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firmenich初中数学知识全解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-28 02:09
tags:数学, 初中教育

面试自我介绍技巧-控制不住自己的感情

2020年11月28日发(作者:汤义方)
【初中数学知识结构图】
1、有理数(正数与负数)
2、数轴
6、有理数的概念 3、相反数
4、绝对值
5、有理数从大到小的比较
7、有理数的加法、加法运算律
17、有理数 8、有理数的减法
9、有理数的加减混合运算
10、有理数的乘法、乘法运算律
16、有理数的运算 11、有理数的除法、倒数
12、有理数的乘方









198


数 193
学 数























13、有理数的混合运算
21、代数式 14、科学记数法、近似数与有效数字
22、列代数式 15、用计算器进行简单的数的运算
23、代数式的值 18、单项式
27、整式的加减 20、整式的概念 19、多项式
24、合并同类项
25、去括号与添括号
26、整式的加减法
28、等式及其基本性质
29、方程和方程的解、解方程
32、一元一次方程 30、一元一次方程及其解法
31、一元一次方程的应用 33、代入(消元)法
35、二元一次方程组的解法 34、加减(消元)法
36、相关概念及性质
39、二元一次方程组 37、三元一次方程组及其解法举例
38、一元方程组的应用 40、一元一次不等式及其解法
45、一元一次不等式 43、一元一次不等式 41、不等式的解集
和一元一次不等式组 44、一元一次不等式组 42、不等式和它的基本性质
46、同底数幂的乘法、单项式的乘法
47、幂的乘方、积的乘方
51、整式的乘法 48、单项式与多项式相乘
49、多项式的乘法
56、整式的乘除 50、平方差与完全平方公式
52、多项式除以单项式
55、整式的除法 53、单项式除以单项式
54、同底数幂的除法
57、提取公因式法
61、方法 58、运用公式法
63、因式分解 59、分组分解法
62、意义 60、其他分解法 66、含字母系数的一元
65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算 一次方程
72、分式 69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用 67、分式方程解法、
70、分式的意义和性质 增根
71、分式的加减法 68、分式方程的应用
75、数的开方 73、平方根与立方根
74、实数
86、二次根式的意义 76、最简二次根式
79、二次根式的乘除法 77、二次根式的除法





































78、二次根式的乘法
87、二次根式 82、二次根式的加减法 80、二次根式的加减法
81、同类二次根式
85、二次根式的混合运算 83、二次根式的混合运算
84、有理化因式
88、直接开平方法
89、配方法
193 93、一元一次方程的解法 90、公式法
198 数 98、一元二次方程的意义 91、因式分解法
初 与 100、二元二次方程组 92、一元二次方式根的判别法
中 代 102、一元二次方程 99、*一元二次方程的根与系数的关系
数 数 94、分式方程的解法
学 97、可化为一元二次方程 95、*无理方程的意义、解法
的分式方程和无理方程 96、分式方程、无理方程的应用
101、一元二次方程的应用
103、一次函数与一元一次不等式
106、一次函数 104、一次函数图象的图象和性质
105、正比例函数的图象和性质
108、二次函数 ——107、二次函数的有关概念
113、函数及其图象 109、平面直角坐标系
110、函数
111、函数的图象
112、反比例函数

116、 线段、角 114、线段
115、角 117、相交线、对顶角、邻角、补角
120、相交线 118、垂线、点到直线的距离
119、同位角、内错角、同旁内角
126、相交、平行 123、平行线 121、平行线概念及性质
122、平行线的判定
124、空间直线、平面的位置关系
125、命题、公理、定理 127、三角形三边关系
129、与三角有关的边 128、三角形的相关概念及分类、
134、全等三角形 角平分、中线、高
135、等腰三角形
133、直角三角形——132、勾股定理
131、与三角形有关的角、 130、三角形的内角
136、轴对称 139、平行四边形的概念及其性质
138、三角形 137、基本作图 140、平行四边形的判定
144、平行四边形 141、矩形的概念、性质和判定
149、多边形 142、菱形的概念、性质和判定
151、四边形 150、中心对称 143、正方形的概念、性质和判定
145、梯形的相关概念
148、梯 形 146、等腰梯形的概念、性质和判定


194 147、三角形、梯形的中位线

空 156、比例线段
间 158、相似图形 157、相似多边形 152、相似三角形的相关概念
198 与 155、相似三角形 153、三角形相似的判定
初 图 154、相似三角形的性质
中 形 161、解直角三角形 159、解直角三角形
数 163、解直角三角形 160、解直角三角形的应用公式
学 162、锐角三角形
164、圆的有关概念及对称性
165、点和圆的位置关系
166、过不在同一直线上三点的圆
172、圆的有关性质 167、三角形的外接圆
168、垂径定理及其逆定理
169、圆心角、弧、弦、弦心距
185、圆 170、圆周角定理
171、圆内接四边形及其性质
173、直线和圆的位置关系
177、直线和圆的位置关系 174、切线的判定和性质
175、三角形的内切圆
176、切线长定理
179、正多边形和圆 ——178、正多边形的有关计算
180、圆周长、弧长
183、弧长和扇形面积 181、圆、扇形、弓形的面积
182、圆柱和圆锥的侧面展开图、侧面积
184、圆和圆的位置关系
186、几何体、几何图形
187、平均数
191、统计初步 188、众数和中位数
195、统计与概率 189、级差、方差、标准差
190、频数、频率、频率分布直方图
192、概率初步———概率计算
196、中考复习
197、总复习








【初中数学知识结构图】
1、有理数(正数与负数)
2、数轴
6、有理数的概念 3、相反数
4、绝对值
5、有理数从大到小的比较
7、有理数的加法、加法运算律
17、有理数 8、有理数的减法
9、有理数的加减混合运算
10、有理数的乘法、乘法运算律
16、有理数的运算 11、有理数的除法、倒数
12、有理数的乘方
13、有理数的混合运算
21、代数式 14、科学记数法、近似数与有效数字
22、列代数式 15、用计算器进行简单的数的运算
23、代数式的值 18、单项式
27、整式的加减 20、整式的概念 19、多项式
24、合并同类项
25、去括号与添括号
26、整式的加减法
28、等式及其基本性质
29、方程和方程的解、解方程
198 32、一元一次方程 30、一元一次方程及其解法
初 31、一元一次方程的应用 33、代入(消元)法

数 193
学 数































198



35、二元一次方程组的解法 34、加减(消元)法
36、相关概念及性质
39、二元一次方程组 37、三元一次方程组及其解法举例
38、一元方程组的应用 40、一元一次不等式及其解法
45、一元一次不等式 43、一元一次不等式 41、不等式的解集
和一元一次不等式组 44、一元一次不等式组 42、不等式和它的基本性质
46、同底数幂的乘法、单项式的乘法
47、幂的乘方、积的乘方
51、整式的乘法 48、单项式与多项式相乘
49、多项式的乘法
56、整式的乘除 50、平方差与完全平方公式
52、多项式除以单项式
55、整式的除法 53、单项式除以单项式
54、同底数幂的除法
57、提取公因式法
61、方法 58、运用公式法
63、因式分解 59、分组分解法
62、意义 60、其他分解法 66、含字母系数的一元
65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算 一次方程
72、分式 69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用 67、分式方程解法、
70、分式的意义和性质 增根
71、分式的加减法 68、分式方程的应用
75、数的开方 73、平方根与立方根
74、实数
86、二次根式的意义 76、最简二次根式
79、二次根式的乘除法 77、二次根式的除法
78、二次根式的乘法
87、二次根式 82、二次根式的加减法 80、二次根式的加减法
81、同类二次根式
85、二次根式的混合运算 83、二次根式的混合运算
84、有理化因式
88、直接开平方法
89、配方法
193 93、一元一次方程的解法 90、公式法
数 98、一元二次方程的意义 91、因式分解法
与 100、二元二次方程组 92、一元二次方式根的判别法
代 102、一元二次方程 99、*一元二次方程的根与系数的关系
数 94、分式方程的解法






































学 97、可化为一元二次方程 95、*无理方程的意义、解法
的分式方程和无理方程 96、分式方程、无理方程的应用
101、一元二次方程的应用
103、一次函数与一元一次不等式
106、一次函数 104、一次函数图象的图象和性质
105、正比例函数的图象和性质
108、二次函数 ——107、二次函数的有关概念
113、函数及其图象 109、平面直角坐标系
110、函数
111、函数的图象
112、反比例函数






















198







116、 线段、角 114、线段
115、角 117、相交线、对顶角、邻角、补角
120、相交线 118、垂线、点到直线的距离
119、同位角、内错角、同旁内角
126、相交、平行 123、平行线 121、平行线概念及性质
122、平行线的判定
124、空间直线、平面的位置关系
125、命题、公理、定理 127、三角形三边关系
129、与三角有关的边 128、三角形的相关概念及分类、
134、全等三角形 角平分、中线、高
135、等腰三角形
133、直角三角形——132、勾股定理
131、与三角形有关的角、 130、三角形的内角
136、轴对称 139、平行四边形的概念及其性质
138、三角形 137、基本作图 140、平行四边形的判定
144、平行四边形 141、矩形的概念、性质和判定
149、多边形 142、菱形的概念、性质和判定
151、四边形 150、中心对称 143、正方形的概念、性质和判定
145、梯形的相关概念
148、梯 形 146、等腰梯形的概念、性质和判定

194 147、三角形、梯形的中位线

空 156、比例线段
间 158、相似图形 157、相似多边形 152、相似三角形的相关概念
与 155、相似三角形 153、三角形相似的判定
图 154、相似三角形的性质
形 161、解直角三角形 159、解直角三角形
163、解直角三角形 160、解直角三角形的应用公式
162、锐角三角形
164、圆的有关概念及对称性
165、点和圆的位置关系
166、过不在同一直线上三点的圆
172、圆的有关性质 167、三角形的外接圆
168、垂径定理及其逆定理
169、圆心角、弧、弦、弦心距
185、圆 170、圆周角定理




























