魏明伦初中数学经典几何题及答案

2020年11月28日发(作者：史占春)

4ed c
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
C
E



G

A
B
D O

F
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15
0
．
A D
求证：△PBC是正三角形．（初二）

P






C
B


3、如图，已知四边形ABCD、A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形，A
2
、B
2
、C
2
、D
2
分别是AA
1
、BB
1
、
CC
1
、DD
1
的中点．
A
D
求证：四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形．（初二）
D
2
A
2
A
1

D
1


B
1

C
1

B
2
C
2

B C


4、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC
的延长线交MN于E、F．
F
求证：∠DEN＝∠F．

E


N C
D
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A
M
B
经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
A
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝60
0
，求证：AH＝AO．（初二）

O

·
H
E


B
C
M D



2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条 直线，交圆于B、C
及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
G
E
求证：AP＝AQ．（初二）


O
·
C


B
D


3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
M N
Q
P A
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN
E
于P、Q．
C
求证：AP＝AQ．（初二）
A
Q

M
·
N
P

·
O
B



D
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△A BC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG，点P是EF的中点．
D
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

G

C
E

经典难题（三）
P
F

A
B
Q
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
D
A


F
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E
B
C






2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
A D
F




B
C

E
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
A D


F



B

P C E
4、如图，PC切圆O于C，AC 为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于
B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD ．（初三）
A



O D
B
P

经典难题（四）
E
F

C
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D

P


B
B
C


3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
A



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C
D
B
C






4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

A
F
D
经典难题（五）

B
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
P
≤L＜2．
E
C
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．




B

A

A

D

P

P

C

B

C

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

A

P

D




B

C

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80
0
，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30
0
，
A

∠EBA＝20
0
，求∠BED的度数．




D

E

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B

C



经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
即 △GHF∽△OGE,可得
EOGOCO
==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
GF
GH
CD


2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝15
0
所以∠DCP=30
0
，从而得出△PBC是正三角形

3.< br>如下图
连接BC
1
和AB
1
分别找其中点F,E.连接C2
F与A
2
E并延长相交于Q点，
连接EB
2
并延长 交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点， < br>0
111
由A
2
E=
1
2
A
1B
1
=
2
B
1
C
1
= FB
2
，EB
2
=
2
AB=
2
BC=F
C
1
，又
∠GFQ+∠Q=90和
∠GE
B
2
+
∠Q=90
0
,所以∠GE
B
2
=
∠G FQ又∠B
2
FC
2
=∠A
2
EB
2
，
可得△B
2
FC
2
≌△A
2
EB
2
，所以A
2
B
2
=B
2
C
2
，
又∠GFQ+∠HB
2
F=90
0
和∠GFQ=∠EB
2< br>A
2
,
从而可得∠A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
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从而得出四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。



4.
如下图
连接A C并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得
∠QMF=∠F，∠QNM=∠
DEN和∠QMN =∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。



经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG
⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得
∠BOC=120
0
，
从而可得∠BOM=60
0
,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
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3.作OF
⊥< br>CD，OG
⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
ADACCD2FDFD
====
由于，
ABAEBE2BGBG
由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，
∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。


4.过E,C,F点分别作AB所在 直线的高EG，CI，FH。可得PQ=
AI+BIAB
= ，从而得证。
2
2
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EG+FH
。
2
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
从而可得
PQ=