弗兰兹初中数学的基本概念

2020年11月28日发(作者：严参)
初中数学的基本概念

数 学
SHU XUE

第一章 有理数
一．基本概念
１．大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数；0既不是
正数也不是负数．
注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．
（２） 不一定是负数．
（３）负数＜０＜正数．（要会比较两个数的大小）
２有理数 ＂或 有理数
注：了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整
数＂、＂非负整数＂．
３．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（判断是不
是数轴的依据）
４．（１）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反
数．
（２）倒数：乘积为１的两个数叫做互为倒数．
（３）绝对值：数轴上表示数 的点与原点的距离叫做
数 的绝对值．
注：① 互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之
积为１．
② ０的相反数是０；０的绝对值是０；０没有倒
数．
③ 出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题
目，一般有两个答案．
例如：平方为９的 数有±３；绝对值为３的数有±３；距离
原点３个单位长度的点表示的数是±３．
注：要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反
数、倒数（０除外）和绝对值．

相反数

绝对值

倒数


正数

负数

正数

正数


负数

正数

正数

负数


０

０

０

不存在
５．科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式，就
叫做科学记数法．
注： 是整数位只有一位的数， 是正整数．
６（１）近似数：它是相对于精确数来说的．
（２）有效数字：从一个数的左边第一个非０数字起，到
末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 ．
二．有理数的运算法则
１．加法法则：
（１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相
加．
（２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用
较大的绝对值减去较小的绝对值．
（３）０加任何数都得任何数．
２．减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．即

注：加上一个数等于减去这个数的相反数．例
如 ．
３．乘法法则：
（１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值
相乘．
（２）０乘任何数都得０．
４．除法法则：
法则１：除以一个不等于０的数，等于乘以这个数的倒
数．即

法则２：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相
除．０除以任何一个不等于 ０的数，都得０．
５．乘方法则：
（１）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
（２）正数的任何次幂都是正数．
（３）０的任何次幂都是０．
☆ 任何一个数都可以看作是它本身的1次方．即

６．有理数的混合运算法则：
（１）先乘方，在乘除，最后加减；
（２）同级运算，从左到右进行；
（３）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括
号、大括号依次进行．
三．有理数的运算律
１．加法运算律
（１）加法交换律：
（２）加法结合律：
２．乘法运算律
（１）乘法交换律：
（２）乘法结合律：
（３）乘法分配律：
☆ 负数一定要用括号括起来，如： ．
第二章 一元一次方程
一．几个基本概念
1．等式：用等号连接的式子叫做等式．
２．方程：含有未知数的等式叫做方程．
３．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次
数是一次的方程叫做一元一次方程．
注：方程一定是等式，但等式不一定是方程．
☆“方程的解”和“解方程”
二．等式的基本性质
１．在等式的两边同时加上或减去一个数或式子，结果不
变．即

２．在等式的两边同时乘以一个数，或者除以一个不为０
的数，结果不变．即

三．解一元一次方程的步骤
１．去括号（把括号和括号前边的符号一同去掉，若括 号
前边是正号，则不变号；若括号前边是负号的，则变做相
反的符号．）
２．去分母（在等式的两边同时乘以公分母．注意：是等
式两边的每一项都要乘以公分母．）
３．移项（通常把未知数移到等式的左边，常数项移到等
式的右边．注意：从等式的一边移到另 一边要变作相反的
符号．）
４．合并同类项（化简的作用．）
５．化系数为１．
四．利润问题、工程问题
１．利润＝售价－进价＝进价 利润率（盈利率）
售价＝进价＋利润＝原价 折扣数
利润率＝利润 进价
２．工作总量＝工作效律 工作时间
注意：做题时，往往把工作总量看作１．
顺流（风）速度＝静水（风）速度＋水（风）流速度
逆流（风）速度＝静水（风）速度－水（风）流速度★ 补
充教材 ★
（一）字母表示数
如：若 、 分别表示两个数，则加法的交换律可以表示
为 ，乘法交换律可以表示为 等．还有解方程中的 、圆面
积中的 等都表示数字．
☆字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或简单记作“ ”，
数字与字母相乘，一定要把数字写在字母的前面，并把数
字叫做该项的系数．
（二）代数式
像 、 、 、 等这样的式子都是代数式．
（三）代数式求值
1．填写下表1