171、圆内接四边形及其性质
173、直线和圆的位置关系
177、直线和圆的位置关系 174、切线的判定和性质
175、三角形的内切圆
176、切线长定理
179、正多边形和圆 ——178、正多边形的有关计算
180、圆周长、弧长
183、弧长和扇形面积 181、圆、扇形、弓形的面积
182、圆柱和圆锥的侧面展开图、侧面积
184、圆和圆的位置关系
186、几何体、几何图形
187、平均数
191、统计初步 188、众数和中位数
195、统计与概率 189、级差、方差、标准差
190、频数、频率、频率分布直方图
192、概率初步———概率计算
196、中考复习
197、总复习











知识框架















专题一 实数
按定义分

正整数
整数

正分数

负整数
负分数


分数
有理数的分类
按正负分
数轴定义








有理数的概念

数轴
相反数
数轴与有理数的关系

绝对值的几何意义

绝对值
近似值

绝对值法
绝对值的代数意义





有理数

比较有理数大小
数轴法






加减法





乘除法
实数





无理数







乘方



运算率





交换率
结合率
分配率

正无理数
负无理数

无限不循环小数

如:π,3.3…等

(一)有理数的意义
基础知识讲解
1、 正数和负数的意义

?
3
1
?0.1
在正数前面加上“-”的
,? 17,1.8,10000等大于0的数(?通常省略不写)叫
正数。像—5,
—3,
4
2
数叫负数,负数小于0。0既不是正数也不是负数,但它是整数
?
15
例:下列数中,哪些是非正数?哪些是非负数?
?3.14,24,?17,?7,,
?
,?0.101,?2,0,?2009,20%.

216
例.一个数前面添上号,一定是负数 ............( )


2、 具有相反意义的量
我国有一座世界最高峰——珠穆朗玛峰,高度比海平面高 8848米,在新疆境内,还有一个吐鲁番盆地,高度比海平面
底155米,若海平面的高度为零度,则 它们的高度分别如何表示?我们把一种意义的量规定为正的,(如比海平面高8848
记为+8848) ,把另一种和它意义相反的量规定为负的(如比海平面低155记为-155),于是产生了正数和负数。 注意:用正数和负数表示具有相反意义的量时,那种意义的量规定为正可以任意选定的,一旦选定一种意义的 量为正,
则另一种相反意义的量只能为负。
例1.如果向东走36米几座+36,那么向西走28m记作( )
例2.“某块石英手表一个月内误差不超过
?2
秒”这句话的含义是
( )
例3. 不用负数,说明下列语句的实际意义:
(1)向南走-100米;
(2)气温升高-12
?c

(3)成本增加-450元;
(4)运进-107吨煤。



3、 有理数的分类

……正整数

……零
1,2,3

……负整数

11
,,5.2
…… 正分
23


15
…… 负分

?,?,?3.5

56






例不大于5的正整数是______________,
不小于–2.6的负整数是_____________。
不小于–3的非正整数是___________,
不大于5的非负整数是____________。

答案:
小于或等于5的…… 5,4,3,2,1;
大于或等于……–2,–1。
大于或等于……–3,–2,–1,0;
小于或等于……5,4,3,2,1,0。

4、 数轴
(1)、
规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴。所有 的实数都可以用数轴上的点来表示。也
可以用数轴来比较两个实数的大小。
(2)、在数轴上表示的两个数,正方向的数大于负方向的数。
(3)、正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。

(4)、数轴是一 种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要
素,这三者缺一不可.

例1.比较大小:-6 -8.(填“<”、“=”或“>”)
例2. 实数
a,b
在数轴上对应点的位置如图所示,则a b.(填“>”、“<”或“=”)


0
b
a




5、 绝对值
(1)、数轴上一个数所对应的点与原点(O点)的距离叫做该数绝对值。绝对值只能为非负数。 (2)、
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,(注:相反数为正负号的转 变)即:

|a|=a(a>0)
|a|=-a(a<0)
|a|=0(a=0)

例1. -3的绝对值是
A.3 B.-3 C.
1
D.
?
1

3
3

例2.
6、 相反数
(1)、概念:只有符号不同的两个数,绝对值相等叫做互为相反数。当a,b都等于0时,才有a=b ,也就是说0
的相反数是0。
(2)、两个实数a和b满足b=﹣a。我们就说b是a的相反 数。此时,b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a,那么我们
就说“相反数具有互称性”;
(3)、两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。 实数a和b满足a+b=0,则这两个实数a,b互为相反数
例1.
例2.
3与? 3互为相反数,因为3?-3且3+(-3)=0
a?b与
?
a?2
?
2
互为相反数,求a,b的值。

解:因为a?b与
?
a?2?
2
互为相反数
?
a?2
?
2
?0所以a?b ?
?
a?2
?
2
?0又因为a?b?0,
所以a?2?0,
所以a?2,
a?b?0
b??2
(-3)
2
的相反数是
A. 6 B. -6 C. 9 D. -9
答案:D


7、 倒数
倒数:1除以一个不 等于0的实数所得的数,叫做这个实数的倒数。0没有倒数。若a,b互为倒数
则ab?1
11 1
例3.3与互为倒数,因为1?3?且3??1
333

8、 近似数与有效数字
近似数与有效数字
近似数:按要求四舍五入法所得数。
有效数字: 指从左边第一个不为0的数字起到精确到的数位为止的所有数字。
例4.0.004650的有效数字有 四位,分别是4,6,5,0
10.00010的有效数字是7位,分别是1,0,0,0,0,1,0





9、科学计数法
N?a?10n
例5.
例6.
(1?a?10,n为正整数)
4640万人用科学记数 法表示为4.64?10
7


将300670用科学记数法表示为:3.0067?10
5

10、有理数大小的比较
(1)、法一:利用数轴比较有理数的大小
归纳: 利用数轴比较有理数大小的步骤: ①画数轴;②描点;③有序排列;④不等号连接.
例1 在数轴上表示数5, 0, -4, -1,并比较它们的大小,将它们按从小
到大的顺序用“<”号连接。
对应训练:
1. 在数轴上表示下列和数,并比较它们的大小。
1
① 2和7;②-6和-1;③-6和-36 ④-
2
和-1.5

(2)、法二: 利用绝对值比较有理数的大小
归纳:两个负数比较大小,绝对值大的反而小,绝对值小的反而大.
例2 比较下列每对数的大小,并说明理由.
(1) 1与-10; (2) -0.001与0; (3) -8与+2
3
32
(4) -
4
和-
3
(5) -(+
5
)与-︱-0.8︱
例3用><或填空:
5
2

____0
② -5______0 ③
_______2.5

2
3
7
④ -2 ____-13 ⑤
?_____?4

3


结论:两个负数比较大小的一般步骤:
① 求绝对值; ②比较绝对值的大小; ③比较负数的大小.

















(二)有理数的运算及技巧
基础知识讲解
1、 有理数的加减
1. 运算法则
① 加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加
异号两数相加,取绝对值大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数与0相加仍得这个数。

② 加法运算规律
交换律:
a?b?b?a
结合律:
(a?b)?c?a?(b?c)

③ 减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数
④ 加法与减法可以相互转化。
例1. 计算
12
(1).(?)?(?)
33
12
??(?)
3 3
??1
?-(10.8?10.7)
??0.1
(3).(?6)?0?? 6(0与任何数相加,仍得这个数)
(互为相反数的两个数相加和为0)
44
(4). 52?(?52)?0
77
(同号相加)
(取相同符号,并把绝对值相加)
( 2).(-10.8)?(?10.7)( 异号相加)

(取绝对值大的数的符号,并用较大 的绝对值减较小的绝对值)
注:对有理数进行加法运算时,应先判断这两个数是同号还是异号,然后判断 是绝对值的和还是绝对值的差。


注:减去一个数等于加上这个数的相反数。 < br>3212
例3.(1)(?)?(31)?(?)?(?31)
4545
312 2
?(?)?(?)?(31)?31
4455
??1
263
(2) (?59.8)?(?)?(?12.8)?
55
632

?(59.8?1 2.8)?(?)
55
?60
注:注意观察是否能够“凑整”与“抵消”。
例4:
|5.5|-|-8+3|-(-|(-15.5)+(1.55)|)

答案:
17.55

加减法混合运算





例5.一个水井,水面比井口低3m,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次 爬了0.5m后又往
下滑了0.1m,第二次往上爬了0.42m,却又下滑了0.15m,第三次上爬 了0.7m,却又下滑了0.15m,
第四次往上爬了0.75m,却又下滑了0.1m,第五次往上爬 了0.55m,没有下滑,第六次往上爬了
0.48m,问蜗牛有没有爬出井口?
解:因为0. 5-0.1+0.42?0.15?0.7?0.15?0.75?0.1?0.55?0.48?2.9?3< br>所以蜗牛没有爬出井口。
注:把往上爬的距离用正数表示,下滑的距离用负数表示。


2、 有理数的乘除
(1) 乘法的运算规律
交换律:
a?b?b?a
分配律:
a(b?c)?ab?ac
结合律:
(ab)c?a(bc)

例:计算:

例:

(2) 除法的运算规律
除以一个数相当于乘以这个数的倒数。如:
a? b?a?
1332
例6.计算?2.5?0.75?(?)?(?1)?(?1.4)?(?) ?
5453
171432
??2.5?0.75?????
541053
10171032
???????
3541453
1
??3
1a
?

bb
注:乘除运算时要注意确,定结果的符号,正正 得正,负负得正,正负得负,奇数个负数相乘除,结果为负;偶数个
负数相乘除,结果为正。通常要把小 数化为分数,带分数化为假分数,把除法转化为乘法。能约分的尽量约分。
熟记:
0.125 ?
例7.计算
1
8
0.25?
1
4
0.375?< br>3
8
0.75?
3

4
1?2?3?2?4?6?7 ?14?21
1?3?5?2?6?10?7?21?35
1?2?3?
?
1 ?2?2?2?7?7?7
?
?

