一件幸福的事鲁教版初中数学定义定理(大全)

2020年11月28日发(作者：黎文修)

第一篇 数与代数
第一节 数与式
一、实数
1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是
有理数 .如:－ 3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如:
π, ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数.
2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。
3.

绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值
是它 本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=
π－3.14.
4.

相反数：符号不同、绝对值 相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数
是0。
5.

有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫
做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.
6.

科学记数法：把一个数写成a×10
n
的形式(其中1≤a <10,n是整数),这种记数法叫做科学记
数法. 如:407000=4.07×10
5< br>,0.000043=4.3×10
－5
.
7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。
8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。
9.平方根：一般地，如果一个 数x的平方等于a,即x
2
=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫
做二次方根式） 。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根．
10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
11．算术平方根：一般地，如果 一个正数x的平方等于a,即x
2
=a，那么这个正数x就叫做a的
算术平方根，0的 算术平方根是0．
12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x
3
=a ，那么这个数x就叫做a的立方根（也
叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0 的立方根是0．
13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．
14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而
求为64的算术平方根； （2）

的平方根是士

，误认为

平方根为士 2，应知道

=2．
15.二次根式：
(1)定义:___________________ ________________________________叫做二次根式.
16．二次根式的化简：
17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或 整数；（2）被开方数中不含
有能开得尽的因数或因式．
18．同类二次根式：几个二次根式 化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根
式就叫做同类二次根式．
19．二次根式的乘法、除法公式
20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减 ，先把各根式化为最简二次根式，再合并
同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并； ③化简不正确；④合并出错．（2）
二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果 一定写成最简二次根式
或整式．
21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把 绝对值相加；异号两数相加，绝对
值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大 的绝对值减去较小的
绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

23．有理数乘 法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0
相乘，积仍为0． 24．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何
非0 的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
25．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除 ，最后算加减；如果有括号，先算括号里面
的．
26．有理数的运算律：
加法交换律：

为任意有理数)
加法结合律：(a+ b）+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
二.代数式：
（1）用运算符号 把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也
是代数式。
（ 2）同类项：是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项的法则：系
数相加作系数 ，字母和字母的指数不变。
三.整式
1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

（m、n
为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即
< br>（a≠0，m、
n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即< br>
（n为正整数）；
④零指数：

（a≠0）；⑤负整数指数：（a≠0，n为正整数）；

2.整式的乘除法:
①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.
②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
③多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.
④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
⑤平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即

；
⑥完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的
2倍，即< br>

3．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
4．分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：公式

；
5．分解因式的步骤：分解因式时，首 先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，
然后再考虑是否能用公式法分解．
6．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．
⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．
⑶ 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
四.分式
1．分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B≠0，则=0
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不
变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通 分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通
分．

5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的
分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的乘 除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积
的分母；两个分式相除 ，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简 公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公
倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去 分母混淆，本是通分，却成了去
分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，
第二节 方程与不等式
一、一元一次方程
1．方程：含有未知数的等式叫方程．
2．一元一次方程：只 含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程
叫一元一次方程．一般形式：a x＋b=0（a≠0）
3．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：

二、二元一次方程（组）
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都 是1的方程叫做二元一次
方程．
2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成 的一组方程，叫做二元一次方程
组．
3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的 公共解，叫做这个二元一次方程组的
解．
4．二元一次方程组的解法．
（1） 代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，
将其中一个方程 中
的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未
知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程
组的方法叫 做加减消元法，简称加减法．
三、分式方程
1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2.解分式方程的步骤:①去分母,化为整式方程;②解整式方程;③验根;④下结论.
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分
式 方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的
根恰好使原方程 中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵ 验根：因为解
分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
四、一元二次方程
1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程
叫一元二次方 程．一般形式：ax
2
＋bx+c=0(a≠0）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种 解一元二次方程的方法．用
配方法解一元二次方程：ax
2
＋bx+c=0(k≠0） 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程
两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项 和一次项，右边为常数项；③配
方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为( x+m）
2
=n的形式；
⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n= ＜0，则原方程无解．

⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它 是通过配方推导出来的．一
2
元二次方程的求根公式是

(b－4ac≥0)
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根
据 是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方
程左边分解为两 个一次因式的乘积；③令 每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这
两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当 a=0时，不含有二次项，即不是一
元二次方程．如关于x的方程（k
2
－1）x2
+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二 次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、
b、c的值；③求出b
2< br>－4ac的值；④若b
2
－4ac≥0，则代人求根公式，求出x
1
,x
2
．若b
2
－
4a＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边 绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)
2
=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握， 解一元二
次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
五、一元一次不等式(组)
1．不等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．
2．不等式 的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）
不等式的两边 都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘
以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变．
3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式：只含有一个未知数 ，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式
叫做一元一次不等式．
7．解一元一次不 等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的
方向要改变，这是同学们经常 忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8 解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1
9．求不等式 的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所
需特解．
10 ．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一
元一次不等式组 ．
11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这
个一元一次不等式组的解集．
12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
13．不等式组的分类及解集(a＜b）．
14．解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
第三节 函数
一.平面直角坐标系
1．平面直角坐标系：
（1）在平面内，两条互 相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴
分别置于水平位置与铅直位置，取向右 与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴
叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴 和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O
称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．

(2)象限:


二.一次函数
1．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形 式，
则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．
2．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的一条直线，正比例
函数y=kx的图象原点(0，0）的一条直线，如下表所示．
3.一次函数的图象和性质: y=kx+b(k、b为常数k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y 轴的交
点的纵坐标).当k>0时, y 随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随 x的增大而
减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx_又叫做正比例函数(y与x成正 比例),图象必过
原点；一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下(b<0)平
移的到一条直线,
三.反比例函数
1.定义:_____________________________ ____________________的函数成为反比例函数
2.图象和性质: 利用画函数图 象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，
反比例函数y=具有如下的性质（见下表） ①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个
象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内， y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数
的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升， 也就是在每个象限内，y随x的
增加而增大．
四.二次函数
1.定义:_____ ______________________________________________的函数称 为二次函数
2.图象和性质:函数

的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线；
①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；
②对称轴：过点（ 且平行于y轴的直线；③顶点坐标（ ；
④增减性：当a>0时，如果 ，则y随x的增大而减小，如果 ，则y随x的增大而增大；当a<0
时，如果 ，则y随x的增大而增大，如果 ，则y随x的增大而减小；
3．图象的平移：将二次函数y=ax
2
(a≠0）的图象进行平移，可得到y=a x
2
＋c，y=a(x－h)
2
，
y=a(x－h)
2＋k的图象．
⑴ 将y=ax
2
的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax
2
＋c的图象．其
顶点是（0,c）
形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax
2
相同．
⑵ 将y=ax
2
的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)
2
的图象．其
顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线
y=ax
2
相同．
⑶ 将y=ax
2
的图象向左（h<0 ）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|
个单位，即可得 到y=a(x－h)
2
+k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax
2
相同．
4. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系:
（1）一元二次方程

就是二次函数

当函数y的值为0时的情况．
（2）当二次函数

的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程

有两个不相等的实数根；当
二次函数

的图象与x轴有一个交点时，则一元二 次方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
当二次函数y＝ax
2< br>+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程

没有实数根．
第二篇 空间与图形
第一节 图形的认识