2

3

4

511





26



4





25
2．人体血液的质量约占人体体重的6％～7.5％，
如果某人体重是 千克，那么他的血液质量大约在什么范围
内？
（四）去括号（比较与添括号）
去括号的法则：
（１）括号前边是＂ ＂，把括号和它前面的＂ ＂一
同去掉，原括号里各项的符号都不改变．
（２）括号前边是＂ ＂，把括号和它前面的＂ ＂一同去
掉，原括号里各项的符号改变为相反的符号．（即正变负，
负变正）



第三章 图形认识初步

注：平面几何要求熟记面积公式和周长公式，立
体几何要求会作图，知道它们的顶点、棱、面的个数．
２.直线、射线、线段．

端点

长短

粗细

表示


直线

无

无

无

直线AB


射线

1

无

无

射线AB


线段

2

有

无

线段AB
（1）两点之间线段最段．
两点确定一条直线．
（2）点和直线的位置关系：
① 点在直线上（直线经过点）
② 点在直线外（直线不经过点）
（3）点动成线，线动成面，面动成体．
即：无数个点构成线 ，无数条线构成面，无数个面
构成体．
3．角的两种概念：
（1）有公共端点的两条射线构成的图形叫做角．
（2）一条射线绕着它的端点旋转后得到的图形叫做
角．
４．角的度量
１度＝ 分＝ 秒．（要求：熟悉单位之间的换算）
例如：（１）23度15分＝＿＿＿度． （２）75.5度=____
度___分．
５．余角和补角．（会求任意角的余角和补角）
（１）若两角之和为 度，则称这两个角互为余角．
（２）若两角之和为 度，则称这两个角互为补角．
☆ 同（等）角的余角相等；
☆ 同（等）角的补角相等．


第四章 数据的收据与整理
☆ 调查
☆ 调查的方式有：问卷调查、访问调查、查阅文献资料
和实验等．
１．收据数据（制作调查问卷）
２．整理数据（制作表格）
３．描述数据（条形统计图、扇形统计图、折线统计图）
４．分析数据（得出结论、给出建议）
☆ 本章：要求会作统计图、会看统计图、会分析统计
图，最后得出结论．


第五章 相交线与平行线
一．基本概念
１．两直线的位置关系
（１）相交（有一个交点）
（２）平行（无交点）
☆ 垂直是相交中的一种特例．
☆ 三条直线相交有1个或3个交点．
2．邻补角（互补） 3．对顶角（相等）
4．垂直（90o） 5．垂足（交点）





６．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的
长度叫做，叫做点到直线的距离．
☆ 所有的距离都是指垂直距离．
７．两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且< br>夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的
距离．
８．命题：判断一件事 情的语句叫做命题．包括条件和结
论．一般写成＂如果……那么……＂的形式．可分为真命题和
假命题． 你能找出左图中的邻补角、对
顶角吗？
二．基本性质
１．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（点可以在
直线上，也可以在直线外）
２．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直．
３．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短．（简单说成：垂线段最短．）
４．（平行的传递性）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相
互平行．
即：如果a∥b，b∥c ，那么a∥c．
（平行的传递性）
☆ 等式的传递性：若Ａ＝Ｂ，Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ．
☆ 全等(相似)三角形的传递性
６．两直线平行的条件（判定）：
（１）同位角相等，两直线平行．
（２）内错角相等，两直线平行．
（３）同旁内角互补，两直线平行．
７．平行线的性质：
（１）两直线平行，同位角相等．
（２）两直线平行，内错角相等．
（３）两直线平行，同旁内角互补．你能找出左图中的同
位角、内错角、同旁内角吗？
８．（１）平移不改变图形的大小和形状．
（２）连接各组对应点的线段平行且相等．