1?3?5?(1?2?2?2?7?7? 7)
2
?
5
注:进行四则运算时,若有公因数,一般可将公因数提出,然后进 行运算。当提出的公因数带负号时,提取后各项的
符号都要改变。
例8.计算
111 111
?????
248163264
11111111
??????(?) ?
2481632646464
1111111
?????(?)?
2481 6323264

?
??
111
?(?)?
226463
?
64
注:通过观察,后一项是前一项的一半,把后一项加上它本身,就可得 到前一项的值,因此添了一个辅助数
添上
11
后,不能忘记还应减去。
64 64
(2)1?2?3?4?5?6?
?
?2001?2002
?(1?2) ?(3?4)?(5?6)?
?
?(2001?2002)
?(?1)?(?1)?( ?1)?
?
?(?1)
??1001
1
,当然
64
例9.(1)计算1?2?3?4?
?
?2001?2002
(1?2002)?20 02
?
2
?2005003
说明:第(1)小题的特点,后一项减前一项的差 都相等,这样的一列数叫等差数列,即若一列
数a
1
,a
2
,
?
,a
n
,有a
i?1
?a
i
?d(常数),则 称这列数列为等差数列。其中a
1
称为首项,a
n
称为未项,
(a? a
n
)?n
(首项?未项)?项数
d为公差,等差数列和a
1
?a
2
?
?
?a
n
的计算公式为和?,即S?
1
22
例10.计算
1111
???
?
?
1?22? 33?41999?2000
1111111
?(1?)?(?)?(?)?
?
?(?)
2233419992000
11999
?1??

20 002000
1111111d
注:应用积化差,把拆成?。通用为?(?)或?
n? (n?1)nn?1n?(n?d)dnn?dn?(n?d)
11
?
nn?d
3、 有理数的乘方

有 理数的乘方
① 乘方 : 求几个相同 因 数的 积的 运算叫 做乘方 , 乘方的 结 果 叫 做幂 , 在
叫 做底数 , n 叫 做指数 , 一个数可以看做这个数本身 的一次方 .
中 , a
② 正数的任何次幂都是正数 ; 负数的奇次幂是负数 , 负数的偶次幂是正数 .












(三)绝对值、平方根、立方根及二次根式

一、 绝对值
a表示a在数轴上对应点与原点之间的距离,距离大于等于0,所以a?0
1.
?< br>a
?
a?
?
0
?
?a
?
(a?0)
(a?0)
(a?0)

2.化简含绝对值的式子
关键是去绝对值, 先根据所给条件,确定绝对值符号内的数a的正负,即(a?0,a?0还是a?
0),如已知条件未给 出其正负,应该分类讨论(即分别讨论a?0,a?0和a?0的情形)。分类思想
是数学中一种非常重 要的思想。
例1.若?2?a?0,化简a?2?a?2
解:因为?2?a?0,所以a?2? 0,a?2?0
所以原式?(a?2)?(2?a)?4
例2.若x?0,化简
x?2 x
x?3?x
x?3?x?3?x?(?x)?3
注:若有多层绝对值符号,
解:
?
x?0?x?3?0
?x??xx?3??(x?3)?3?x
?3x
??x
3
x?2x??x?2x??3x??3x
?原式?
通常从最 内层开始,逐层向外化去绝对值。
例3.设a?0,且x?
?
a?0?a??a?
aa
???1
a?a
a
,即x??1
a
a< br>,试化简x?1?x?2
a
x?
?x?1?0x?2?0
?原式??( x?1)?
?
?(x?2)
?
??x?1?x?2??3

注:有时不能直接从所给条件得出绝对值符号内数、式的符号正负,此时,应先将已知条件化为我们所需条件,有 时
条件由数轴给出,应从数轴上读出有用的信息。如下例
例4.数a,b在数轴上对应点如图 所示,试化简a?b?b?a?b?a?a
解:由图可知,a?0,b?0,而且a?b
?a? b?0
原式??(a?b)?(b?a)?b?a?(?a)
??a?b?b?a?b?(?2 a)
?b
2x?3x
2x?5x
a

0 b
例5.化简

解:要去掉绝对值符号,必须讨论x的取值,显然分母不能为0,即x? 0
?当x?0时
原式?
2x?3x?x?x1
????
2x?5x? 3x3x3
当x?0时,
?2x?3x?5x?5x5
原式????
2x?5 x7x?7x7

注:当题设没有给出绝对值符号中的代数式的正负时,应分类进行讨论,分类 是数学的一种重要思想,绝对值问题是
运用分类思想的良好素材。
下面例子中,含有两个或两个以上绝对值符号,我们根据零点分段,把整个数轴分成几段进行讨论。 < br>例6.化简x?5?2x?3
分析:化简本题关键在于去掉绝对值符号,只去其中一个绝对值很容 易,如x?5,可分为x??5
与x??5两种情况来讨论,这里x??5是使x?5?0的x值,我们 称它为零点。但本题中含
有两个绝对值符号,所以有三种情况,即


x?5 ?0且2x?3?0

x?5?0且2x?3?0

x?5?0且2x?3? 0

33
,为了同时去掉两个绝对值符号,我们将零点?5,都
22

33
标在数轴上,这两点分数轴为三个部分,即x??5,?5?x?,x?,我们就这三种情 况进行讨论
22
所以同理,对于2x?3也有一个零点x?
-5 0 1.5

解:当x??5时
原式??(x?5)?(2x?3)??3x?2
3当?5?x?时
2
原式?(x?5)?(2x?3)??x?8

当x?
3

2
原式?(x?5)?(2x?3)?3x?2
?
?3 x?2x??5
?
3
?
即原式?
?
?x?8?5?x?2
?
?
?
3x?2
例7.化简x?1?2?x?1
分析 :本例中含有双重绝对值符号,采用零点分段时不能忘记x?1?2的零点。
解:先找零点
由x ?1?0得x?1,由x?1?2?0即x?1?2得x??1或x?3,由x?1?0得x??1
所以 零点共有?1,1,3三个,因此我们将数轴分成四个部分
即x??1,?1?x?1,1?x?3,x ?3
当x??1时
原式??(x?1)?2?
?
?(x?1)
???x?1?x?1??x?1?x?1??2x?2
当?1?x?1时
原式??(x?1 )?2?x?1??x?1?x?1?x?1?x?1?2x?2
当1?x?3时
原式?x?1 ?2?x?1?x?3?x?1?3?x?x?1?4
当x?3时
原式?x?1?2?x?1? x?3?x?1?x?3?x?1?2x?2
?
?2x?2x??1
?
2x? 2?1?x?1
?
?原式?
?
1?x?3
?
4
?< br>?
2x?2x?3


例8.a,b为有理数,且a?b?a?b,试 求ab的值。
解:当a?b?0时,a?b?a?b?a?b得b??b,?b?0
当a?b? 0时,a?b??a?b?a?b得?a?a?a?0

所以不管是a?b?0还是a?b?0 ,a,b中至少有一个为0
?ab?0
二、平方根、算术平方根及二次根式
(一)平方根与算术平方根
概念:如果一个数的平方等于另一个数,那么这个数就叫做另一个 数的平方根。正数
a
有两
个平方根
?a。所以(?a)
2
?a
。0的平方根是0,负数没有平方根。其中
a是a
的算术平方根,0 的算术平方
根是0。
例1.3的平方根是?3,算术平方根是3
?1没有平方根3的平方根是3—是错的3是3的平方根—是对的

例2.
例3.
4的平 方根是?2
3的平方根是?3
算术平方根是2
算术平方根是
算术平方根是5< br>3

例4.?5的平方根是?5
(二) 二次根式
1、 概念:式子
a(a?0)叫做二次根式,其中a?0

最简根式:①被开方数不含分母,②被开方中不能含有开得尽的因数或式。
2、 性质 (1)(a)
2
?a
(2)
(3)
(4)
a
2
(a?0)
(a?0)
(a?0)
(a?0)
(a?0,b?0)< br>?
a
?
?a?
?
0
?
?a
?
a?b
a
b

ab?
a
?
b
(a?0,b?0)
3、 二次根式的运算
(1) 二次根式的加减法:
① 先把二次根式化成最简二次根式
② 把化简后的被开方式相同的二次根式像合并同类项那样合并
(2)二次根式的乘除法
(3)运算结果要化成最简根式
例1.计算
(1)645?
21
2
32
(2)
11
?48?
25
1
5
(3) 54?
21
?2
36
2?31?6

?2
3
2
6
2
a?b?ab
a
b
?
a

b
31
?(6?)?45?2
22
?918
?272
x? 2
xx?3
?24?
?24?5
?230
?3
2
? 6?
?36?
?
76
3
66
?
33
例2. (1)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是

?
x?2?0
?
?
?
x?3?0解得x??2且x?0

?< br>x?0
?
(2)要使式子
?
x?1?0
?
?
?
x?0
x?1
有意义,则x的取值范围是

x
解得x??1且x?0

例3.(1)
11
?2
32
1
?22?3?2
3
8?
3
3
(2)
93?6
??(3?2)
0
?
2
3
3
?32?2? (1?2)?1?2?1
2
18?
?
1?2
?
2

?2?
3
2?1?2?1?2?1
2
3
?2?1
2
?
(4)(3)23(
?23(
272
?2?24)
33< br>3326
??26)
33
?
3?2
?
?(
5 2
4
3?2)?2?
2
4
?
8
?
?1?(3?2)?2?
?

