
所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会
改变和的 奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即
有999个奇数，所以任意添加符号 “+”或“-”之后，所得的代数
和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，
显然
n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．
这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再
按上述规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(5+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计
算大大简化．



2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2)×(100-2)
=100×100-2×100+2×100-4
初中数学校本教材完整版
=1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换
2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b2， ①
这个公式叫 平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式
的证明过程，可直接利用该公式计算．

例4 计算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)
=30002-12=8 999 999．

例5 计算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)
=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 计算：


初中数学校本教材完整版
分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个
连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那
么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应
用平方差公式化简得
n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，
即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，
若在(2+1)前面有一 个(2-1)，就可以连续递进地运用
(a+b)(a-b)=a2-b2了．
解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×
(216+1)(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……
=(232-1)(232+1) =264-1．

例8 计算：


分析 在前面的例题中，应用过公式
初中数学校本教材完整版
(a+b)(a-b)=a2-b2．
这个公式也可以反着使用，即
a2-b2=(a+b)(a-b)．
本题就是一个例子．


通过以上例题可以看到，用字母表示数给我 们的计算带来很大的
益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也
可使计算 简化．

例9计算：


我们用一个字母表示它以简化计算．

初中数学校本教材完整版






1．

观察算式找规律
例10 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的
总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较 大，粗略地
估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的
数取“正”， 小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这
样会大大简化运算．所以总分为
90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)
+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)
+2+5+(-2)
=1800-1=1799，
平均分为 90+(-1)÷20=．

例11 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．

初中数学校本教材完整版
分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差
都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和
都等于2000，于是可有 如下解法．
解 用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999． ①
再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1． ②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)
=2000+2000+…+2000+2000(1000个2000)
=2000×1000．
从而有 S=1000 000．
说明 一般地，一列数，如 果从第二项开始，后项减前项的差都相等
(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都 等于2)，那么，这列数的求
和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．



例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．
分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果
将和式各项都乘以5， 所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相
同，于是两式相减将使差易于计算．
初中数学校本教材完整版
解 设
S=1+5+52+…+599+5100， ①
所以
5S=5+52+53+…+5100+5101． ②
②—①得
4S=5101-1，

说明 如果一列数，从第二项起 每一项与前一项之比都相等(本例中
是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法
来解决．


例14 计算：




分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很
繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．

解 由于


初中数学校本教材完整版
所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相
反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

练习
1．计算下列各式的值：
(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；
(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
(3)1991×1999-1990×2000；
(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+…+244；


2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均
分．
81，72，77， 83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，
76，91，86，78，7 4，85．

初中数学校本教材完整版

第四章?归纳与发现
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是
数学中发现命题与发现解题思路的一 种重要手段．这里的归纳指的是常用
的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观 察入
手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经
验的共同特征，从 而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举
几个例题，以见一般．
例1 如 图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一
层；第二层每边有两个点(相邻两边公用 一个点)；第三层每边有三个点，…
这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点这个点阵共有多少 个点

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有
的点数． 第一层有点数：1；
初中数学校本教材完整版
第二层有点数：1×6；
第三层有点数：2×6；
第四层有点数：3×6；
……
第n层有点数：(n-1)×6.
因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

例2 在平面上 有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个
圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共 点，那么试问：
初中数学校本教材完整版

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域
(2)这n个圆共有多少个交点
分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，
5个(取这n个特定的 圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个
为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知
初中数学校本教材完整版
S
2
-S
1
=2，
S
3
-S
2
＝3，
S
4
-S
3
＝4，
S
5
-S
4
＝5，
……
由此，不难推测
S
n
-S
n-1
＝n．
把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到
S
n
-S
1
＝2＋3＋4＋…＋n，
因为S
1
=2，所以

初中数学校本教材完整版

正确性略作说明．
下面对S
n
-S
n-1
=n，即Sn
=S
n-1
＋n的
因为S
n-1
为n-1个圆把 平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n
个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交， 所以这个圆就被
前n-1个圆分成n部分，加在S
n-1
上，所以有S
n=S
n-1
＋n．
(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列
出表18．2．

初中数学校本教材完整版
由表18．2容易发现
a
1
＝1，
a
2
-a
1
＝1，
n个式子相加
a
3
-a
2
＝2，
a
4
-a
3
＝3，
a
5
-a
4
＝4，
……
a
n-1
-a
n-2
＝n-2，
a
n
-a
n-1
＝n-1．