平均脸初中数学中的转化思想

2020年11月28日发(作者：祝万寿)
初中数学中的转化思想



北京214中 王永俊



转化思想是常用的数学思想之一．它是指在研究新问题或复杂 问题时，
常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在初中的
代数、几何 中成为一个重要的数学思想．

初中的代数、几何中大量地渗透着转化思想，下面仅举几例加以说明．

一、代数中的转化思想

1．概念性的转化

有些问题，在学习时我们并没有意识到它含有转化思想，然而掌握


巧妙转化，使应用得心应手．又如：

例1 解关于x，y的方程组


分析 本题若解方程组，解法较繁．但若用方程根的定义则可更漂亮地
解决．

解 若a=b时，则方程组有无数组解．因为此时方程组就等价于 x+ay=a
2
这个二元一次方 程，对于任意一个实数x，都可求得相应的实数y，因此它有
无数组解．若a≠b，则由已知方程组的定 义，得a、b是方程x+yt=t
2
(即t
2
-yt-x=0)
的根 ．

由韦达定理，得a+b=y，ab=-x．


2．方法上的转化

方法上的转化常是通过一定的数学方法使复杂问题降低难度．

例2 把(ab-1)
2
+(a+b-2)(a+b-2ab)分解因式．

分析 一般地说本题难度很大．但若用换元法就可转化为较易解的问题．

解 注意本题特点，a+b与ab重复出现，于是设ab＝x，a+b=y，则

原式=(x-1)
2
+(y-2)(y-2x)

=x
2
-2(y-1)x+(y-1)
2
(注意用公式)

=[x-(y-1)]
2
=［ab-(a+b)+1]
2
(代回)< br>
＝[(a-1)(b-1)]
2
＝(a-1)
2
(b-1)
2
．

例3 已知：x
2
+x-1=0，求x
3< br>+2x
2
+5的值．

分析 这是条件求值问题，若由x
2< br>+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁
了．但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解 了．


解 ∵ x
2
+x-1=0，

∴ x
2
=1-x．

原式=x(1-x)+2(1-x)+5

=x-x
2
+2-2x+5

=x-(1-x)+7-2x＝6．

转化的方法常不是唯一的．灵活思考会得到不同 的转化途径．若把待求
式拆拼出已知形式可得下列解法．

解法二 ∵ x
2
+x-1=0，

∴原式=(x
3
+x
2-x)+(x
2
+x+5)

=x(x
2
+x-1)+(x
2
+x-1)+6=6．

这叫凑零法．还可以有多种方法，但用多项式除法原理则更简捷．

原式=(x+1)(x
2
+x-1)+6．

∵ x
2
+x-1＝0，

∴原式=6．

二、几何中的转化思想

在几何的证明中大量存在转化思想．

1．利用合同变换转化

对称、平移、旋转称为合同变换，在几何中经常出现．

例4 已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠BAD+∠ABC=90°，M、


分析 本 题求证中线段的关系较分散．从题目特点考虑，注意到∠BAD+
∠ABC=90°，则将AD、BC向 内平移会出现基本图形Rt△NEF．问题转化
为证明MN为Rt△NEF斜边上的中线，又转化为AB -CD=EF=2MN即可(证明
略)．

2．利用相似变换转化

一些等积式常要用相似变换转化．

例5 如图，△ABC中，AD=DB，DF交A C于E，交BC延长线于F．求证：
AE·CF=EC·BF．




不出相似三角形，于是考虑做辅助线转化为相似三角形(或平行线分线