?6?42?122
?6?82
例4. 设m,n都是实数,且满足n?
m
2
?4?4?m
2
?2
, 求mn的值。
m?2
解:要使n有意义,m
2
?4?0,4?m
2< br>?0,且m?2
1
解得m??2,得n??
2
1
?mn?(? 2)?(?)?1
2
例5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简a
2
? b
2
?
解:由数轴知a?0,b?0,a?b?0
?原式??a?b?
?
?(a?b)
?
??a?b?a?b??2b

-1 a 0 b 1
?
a?b
?
2

重点:分母有理化
我们 有时会碰到形如
3
5
,
2
3?1
这样的分母为无理数的式子 ,我们应先将分母中的无理数化为有理数才能进行运算。

3
5
?
3?5
5?5
1
3?1
?
?
?
?
355
1
5?3
?
1
7?5
2
3?1
?< br>??
?
?
3?1
??
3?1
?
?
3
?
?1
2?3?1
1
2n?1?2n?1
??
?< br>2?3?1
2
2
3?1

例6.化简
解:
?
1
?
?
?
3?1
1
5?3
?
3? 1
?
?
?
3?1
??
3?1
?
(5?3)
3?1
2
?
5?3
2
(5?3)(5?3)
??

?
2n?1?2n?1
2
1
2n?1?2n?1< br>原式?
?
(2n?1?2n?1)
(2n?1?2n?1)(2n?1?2n? 1)
3?15?32n?1?2n?13?1?5?3?
?
?2n?1?2n?1??
?
??
2222
2n?1?1
2
三、立方根
1、概念:一个数的立方等于另一个数,则这个数叫做另一个数的立方根
如:
3?3 ?3?27?3是27的立方根
??3是?27的立方根(?3)?(?3)?(?3)??27

任何数都有立方根,
x的立方根记作
3
x?(
3
x)< br>3
?x

(
3
3)
3
?3(
3
?3)
3
??3

四、 实数及其运算补充
1、 实数运算顺序
先乘方和开方,再算乘除,最后算加减,若有括号的先算括号。同一级运算应从左至右, 按顺序进行。若需改变运算
顺序,须依据运算律进行。
2、 比较实数大小的几种常用方法
(1) 数轴比较法
数轴上表示两个实数的点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数
(2) 差值比较法

a,b是任意实数,则a?b?0?a?b,a?b?0?a ?b,a?b?0?a?b

(3) 比值比较法
a
设a,b是同号实数 ,则?1?a?b,
b
a
?1?a?b,
b
a
?1?a?b

b
(4) 平方比较法

若a?0,b?0,则a< br>2
?b
2
?a?b,a
2
?b
2
?a?b若 a?0,b?0,则a
2
?b
2
?a?b,
a?b?a?b
例7.不求近似值比较2?3和2?5的大小
解:2?3
22

??
?7?43?7?48
?
2?5
?
?7?210?7?40
2
2

?2?3?2?5




专题二 代数式
实际问题情境
求代数
式的值

单项式
单项式的系数
单项式的次数


合并同类项
整式的简单
加减运算
去括号
用字母表示数
代数式
整式



用代数式
表示简单的
数量关系
多项式的项
多项式
常数项



多项式的次数












(一)整式及其运算
能力要求:理解单项式与多 项式,以及合并同类项;掌握乘法公式的灵活运用,正用、逆用、适当变形或重新组合等
一、 整式的概念
1、 单项式:由数字与字母或字母与字母相乘级成的代数式叫做单项式,单独一个数或一 个字母也叫单项式。单项式中
的数字因数叫做单项式的系数。单项式中所有字母的指数次数和叫做单项式 的次数。
例1. 指出下列单项式的系数与次数
3a
2
b
4
c,?2a,3bc
2
,?5,?a,abc
解:3a
2
b
4
c系数是3,次数是7次。
?5系数是-5,次数是0次。
?2a系数 是-2,次数是1次。
?a系数是-1,次数是1次。

3bc
2
系 数是3,次数是3次。
abc系数是1,次数是3次。
2、 多项式:几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项,次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
例2. 指出下列多项式的次数与项数
(1)?3a
2
b
3
?2bc
2
?9abc
5
是7次三项式
(2)a
2
?4ab?3b
2
?ab
2
是3次四项式

例3.若3< br>m?5
y
2
与x
3
y
n
的和是单项式,则n
m
?

解:因为两个单项式的和仍然是单项式,所以这个 两个单项式所含字母相同,相同字母的指数
也分别相同。
?m?5?3,2?n.?m??2, n?2.?n
m
?2
?2
?
1
4

3、 同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
4、 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
法则:把系数相加,所得结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变。
例4.5a
2
b?3ab
2
?(4ab
2
?2a
2
b)?5a
2
b?3ab
2
?(4ab
2
?2a
2
b)
?5a
2
b?3ab
2
?4ab
2
? 2a
2
b
?7a
2
b?ab
2
??

5、 整式的四则运算
(1)整式的加减实质上就是合并同类项,遇到括号先去括号。
?(a?b)?a?b,?(a?b)??a?b

(2)整式的乘除
①幂运算法则
a
m
?a
n
?a
m?n
( a
m
)
n
?a
mn
(ab)
m
?a
m
?b
m
a
m
?a
n
?a
m?n

(3)(2?3)
3
?2
3
?3
3
?8?27 ?216
77
例5.(1)a
?2
?a
7
?a
?2 ?7
?a
5
(4)3?3?3
56?1
(2)(a
?3)
3
?a
?3?3
?a
?9
257
1
?
3
(5)(ab)?(ab)?(ab)?ab(6)(abc)?abc
2336 3

例6.已知10
x
?3,10
y
?4,则10
2x?3y
?

解:10
2x?3y
?10
2x
?10
3y
?(10
x
)
2
?(10
y
)
3
?3
2
?4
3
?576

例7.已知x
a
?3,x
b
?5,则x
3a?2b
?

解:x
3a?2b
?x
3a
?x
2b?(x
a
)
3
?(x
b
)
2
?33
?5
2
?27?25?
例8.(1)(?a
m
)5
?a
n
?(?1)
5
a
5m
?a
n
??a
5m?n
(2)(?a
5
)
4
?(?a2
)
3
?(?1)
4
a
4?5
?(?1)3
a
2?3
?a
20
?(?1)a
6
??a< br>20?6
??a
26

(3)(?a
n
)
2
?(?1)
2
a
2n
?a
2n
?
5
?
例9.(1)计算
??
?
13
?
1997
27

25
3
??
?
?
?2
?
5??
1997
?
?
5
??
13
?
?< br>?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
13
??
5
?
?
1997
?(?1)
19 97
??1

(2)计算
?
?0.25
?
2007
?4
2008
?
?
?0.25
?
2007
?4
2007
?4?
?
?0.25?4
?
2007
?4?(?1)
2007
?4?(?1)?4??4
②整式的乘法
单项式与 单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它一起作为
积的一个因式
单项式乘多项式:
m(a?b)?ma?mb

多项式乘多项式:
(a?b)(c?d)?ac?ad?bc?bd

例11 .(1)3x
2
y?(2xy
2
?4y?5xyz
2
)?6 x
3
y
3
?12x
2
y
2
?15x
3
y
2
z
2
(2)(2x
3
y)
2?(?2xy?5y
2
)?4x
6
y
2
?(?2xy? 5y
2
)??8x
7
y
3
?20x
6
y< br>4
(3)(x?3)(x?2)?x
2
?2x?3x?6?x
2
?x?6
(4)(a?2b)(a?3b?2)?a?3ab?2a?2ba?6b?4b?a?5a b?2a?4b?6b
(5)(x?2y?1)(3x?5y?1)?3x
2
?5xy ?x?6xy?10y
2
?2y?3x?5y?1
?3x
2
?xy? 2x?10y
2
y?7y?1
2222

乘法公式:
平方差公式:
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

例12 .(1)(3x?1)(3x?1)?9x
2
?1(2)(a?2b)(a?2b)?a
2
?4b
2
(3)(a?2b?3c)(a?2b?3c)?
?
a ?(2b?3c)
?
?
?
a?(2b?3c)
?
?a
2
?(2b?3c)
2

(4)(3x?1)
2
(3x? 1)
2
?
?
?
3x?1
??
3x?1
?< br>?
2
?(9x
2
?1)
2
完全平方差公式:< br>(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
例13.(1) (x?3)
2
?x
2
?6x?9
(a?b)
2
?( b?a)
2

(2)(a?2b?3)
2
?
?
?< br>a?2b
?
?3
?
2
?(a?2b)
2
?6 (a?2b)?9?
?
(3)(a?3b?5c?d)
2
?
?
?
a?3b
?
?(5c?d)
?
2
?(a?3b)
2
?2(a?3b)(5c?d)?(5c?d)
2
??