第六章 平面直角坐标系
一．平面直角坐标系（直角坐标系）及其相关概念
（坐标原点）纵坐标横坐标
☆ 有序数对：有顺序的两个数ａ与ｂ组成的数对，叫做
有序数对．记作（ａ，ｂ）．
☆ 一般情况下：（ａ，ｂ）≠（ｂ，ａ）
☆ 点的坐标就是一个有序数对．
☆ 原点Ｏ的坐标是（0,0）,x轴上的坐标是 (ｘ，０)，ｙ
轴上的坐标为（０，ｙ）．
二．用坐标表示平移
１．左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加．
２．上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减．

第七章 三角形
一．基本概念
１．三角形 ２．多边形（凸、凹）
３．正多边形（各个角相等，各条边相等）
４．内角（简称为角，三角形、多边形的内角）
５．外角（三角形、多边形的外角）
６．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做
多边形的对角线．
７．三角形的高（垂直，即90o）、中线（线段相等）、角平
分线（角相等）
二．基本性质
１．三角形的任意两边之和大于第三边．（判断任意三条线
段能否组成三角形的依据）
２．三角形具有稳定性．
３．ｎ边形的内角和为（ｎ－２）·180o；三角形的内角和为180o，四边形的内角和为360o．
４．多边形的外角和为360o．
５．（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
和．
（２）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内
角．


第八章 二元一次方程组
一．基本概念
１．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次
数都是一次的方程叫二元一次方程．
２．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一
次方程合在一起，就叫做二元一次方程组．
３．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等
的未知数的值，叫二元一次方程的解．
４．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程
的公共解叫二元一次方程组的解．
二．解二元一次方程组的两种方法
1 ．代入消元法（代入法）：由二元一次方程组中的一个 方
程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再
代入另一个方程，实现消元，进而求 得这个二元一次方程
组的解，这种方法叫做代入消元法．
２．加减消元法（加减法）：两个二 元一次方程中同一未知
数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相
减，就能消去这 个未知数，得到一个一元一次方程，这种
方法叫做加减消元法．
☆ 如何消元更简单？
如果有一个未知数的系数是１，那么通常
情况下采用代入消元法；如果两个二元一次方
程中同一未知数的系 数相反或相等时，那么
通常情况下采用加减消元法．


第九章 不等式与不等式组
学习方法：学习本章要结合前面的等式、方程、方
程组进行对比学习，注意知识之间 的融会贯通，找出它们
之间的联系和区别．
一．基本概念
１．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）连接
的式子叫做不等式．
２．不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不
等式的解．
３．解的集合（解集）：不等式的所有解组成的结合叫
做解的集合（解集）．
４．一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次
数是一次的不等式叫做一元一次不等式．
５．一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合起
来，组成一个一元一次不等式组．
６．不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，
叫做它们组成的不等式组的解集．
二．不等式的基本性质
１．不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不改变．
如果 a ＞ b，那么a±c ＞ b±c．
2． 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的
方向不改变.
如果a＞b，c＞0,那么ac ＞ bc（或 ）
３．不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的
方向要改变.
如果a＞b，c＜0,那么ac ＜ bc（或 ）
三．解不等式的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并→化
系数为１（系数是负数时，不等号的方向要改变）．
四．用不等式（组）解决实际问题的一般步骤
解设→找出不等量关系，列出不等式（组）
→求解不等式（组）→考虑问题的实际意义
→作答．
☆ 到底是选择方程（组）还是选择不等式（组）解题，
主要是看是否有以下关键词：
不能完成任务，提前完成任务；超过，不超过．