注:如 果完全平方括号里有两项以上时,应通过加括号的方法,把括号内的化成两项,再求完全平方,如果结果完全平方括号内还有两项以上,则重复以上的操作。
例14.(1)已知ab?9,a?b??3,求 a
2
?3ab?b
2
解:a
2
?3ab?b
2?a
2
?2ab?b
2
?5ab?(a?b)
2
?5a b?(?3)
2
?5?9?54
(2)若a?b?0,ab??11,求a
2
?ab?b
2
解:a
2
?ab?b
2
?a
2
?2ab?b
2
?3ab?(a?b)
2
?3ab?0
2
?3?(?11)?33

例15.已知a?
11
?3,求a
2
?a
?2
以及a
4
?
4

a
a
2
11
??
分析:已知a??3,求a
2
?a
? 2
,如何才能出现a
2
?a
?2
?只要把
?
a?< br>?
就能出现a
2
?a
?2
aa
??
1
??
解:a
2
?a
?2
?
?
a?
??2?3
2
?2?7
a
??
1
同理:a
4?
4
?(a
2
?a
?2
)
2
?2?7
2
?2?47
a
例16.设4x
2
?mx?121是一个完 全平方式,则m?
?44

2

注意
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
与(a?b)
2
?a2
?2ab?b
2
都是完全平方式,所以m??44

③ 整式的除法
单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有 的字母连同它的指数作
为商的因式。
多项式除以单项式,将这个多项式的每一项除以这个单项式,然后把所得的商相加。
例17. (1)(6m
2
n?6m
2
n
2
?3m
2
)?(?3m
2
)
?6m
2
n?(?3m
2
)?6 m
2
n
2
?(?3m
2
)?3m
2
?(? 3m
2
)

??2n?6n
2
?1
多项式除以多项式
例18.(1)(x3
?1)?(x?1)
用竖式除法
(2)(3x
4
?5x
3
?x
2
?2)?(x
2
?3)


例19.试求x
285
?x
83
?x
71
?x
9
?x
3
?x被x?1除所得的余数。
因为
?
a?b
?
a
n?1
?a
n?2
b?a
n?3
b
2
?
??
?ab
n?2
?b
n?1
?a
n< br>?b
n
知x
285
?1,x
83
?1,x
7 1
?1,x
9
?1
x
3
?1,x?1整除。
所以, 原式?(x
285
?1)?(x
83
?1)?(x
71
?1 )?(x
9
?1)?(x
3
?1)?(x?1)?2
所以原式被x? 1除所得余数为2
??

④零指数和负整数指数
规定
a0
?1(a?0)a
?m
?
1
a
m
(a?0)

例20.(1)(3.14?
?
)
0
?1
?1
?
(2)
??
?
2
?
?1
?
?
5?1
?
??3?
0
8?
?
2?1
?

2
?2?1?3?22?2?22?1
?7
④ 二次根式三次根式与指数的关系
a?
1
a
2
,(a?0)
3
a?
1
a
3
3
2
2

(a任意实数)

例21.22?2?2?
1
2?2
2
?



(二)、因式分解及分式运算
一、 因式分解
1.因式分解:把一个多 项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解。因式分解与整式乘法刚好想反。
因式分解
(a? b)(a?b)?
整式乘法
????a
2
?b
2

a
2
?b
2
?????(a?b)(a?b)

2.因式分解的基本方法
(1)提取公因式法:把一个多项式的各项含有的公因式,提取作为 多项式的一个因式,如
ma?mb?mc?m(a?b?c)

(2)公式法:运用乘法公式把多项式因式分解的方法,叫做公式法。
常用公式: 平方差公式:
a
2
?b
2
=
(a?b)(a?b)

完全平方公式:
a
2
?2ab?b
2
?(a?b)
2

(3)十字相乘法:十字相乘法能把某些二次三项式< br>ax
2
?bx?c
分解因式。这种方法的关键是把二次项系数
a
分解成两
个因数
a
1
,a
2
的积
a
1< br>?a
2
,把常数项
c
分解成两个因数
c
1
, c
2
的积c
1
?c
2
,并使
a
1
?c
2
?a
2
?c
1
正好是一次项
b
,那 么可以直接
写成结果
(a
1
x?c
1
)(a
2x?c
2
)
,在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二 项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
例如:2x
2
?7x?31?2?2等于二次项的系数,?1?(?3)?3等于常数项

1
?3

1?(?1)?2?(?3)??7等于一次项系数

2
?1

(4)其它方法:
拆项法:把代数式中的某项拆成两项的和或差。
添项法:给代数式添上两个符号相反的项
换元法:
待定系数法:适用于二次六项式
3.因式分解的一般步骤
(1)先看各项有无公因式,若有公因式,则先提取公因式。 (2)如果没有公因式,再看能否运用乘法公式。如是二次三项式,则应先看是否能通过十字相乘法分解因式 。
(3)最后检查每一个因式是否能继续分解,直到每一个因式都不能分解为止。
例1.因 式分解下列各式
(1)x
2
?4x?4
?(x?2)
2
(2 )
1
x?x
3
?x
2
(3)x
3
?2x< br>2
y?xy
2
4
1
?x(?x
2
?x)?x (x
2
?2xy?y
2
)
4
1
?x(x?)
2
?x(x?y)
2
2
(6)25(m?n)
2
?4(m ?n)
2
?
?
5(m?n)
?
2
?
?2(m?n)
?
2
(4)2x
2
?12x?18
?2( x
2
?6x?9)
?2(x?3)
2
(5)(2a?b)
2
?8ab
?4a
2
?4ab?b
2
?8ab
?4a
2
?4ab?b
2
?(2a?b)
2
?
?
5(m?m)?2(m?n)
??
5(m?m)?2(m?n)
?
?(7m? 3n)(3m?7n)
(7)x
2
?4y
2
?2x?4y?(x?2 y)(x?2y)?2(x?2y)?(x?2y)(x?2y?2)
(8)1?x
2
?6xy?9y
2
?1?(x
2
?6xy?9y
2
)?1? (x?3y)
2
?(1?x?3y)(1?x?3y)
(9)(x
2
?1)
2
?6(1?x
2
)?9?(x
2
?1)
2
?6(x
2
?1)?9
用换元法:令x
2
?1?t,
则原式?t
2
?6t?9?(t?3)
2
?(x
2
?1? 3)
2
?(x
2
?4)
2
?
?
(x?2) (x?2)
?
2
?(x?2)
2
(x?2)
2
例2 .用十字相乘法分解因式
(1)x?4x?21
2

(2)x?7x?62
(3)x?2x?15
2
(4)x?11xy?18y
22

x -7 x -6 x 5 x 2y
x 3 x -1 x -3 x 9y
?原式? (x?7)(x?3)?原式?(x?6)(x?1)?原式?(x?5)(x?3)?原式?(x?2y)(x ?9y)

(5)5a
2
?a?6
5a?6
a1
? 原式?(5a?6)(a?1)
(6)3b
2
?2b?8
b?2
3b 4
(7)?2x
2
?5x?3
?2x1
x3

?原 式?(b?2)(3b?4)?原式?(?2x?1)(x?3)
例3.分解因式:4a
2?4a?b
2
?4b?3
分析:直接因式分解困难,由式子的特点容易想到完全平 方式,关键是将常数项拆成几个
数的和,以便配凑。
解:原式?4a
2
?4a ?1?(b
2
?4b?4)
?(2a?1)
2
?(b?2)
2
?(2a?1?b?2)(2a?b?1)
例4.分解因式2x
2
?xy? 3y
2
?x?14y?15
分析:此为二次六项式,考虑用待定系数法。
因为 :2x
2
?xy?3y
2
?(x?y)(2x?3y)所以可设
2x
2
?xy?3y
2
?x?14y?15?(x?y?m)(2x?3y?n)
?2x
2
?xy?3y
2
?(2m?n)x?(3m?n)y?mn
1式
?
2m?n?1
?
比较系数得
?
3m?n?1 42式
?
mn?153式
?
由1式2式解得m?3,n??5,代入3式也成 立
?2x
2
?xy?3y
2
?x?14y?15?(x?y?3)( 2x?3y?5)

注:本题解法中,方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余 的方程逐一检验。若有的解对某个方程或
所设的等式不成立,则需将此解舍去;若得方程组无解,则说明 原式不能分解成所设形式的因式。
例5.已知1?x?x
2
?x
3
?x
4
?0,求1?x?x
2
?x
3
?
??
?x
1998
?x
1999
解:
?
x
5
?x
6
?x
7
?x
8
?x
9
?x
5
(1?x?x
2
?x
3
?x
4
)?0
x
10
?x
11
?x
12
?x
13
?x14
?x
10
(1?x?x
2
?x
3
?x4
)?0
?
x
1995
?x
1996
?x1997
?x
1998
?x
1999
?x
1995(1?x?x
2
?x
3
?x
4
)?0
?原式? 0

二、分式及其运算
1.分式概念:一般地,如果A, B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子
A
叫做分式。
B
2.分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质。用式子
表是:
AA?MAA?M
(其中 M是不等于零的整式)
?,?
BB?MBB?M
3.分式的约分:把分式中分子与分 母的公因式约去,这种变形叫做约分。其根据是分式的基本性质。
4.分式的通分;把几个异分母的分 式化为与原分式值相等的同分母形式,这种变形叫做分式的通分。通分的根据是分式
的基本性质,通分的 关键是确定几个分式的最简公分母。
5.分式的运算法则
(1)分式的加减法:

aba?bacadbcad?bc

??

????
cccbdbdbdbd
(2) 分式的乘除法:
acacacadad

??

????

bdbdbdbcbc
(3) 分式的乘方:
a
n
?
a
?
??
?
n

b
?
b
?
n
(4) 分式的混合运算:在分式的混合运算中 ,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算,
遇有括号,先算括号里面的,灵 活运用运算律,运算结果必须是最简分式或整式。
(5)分式变形的常用方法有:设参法(主要用于连比式),拆项法,因式分解法,换元法等。
例1.计算
x?1x
2
?1x?1x
2
x
(1)?
2
???
xx(x?1)(x?1)x?1
x
8
?
a?2
?
a?2
(2)
?
2
??
2
?
a
?
a?2a4?a
?
?
a?2
?
8a(a?2)< br>2
?8aa(a?2)
2
a1
?
?
???????< br>?
?
a(a?2)(a?2)(a?2)
?
a?2a(a?2)(a? 2)a?2a(a?2)(a?2)a?2a?2
例2.(1)若
x?3
x
2
?2x?3
的值为零,则x的值是

解:分式的值为零 ,必须满足两个条件:分母不为零;分子等于零。
?
?
x?3?0

?
解之得x??3
2
?
?
x?2x?3?0
x?3
(2)使代数式有意义的取值范围是?
x?4
?
x?3?0
解:解之得x?3 且x?4
?
x?4?0
?

12
x?y
3
的分子与分母中的各项系数化为整数,所得结果为?例3.(1)不改变分式的值,把分式
2
1 2
x?y
23
123x?4y
解:因为,的公分母为6,所以分子分母同乘以 6,得
233x?4y
0.5x?1
(2)不改变分式的值,把它的分子和分母中的各 项系数都化为整数,所得结果为?
0.3x?2
5x?10
解:分子分母同乘以10得
3x?20
a
2
?b
2
2ab?b
2
例4 .先化简:
2
?(a?),当b??1时,请你为a任选一个适当的数代入求值。
a< br>a?ab
(a?b)(a?b)a
2
?2ab?b
2
(a?b )(a?b)a1

解:原式??()??(
2
)?
a(a?b)a a(a?b)a?b
a?2ab?b
2
11
a取2时,即当a?2,b??1 时,原式???1
a?b2?1
112x?3xy?2y
??3,求的值。
x yx?2xy?y
11
分析:因为已知条件为??3,不能求出x,y的值,则须根据其特征, 适当变形,整体
xy
例5.(1)若
代入。
11y?x
??3即?3 ?y?x?3xy即x?y??3xy
xyxy
2(x?y)?3xy2(?3xy)?3xy ?9xy9
?原式????
x?y?2xy?3xy?2xy?5xy5
a?b
(2)设a?b?0,a
2
?b
2
?6ab?0,则??
b?a< br>解:
?
分析:同上题,无法求出a,b的值,根据其特征,可将a
2
? b
2
?6ab?0变形为(a?b)
2
?8ab?0
得(a?b)< br>2
?8ab,以及(a?b)
2
?4ab?0,得(a?b)
2
?4ab,又
?
a?b?0,?
?
a?b8ab
????2
b?a4ab
a?b
是负数,
b?a
2a?b?c2b?c?a2c?a? b
例6.化简下面分式,其中a,b,c两两不等,
2
?
2
?
2
a?ab?ac?bcb?ab?bc?acc?ac?bc?ab
分析:题目中的结构相 似,只要弄清一个即可,应用十字相乘法a
2
?ab?ac?bc?(a?b)(a?c)应用拆项法2a?b?c?(a?b)?(a?c)
解:?a
2
?ab?ac?b c?(a?b)(a?c),2a?b?c?(a?b)?(a?c)
2a?b?c(a?b)?(a? c)11
?
2
???
(a?b)(a?c)a?ca?b
a?ab? ac?bc
2b?c?a(b?c)?(b?a)11

同理:
2
? ??
(b?c)(b?a)b?ab?c
b?ab?bc?ac
2c?a?b(c?a )?(c?b)11
???
(c?a)(c?b)c?bc?a
c
2
?ac?bc?ab
111111
?原式???????0
a?ca?bb?ab?c c?bc?a
111111
例7.已知a,b,c为非零实数,且a
2
?b< br>2
?c
2
?1,a(?)?b(?)?c(?)??3,求a?b?c
bccaab
的值。
分析:观察第二个式子,等号左边三项结构相似,右边?3,所以可以把? 3拆成三个?1,然
后移项,分别结合。
解:?a(
1
b
?
1
c
)?b(
1
c
?
1
a
)?c(
1
a
?
1
b
)??3?(
b
a
?
c
a
?1)?(
c
b
?
a
b
?1)?(
a
c
?
b
c
?1)?0

1
a< br>(b?c?a)?
1
b
(c?a?b)?
1
c
(a? b?c)?0?(a?b?c)(
1
a
?
1
b
?
1
c
)?0
即(a?b?c)?0或(
111
a
?
b
?
c
)?0,
当(
1
a
?
1
b< br>?
1
c
)?0时,
ab?bc?ca
abc
?0,所 以ab?bc?ca?0
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2< br>?c
2
?2(ab?bc?ca)?a
2
?b
2
?c
2
?1,所以a?b?c??1,
综合得:a?b?c??1或0
例8.若< br>a?b?ca?b?c?a?b?c(a?b)(b?c)(c?a)
c
?
b< br>?
a
,求
abc
的值。

分析:已知条件是一个连比 式,所以用设参法。
解:设
a?b?c
c
?
a?b?c
b< br>?
?a?b?c
a
?k,则a?b?kc?c,c?a?kb?b,b?c?k a?a

代入
(a?b)(b?c)(c?a)(a?b)(b?c)(c?a)ab c(k?1)
3
abc

abc
?
abc
?(k? 1)
3

























专题三 方程(组)与不等式(组)
性质1

等式的性质
性质2

等式
恒等式

等式的分类 条件等式

矛盾等式

方程的概念

方程

方程的解 方程的解 解方程

一元一次方程的概念
一元一次方程
一元一次方程的标准形式

一元一次方程 一元一次方程的解法

一般步骤
列一元一次方程解应用题
题型






















(一) 一元一次方程与方程组
一、一元一次方程
(一)概念
1. 方程:含有未知数的等式叫做方程。
2. 方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,也叫做根。
3.一元一次方程:只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的方程
4.分式方程:分母中含有未知数的方程
(二)解方程的依据
等式性质:等式两边 都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式;等式两边都乘以(或除以)同一个数
或整式( 除数不能为0),所得的结果仍是等式。
(三)解方程的步骤
1.解一元一次方程的一般步骤:
①去分母;②去括号③移项④合并同类项,化成最简方程< br>ax?b(a?0)
的形式;⑤两边同除以未知数的系数,得
x?
2.解分式方 程的一般步骤:
①去分母(化分式方程为整式方程)②解整式方程③检验(舍去增根)
3.对含字母系数的方程
(ax?b)进行讨论:

(1)当a?0时,方程 有唯一的解x?
(2)当a?0,b?0时,方程无解;
(3)当a?0且b?0时,方程有无 数个解。
例1.若方程3(2x?1)?2?3x的解关于x的方程6?2k?2(x?3)的解相同, 则k的值为多少?
5
解:因为两方程有相同解,因此可先解出方程3(2x?1)?2?3x的 解为x?,代入6?2k?2(x?3),建立
9
55
关于k的新方程6?2k?2( ?3),解得k??
99
例2.已知关于x的方程4x?3m?2的解是x?m,则m的值是?
解:因为x?m是方程4x?3m?2的解,所以把x?m代入方程4x?3m?2,得4m?3m?2 ,即m?2.
例3.解方程:
12
(1)?
x?1x?1
x?1?2 (x?1)即x?1?2x?2
移项得:?x?3,
得x??3
代入原方程,分母不为 0
所以,方程的解是x??3
2?x2
(3)?3?
x?33?x
解 :方程两边同乘以x?3得
x5
??4
2x?33?2x
解:方程两边同乘以 2x?3得
(2)2?
x?1x?3
?
32
b
a
b

a

解:去分母,方程两边同乘以x
2
?1得:
??
解:去分母,方程两边同乘以6得:
12?2(x?1)?3(x?3)即12?2x?2 ?3x?9
移项得:?5x??5
得x?1
(4)
2?x?3(x?3)?? 2
5
2
代入方程检验,分母不为0,
5
所以原方程的解是x?
2
5x?44x?10
(5)?
x?23x?6
解:方程两边同乘以3x? 6得
化简得:2x?5,即:x?
3(5x?4)?4x?10?(3x?6)
化简得 :11x?22
得x?2
代入方程检验,分母为0
所以x?2是增根
所以原方 程无解。
x?5?4(2x?3)
代简得:?7x??7,即x?1
代入方程检验,分 母不为0
所以原方程的解是x?1
(6)
0.02x?0.01x?1
??0 .5
0.030.6
解:应先利用分数的性质把分母化为整数后再去分母。
2x?11 0x?101
原方程可化为??
362
去分母得:(22x?1)?(10x?10) ?3
3
化简得:?6x??9,即x?
2
例4.若(m?2)x
m? 3
?5是关于x的一元一次方程,则m的值为

解:因为(m? 2)x
m?3
?5是关于x的一元一次方程,故x的次数应为1次,即m?3?1,解得m?4
m?1
?2的解为正数,则m的取值范围是?
x?1
m?1m?1
解 :方程两边同乘以x?1得m?1?2(x?1),得x?,又因为解为正数,所以?0
22
解 得m??1,又因为m?1?0,所m的取值范围是:m??1且m?1
例5.若关于x的分式方程x?a3
??1无解,则a??
x?1x
解:去分母,方程两边同乘以x(x?1 )得x(x?a)?3(x?1)?x(x?1)
例6.若关于x的分式方程
化简得:(2?a )x?3,得x?
3x?a3
,要使分式方程??1无解,则x?1?0或x?0
2? ax?1x

33
即:?1?0或?0,解得a?1
2?a2?a
x a
例7.当a为何值时,关于x的方程?2?会产生增根。
x?33?x
解:当x?3 时,分母为0,所以x?3是增根,
所以去分母得x?2(x?3)?a,得x?6?a?3,所以a? ?3.
11
例8.解关于x的方程:a(x?b)?(x?2b)
34
解:先 把方程化为ax?b形式,然后进行三种情况的分析
方程两边同乘以12,得4a(x?b)?3(x? 2b),化简得(4a?3)x?4ab?6b
34ab?6b