第十章 实 数
一．基本概念
1．平方根：若ｘ２＝ａ，则称ｘ是ａ的平方根，记
作：ｘ＝± ；其中ｘ＝ 叫做ａ算术平方
根，ｘ＝－ ，叫做ａ的负的平方根．
＂ ＂读做二次根号ａ，ａ叫做被开方数．
２．开平方：求一个数ａ的平方根的运算叫做开平
方．平方与开平方互为逆运算．
３．立方根：若ｘ３＝ａ，则称ｘ是ａ的立方根做：ｘ
＝ ；＂ ＂读做三次根号ａ，ａ叫做被开方数．3叫做根指
数．
4． 开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方．立方与
开立方互为逆运算．

算术平方根(１个)

平方根
（２个）

立方根
(１个)


正数

正数

互为相反数

正数


０

０

０

０


负数

不存在

不存在

负数
５．无理数：无限不循环小数叫做无理数．它包括
正无理数和负无理数．
６．实数：有理数和无理数统称为实数．
（１）实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个 实数
都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一
个点都表示一个实数．
（２）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实
数；在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运 算性质
等同样适用．
二．实数的两种分类无限不循环小数有限小数和无限循环
小数１． ２．


第十一章 一次函数
一．基本概念
1． 常量：数值不发生变化的量．
2． 变量：数值发生变化的量．
3． 自变量（x）；函数（y）；函数值；函数图象．
二．两种重要的函数
1．正比例函数y=kx （k≠0）
它的图象是一条经过原点的直线．
⑴当k＞0时，图象过一、三象限；上升；y随x的增大而
增大．
⑵当k＜0时，图象过二、四象限；下降；y随x的增大而
减小．
2．一次函数 y=kx+b （k≠0）
⑴当k＞0时，；上升；y随x的增大而增大．
⑵当k＜0时，；下降；y随x的增大而减小．
☆ 当b=0时，一次函数就是正比例函数．
三．函数图象的平移
直线y=kx+b是由直线y=kx平移 ︱b︱个单位长
度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平
移）．
四．用函数观点看方程（组）与不等式
即用函数图象解方程（组）与不等式
１．解一元一次方程
把一元一次方程化为ax＋b=0(a≠0)的形式，把左边
看成 一个一次函数ｙ=kx+b，函数图象与ｘ轴的交点的横坐
标就是方程的解．
２．解二元一次方程组
一个二元一次方程对应一条直线，一个二元一次方
程组就对应两 条直线．两条直线的交点就是方程组的解
（横坐标是ｘ的解，纵坐标是ｙ的解）．
３．解不等式
把不等式化为ax+b>0或ax+b<0的形式,解不
等 式可以看作:函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范
围.关键还是看函数图象与x轴交点的横坐 标的值.
五.常见题型和做题方法
1.常见题型
①怎样判断一个点是否在函数图象上？
②怎样判断一个图象是不是函数图象？
③正比例函数、一次函数的概念？
2. 做题方法
① 待定系数法求正比例函数、一次函数的解析式．
② 题目中说：某个点在函数图象上（函数图象经过某 个
点），通常情况下需要把这个点的坐标代入函数的解析式．

第十二章 数据的描述
一．基本概念
１．频数：（城市）个数．
２．频率＝频数÷总数．（总数＝频率×总数）
３．组数．
４．组距：前后两个端点的差叫做组距．
５．组中值：各个小组两个端点的平均数叫做组中值．
二．几种常见的统计图
要求：会作图、会看图（分析图）．
１．条形图
特点：能够显示每组中的具体数据．
作图和看图时：需注意横轴、纵轴分别表示什么，条形图
中应该有几＂条＂．
２．扇形图
特点：能够显示部分在总体中所占的百分比．
作图和看图时：需要有 图例，注意扇形图中有几个扇
形，能求出各个扇形所对的弧长、圆心角的度数、扇形面
积．
Ｌ弧长＝圆周长×百分比
Ｓ扇形＝圆面积×百分比
圆心角＝360°×百分比
３．折线图