当4a?3?0时, 即a?时,原方程有唯一解:x?
44a?3
33
当4a?3?0,且4ab?6b? 0时,即a?,b??时,原方程有无数个解。
42
33
当4a?3?0,且4ab? 6b?0时,即a?,b??时,原方程无解。
42
例9.若a,b互为相反数,c,d互为倒 数,p的绝对值为2,则关于x的方程(a?b)x
2
?cdx?p
2
?0的 解是?
解:
?
a,b互为相反数,?a?b?0,c,d互为倒数,?cd?1,p的 绝对值为2?p
2
?4
?原方程化为:x?4?0,解得x?4.
1
例10.若x??9是方程x?m??1的解,则m??
3
解:解方程得x?3(?m?1), 即3(?m?1)??9,解得m?2,即m??2
例?b?0(a?0),a和b互为相反数,求x的 值。
b
,又因为a和b互为相反数,所以x??1
a
例12.关于x的方程k (kx?1)?3(kx?1),则方程有唯一解的条件是?
解:解方程得x?
解:把方程先化 成ax?b的形式,进行讨论
由原方程得(k
2
?3k)x?k?3
方程有唯 一解,必须使得k
2
?3k?0,即k?0且k?3.
例13.已知关于x的方程2a (x?1)?(5?a)x?3b有无数多个解,那么a??,b??
解:把方程先化成ax?b的形式 ,进行讨论
由原方程得:(3a?5)x?2a?3b
要使方程有无数多个解,则3a?5?0 ,且2a?3b?0.得a?
510
,b??
39

二、二元一次方程组
1.概念
二元一次方程组:由两个一次方程组成,并含有两个未知数的方程组。
方程组的解:方程组里各个方程的公共解。
2.方程组的常用解法
①代入法②加减消元法③换元法
?
2a?3b?13
?
a?8.3
?
2(x?2)?3(y?1)?13
例1.若方程组
?
的解是?
则方程组
?
的解是?
3a?5b?30.9b?1.23(x?2)? 5(y?1)?30.9
???
解:观察两个方程组,应用换元法,则x?2?a?8.3,y ?1?b?1.2,解得x?6.3,y?2.2
?
ax?by?4
?
x?2 y?1
例2.若方程组
?
与方程组
?
有相同解,求a,b
3 x?y?2ax?by??2
??
解:两方程组有相同解,则该解同时能使两方程组的四个二元 一次方程同时成立。
51
??
5
x?a?b?4
??
?3x?y?2
?
ax?by?4
??
777
所以该解对
?
成立,解之得:代入
?

??
x?2y?11ax?by??2< br>??
?
y?
?
5
a?
1
b??2
? ?
77
??
7
7
?
?
5a?b?28
?< br>a?
去分母得
?
解之得
?
5
?
5a?b?? 14
?
?
b?21
例3.已知
?
2x?y?4
?< br>2
?
?
x?3y?5
?
2
?0,求x,y
?
2x?y?4?0
解:因为任何数的平方都大于等于0,所以只能是0?0?0,即
?
解之得
x?3y?5?0
?
?
x?1
?
?
y??2
?
ax?5y?15
例4.甲乙两人共同解方程组

?
4x?by??2
?



?
x? ?3
由于甲看错了方程
①中的
a,得到方程组的解为
?
;乙看错了方 程
②中的
b,得到方程

y??1
?
?
x?5?
1
?
组的解为
?
试计算a
2004
?
?
?b
?
?
10
?
?
y?4
2005< br>的值。


(二) 一元二次方程
1.概念
一 元二次方程:在整式方程中,只含有一个求知数,并且未知数的最高次数是2次,这样的整式方程叫做一元二次< br>方程。
:能
一般形式:ax
2
?bx?c?0(a?0),其中a叫 做二次项系数,b叫做一次式系数,c叫做常数项
一元一次方程的解(或根)
使一元二次方程两 边相等的未知数的值叫做一元二次 方程的解(或根)
2.一元二次方程的四种解法
(1)直接开平方法
(2)因式分解法:
A?B?0,得A?0,或B?0,从而解得x

(3)配方法
?
bcb
2
b
2
c
?b
2
4ac?b
2
?
ax?bx?c?a(x?x?)?a?
(x?)?
2
?
?
?a(x?)?
aa2aa
?
2a4a
4a
??
?
22
b
2
4ac ?b
2
b
2
4ac?b
2
?ax?bx?c?0,即a(x ?)??0,得a(x?)??
2a4a2a4a
2

b
2
b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
得(x?)?得求根公式为x?< br>2a2a
4a
2
?b?b
2
?4ac
(4)公式法, 求根公式为
x?

2a
?b?b
2
?4ac
3.因 为求根公式
x?
中含有根号
b
2
?4ac

2a
?
当b
2
?4ac?0时,方程ax
2
?bx?c?0有两 个不相等的实数根
?
?
所以
?
当b
2
?4ac?0 时,方程ax
2
?bx?c?0有两个相等的实数根,即只有一个实数根

?
2
当b?4ac?0时,方程ax
2
?bx?c?0没有实数根
?< br>?
4.韦达定理
?b?b
2
?4ac
bc
由求根公 式
x?
得两根之和
x
1
?x
2
??,两根之积x
1
?x
2
?

2a
aa
例1.当m取何值 时,方程(m?1)x
m
?m??1(舍去)m?1.
2
?1
?(m ?3)x?1?0是一元二次方程?
解:根据定义,只要m?1?0,m
2
?1?2即 可
例2.已知x?1,是一元二次方程(m?1)x
2
?m
2
x?2 m?1?0的一个根,求m的值,并写出此
时的一元二次方程的一般形式。
分析:根据方程根的 意义,把x?1代入方程,得到关于m的方程即可求出m,但二次项系数
m?1?0.
解:把x ?1代入方程,解得m?0,m??1

?
m?1?0,?m?0
?原方程的 一般形式为x
2
?1?0
例3.如果关于x的一元二次方程(a?1)x
a< br>2
?a
?ax?1?0的一个整数根恰好是关于x的方程
(m
2
?m)x
2
?3mx?3?0的一个根,试求a和m的值。
解析:本题的关键是“一 元二次方程”这几个字,可根据一元二次方程的定义,求出a的
值,再把a代入,解得整数解,然后代入 第二个方程即可。这里要注意题目中并未说第二
个方程是一元二次方程。故m
2
?m可 以为0
解:
?
(a?1)x
a
?a??2
故原方程为3x< br>2
?2x?1?0
1
解得:x
1
?,x
2
? ?1
3

?
方程的整数根恰好是关于x的方程(m
2
?m) x
2
?3mx?3?0的一个根,
?把x
2
??1代入,求得m?3 或m??1.
例4.选择适当的方法解下列方程
(1)25x
2
?36?0( 2)x
2
?6x?1?0
2
?a
?ax?1?0是关于x的一元二次 方程,
?a
2
?a?1,且a?1?0
(3)2x
2
?4x ?1?0(4)x
2
?3?3(x?1)
(5)x
2
?3x?1?0 (6)(x?3)
2
?2x(x?3)?0
(7)x
2
?2x?3? 0(8)(x?1)(x?1)?22x
(9)3y(y?1)?2?2y(10)(x
2?5x)
2
?36
(11)2x
4
?3x
3
? 16x
2
?3x?2?0(12)3x
2
?6x?2x
2
? 2x?4?4?0

(13)abx
2
?(a
4
?b
4
)x?a
3
b
3
?0(ab?0,a,b为常数)
< br>例5.已知a,b是方程x
2
?4x?m?0的两个根,b,c是方程x
2?8x?5m?0的两个根,则m??
解:由题意知,两方程有一个公共根b,分别代入两个方程得
2
?
8b?b
2
?
b?4b?m?0
2
得 4b?b?即4b
2
?12b?0,解得b?0或b?3
?
2
5?
?
b?8b?5m?0
?当b?0时,m?0,
当b?3时,m?3< br>例6.若方程x
2
?px?q?0与方程x
2
?qx?p?0有公共根 ,且p?q,试求(p?q)
1999
解:设两方程的公共根为x
0
,则2
?
?
x
0
?px
0
?q?0
两式相 减得(p?q)x
0
?p?q
?
2
?
?
x
0
?qx
0
?p?0
?
p?q,?x
0
?1,代入 x
2
?qx?p?0得p?q??1
?(p?q)
1999
?(?1 )
1999
??1
例7.已知a是方程x
2
?3x?1?0的根。< br>(1)求a
3
?2a
2
?2a?1的值.
解:
?a是方程x
2
?3x?1?0的根
?a
2
?3a??1,a2
?1?3a
(1)原式?a
3
?3a
2
?a
2
?2a?1?a(a
2
?3a)?a
2
?1?2a??a?3a? 2a?4a
(2)原式?a
3
?3a
2
?a
2
?2 a?1?a(a
2
?3a)?a
2
?1?2a??a?3a?2a?0
例8.设a,b是方程x
2
?x?2009?0的两个实数根,则a
2
?2 a?b??
解:
?
a,b是方程x
2
?x?2009?0的两个实数 根,
?a
2
?a?2009
?
a,b是方程x
2
? x?2009?0的两个实数根
由韦达定理得:a?b??1,
原式?a
2
? a?a?b?2009?1?2008
例9.当m为什么值时,关于x的方程(m
2
? 4)x
2
?2(m?1)x?1?0有实根?
解析:题目中的方程未指明是否一元二次 方程,所以应分m
2
?4?0和m
2
?4?0两种情况。
解:当m< br>2
?4?0时,即m??2,2(m?1)?0,方程为一元一次方程,总有实根。
当m
2
?4?0时,即m??2时,方程为一元二次方程,有实根的条件为??b
2
?4ac?0
(2)求a
3
?2a
2
?2a?1的值
< br>?
2(m?1)
?
2
?4(m
2
?4)?1?8m? 20?0,解得m??即:
5
2
5
综上所述:当m??时,方程有实根。2
例10.如果关于x的一元二次方程k
2
x
2
?(2k?1) x?1?0有两个不相等实数根,那么k的取值
(1)求k的取值范围

范围是?解:
?
方程是关于x的一元二次方程
?k?0,

?
方 程有两个不相等实根,所以??b
2
?4ac?
?
?(2k?1)
?
2
?4k
2
?0
1
解得:k??且k?0
4
例11.已知关于x的方程(k?1)x
2
?(2k?3)x?k?1?0有两个不相等的实 数根x
1
,x
2
.
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根互为 相反数?如果存在,请求出k的值;如果不存
在,请说明理由。
解:(1)方程有两不相等实根 ,所以方程一定是一个一元二次方程,k?1?0,即k?1
??b
2
?4ac?(2 k?3)
2
?4(k?1)(k?1)??12k?13?0
13
?k?且k ?1
12
(2)如果方程有两个实数根且互为相反数,由韦达定理得x
1
?x
2
??
所以当k?
2k?33
?0,解得k?
k?123
时,方程的两个实数根互为相反数
2
例11.关于x的方程(a
2?4a?5)x
2
?2ax?4?0,试证明无论a取何实数这个方程都是一元二次
方程.
证明:
?
a
2
?4a?5?(a?2)
2
?4?5?(a?2)
2
?1?0
?无论a取何值,a
2
?4a?5 ?0
?无论a取何值,方程都是一元二次方程。
例12.已知x的方程2x
2
?kx?1?0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一根为?1,求另一 根及k的值。
解析:判断方程根的情况,只要计算b
2
?4ac的值,当b
2
?4ac?0时,方程有两个不相等实
数根。
(1)证明:
?
a?2 ,b?k,c??1,
?b
2
?4ac?k
2
?8
不论k为 何值,k
2
?0,k
2
?8?0
?方程有两个不相等的实数根
(2)
?
x??1,代入方程得2?k?1?0
1
?k?1,?另一根为< br>2
例13.当m取什么值时,关于x的方程x
2
?2(2m?1)x?(2m? 2)
2
?0
(1)有两个相等的实根;(2)有两个不相等的实根;(3)没有实根< br>例14.关于x的一元二次方程?x
2
?(2k?1)x?2?k
2
? 0有实数根,则k的取值范围是?
例15.已知x
1
,x
2
是方程x
2
?2x?a?0的两个实数根,且x
1
?2x
2
?3?2 .
(1)求x
1
,x
2
及a的值;(2)求x
1
3
-3x
1

+2x
1
+x
2
的值。

例16.已知关于x的一元二次方程x
2
?(2m?1)x?m
2
?0有两个实数根x
1
和x
2
.
(1)求实数m的取值范围;(2 )当x
1
2
-x
2

=0时,求m的值.




例17.已知关于x的一元二次方程x
2
?4x?m ?1?0.
(1)请你为m选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根;
(2)设
?
,
?
是(1)中所得到方程的两个实数根,求
?2
?
?
2
?
??
的值.





例18.关于x的一元二次方程(m?2)x
2
?(2m?1) x?m?2?0
(1)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两 个相等的实数根,求m的值和方程的根。


例19.已知两方程x
2
?mx?m?5?0和x
2
?(7m?1)x?13m?7?0至少有一个相同的实数根,< br>求m的值。


































专题四 函数
点的坐标
平面直角坐标系 用坐标确定位置
图形与坐标
图形的运动与坐标
函数的基础知识
函数的概念 函数值
解析法























































函数 函数的表示 列表法
图像法 函数的图像
自变量的取值范围
正比例函数的定义

一次函数 一次函数的定义

一次函数的图像与性质

反比例函数的定义

反比例函数
反比例函数的图像和性质



















待定系数法求
解析式
综合应用
平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点O的数轴,其中横的一 条叫做x轴(又叫横轴),纵的一
条叫做y轴(又叫纵轴)。这样,我们就说在平面上建立了平面直角坐 标系。
纵坐标:平面上的点到x轴的距离,再根据点所在象限确定正负号
横坐标:平面上的点到y轴的距离,再根据点所在象限确定正负号
坐标:有序实数对(x, y)叫做点的坐标,x表示横坐标,y表示纵坐标。

y都有唯
函数:在某个变化 过程中,设有两个变量
x,y
,如果对于
x的每一个确定的值,
一确定的值,那么就说
y是x的函数。x叫做自变量,y叫做因变量。

函数解析式:表示函数关系的等式,叫做函数解析式,简称函数式。
函数的图像:初中阶段所 学的函数都是二元函数,即一个方程中含有两个未知数,根据函数定义,一个自变量x对应
一个因变量y ,所以有无穷多个这样的x与y,我们把这些x, y组成有序实数对(x, y),在直角坐标系中进行描点, 连接这
些点所成的直线或曲线叫做函数的图像。所以函数图像上点的坐标对应代入函数,都能使函数等号 左右相等。
(一) 一次函数与正比例函数
一.概念
函数y?kx?b( k,b都是常数,且k?0)叫做一次函数。当b?0时,一次函数y?kx?b就成为
y?kx(k为 常数,且k?0),叫做正比例函数,常数k叫做比例系数。
二.主要知识点
1.一次函数y ?kx?b的图像是经过(0,b),(?
b
,0)两点的直线;
k
2.当k ?0时,y随x的增大而增大;当k?0时,y随x的增大而减小

3.b的几何意义是在y轴 上的截距;
4.对于两条直线y?k
1
x?b
1
,y?k
2
x?b
2
,当k
1
?k
2
,且b
1
?b
2
时,两直线平行;

当k
1
?k
2
时,两直线相交,交点是这两个方程的公共解;
当k
1
k
2
?-1 时,两直线互相垂直;
y?kx?b与坐标轴围成的三角形面积为
b
2
.2k
三、一次函数与一元一次方程以及二元一次方程组的关系
1.一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程的解就是一次函数与x轴交点的横坐标。
2.一次函数与二元一次方程组的关系
二元一次方程组可以看成两个一次函数,它的解就是两 个一次函数图像交点的坐标。
四、深刻理解一次函数图像的实际意义
例1.点E(?4,3)到x轴的距离是

到y轴的距离是

例2.已知直线y?2x?1和3x?2y?3,求(1)这两条直线的交点坐标;

(2)求两直线与x轴所围成的三角形的面积。






例3.如图所示,如果kb?0,且k?0,那么函数y?kx?b的图像大致是(
y y y y

X x
X

A B C D
例4.已知2y?3与此3x?1成正比例,且x? 2时,y?5,
(1)求y与x之间的函数关系式,并指出它是什么函数;

2)若点(a,2)在这个函数的图像上,求a的值。









例5.已知一次函数y?(3?k)x?2k? 1
(1)如果图象过(?1,2),求k;(2)若图象经过一、二、四像限,求k的范围;

(3)试判断图象能否经过二、三、四象限。




例6.已知直线y?kx?1(k?0),求k为何值时与坐标轴所围成的三角形面积等于1.




例7.若y是x的一次函数,图象经过(?3,2),且与直线y?4 x?6交于x轴上一点,求此函数的解
析式。



1
例 8.已知一次函数y?x?3的图像平行于直线,且经过点(?1,3),求此函数的解析式。

2



例9.将直线y?
1
x的图象向下平移5个单位长度,则得到的直线是

3
将直线y??3x?2的图象向上平移3个单位长度,则得到的直线是

例10.已知直线y?kx?b平行于直线y??3x?4,且与直线y?2x?6的交点在x轴上,求 此一次
函数的解析式。




例10.在一次函数y?kx?b中,当k?0,b?0时,图象经过第
象限;当
k?0,b?0时,图象经过
象限;
当k?0,b?0时,图象经过第
象限;当
k?0,b?0时,图象经过
象限。
例11.在同一坐标系内画 出一次函数y
1
??x?1与y
2
?2x?2的图象,并根据图象回答下列问 题
(1)写出直线y
1
??x?1与y
2
?2x?2的交点坐标;( 2)直接写出,当x取何值时,y
1
?y
2






例12.直线l
1
:y
1
?k
1x?b与直线l
2
:y
2
?k
2
x在同一平面直角坐标 系中,图象如图所示,则关于
x的不等式k
2
x?k
1
x?b的解集 为?






例13.已知直线y
1
?2x?6与y
2
??ax?6在x轴上交于A,直线y?x与y
1
、y
2
分别交于C、B.
(1)求a的值;(2)求三条直线所围成的?ABC的面 积。






例14.
已知A(8, 0)及在第一象限的动点P(
x
,
y
),且
x?y?10
, 设△OPA的面积为S
(1) 求S关于
x
的函数解析式
(2) 求
x
的取值范围
(3) 求S=12时P点的坐标
(4) 画出函数图象



例15.
A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两 地相向而行,s(千米)表示汽车与甲地的距离,t(分)表示汽车行驶的时间,如
图,L1,L2分别 表示两辆汽车的s与t的关系.
(1)L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系?
(2)汽车B的速度是多少?
(3)求L1,L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式.
(4)2小时后,两车相距多少千米?
(5)行驶多长时间后,A、B两车相遇?






例16.
某车间的甲、乙两名工人分 别同时生产同种零件,他们一天生产零件
y
(个)与生产时间
t
(小时)的函 数关系如图所示.
(1)根据图象填空:
①甲、乙中,_______先完成一天的生产任务;在生
y(个)
40
产过程中,_______因机器故障停止生产_______小时.
②当
t

25
?
_______时,甲、乙两产的零件个 数相等.
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快?求该段时间
内,他每小时生产零件的个数.
甲 乙
10
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t(时)





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