tethys初中数学教材中的数学思想(1)

2020年11月28日发(作者：戚元靖)
初中数学教材中的数学思想
上海市塘桥中学 孔晓洪

“天得一而清 ，地得一而宁，万物得一而生”，数学的美在于其统一性与简单
性。化归思想、数形结合思想、整体思想 、函数思想、对应思想等不都是数学统
一美的表现吗？方程、函数、不等式之间是统一的，加、减、乘、 除之间是统一
的，减就是加，除就是乘。数与式之间是统一的，数与形之间是统一的。在数学
统 一美的统领下，各种数学思想各善其能。其实，每一种数学思想都可以写厚厚
的一本书，又岂是本文浮光 掠影式的一带而过。
曾有人说过“一堂课如果没有数学思想的渗透，那么它就是一堂没有品位的
课。”一堂好课就像一杯清茶，要留有口齿生津的余香；就像马致远的“枯藤老
树昏鸦，小桥流水人家 ，古道西风瘦马”一样，要留给人无限的遐想。就像中国
的水墨山水，寥寥数笔却留给人大量的言外之意 、画外之音。庄子说：“大道无
言、大音稀声”；听了一堂好课，在静思冥想中，细细体会知识背后所蕴 含的思
想，或许就会给我们带来小小的快乐，一堂好课除了教给我们一些知识之外，最
重要的是 让我们感受一些数学的思想。日本数学家和数学教育家米山国藏说：“学
生在初中或高中所学到的数学知 识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因
而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘 掉了，然而不管他们从
事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工< br>作中发挥着作用。”
那么初中数学教材中渗透了那些数学思想呢？
1、化归思想
匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方
法”作过描 述：“如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，
他们往往不对问题进行正面的攻击 ，而是不断地将它变形，直至把它转化为己经
能够解决的问题。”当然，从陈旧的实用观点来看，以下的 一个比拟也许是十分
可笑的，但这一比拟在数学家中广为流传，比拟是这么说的：现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎么去做呢?往水壶里注满
水，点燃煤气，然后 把水壶放在煤气灶上。你对问题的回答是正确的。现把所说
的问题稍作修改，即假设水壶里己经装满了水 ，而所说问题中的其他情况都不变，
试问，此时你应该怎样去做？此时被问者一定会大声而颇有把握地说 ：“点燃煤
气，再把水壶放上去。”他确信这样的回答是正确的，而数学家却会回答：“只须
把 水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化
归方法已经成为了数学家们 最典型的思维模式了。
所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。数学中把待 解决
的问题通过转化，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获
得原问题的 解答的一种手段和方法。化归方法用框图可直观表示为：
待解决的问题A
转化
易解决的问题B
问题A的解答

还原 问题B的解答

其中，问题B常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策
略。所 以化归包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归策略。化归的方
向是：由未知到已知，由复杂到 简单，由困难到容易。
初中数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为 己知，
化多元为一元，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容
上，有加 减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元
等等都是实现转化的具体手段。转 化思想是一种思维策略的表现，即我们常说的
换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想，它要求我 们能把握住问题的本
质，能辨证地看待事物，能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解决，把隐含的条件转化为明显的条件，把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。
严格说，初中的几何 证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个
已证的定理或结论来证明，实质上是一种化归 过程。老老实实从公理、公设、定
义出发去证明每一个命题，既费时，又没有必要，对初中学生来说有的 甚至是不
可能达到的。等价转化本身是数学中的很重要的内容，可以把较为深奥的问题化
为较浅 显的问题，较复杂的问题转化为较简单的问题。学习数学时头脑的灵活也
体现在这种等价转化上，能把原 题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论
本质上相同，做到此很不简单。
例 1：有鸡、兔若干只同笼，已知共有头12个，腿36条，问鸡、兔各多
少?此题解法较多，我们可以用 化归方法，若鸡、兔同时抬起一半腿，则有腿18
条，比头数多6，问题很快解决。
例2：如图，正方形的边长为a，求图中阴影部分面积。

分析：图形不规则，换 一个角度看，知阴影部分是由4个以正方形的边长为
直径的半圆叠加再减去一个正方形而形成。
有些问题如果直接解决难以入手，不妨换一个方向、角度或观点来考虑，或
许能使问题变得更清晰、更 明朗，这就是转化思想。
2、符号化、方程与函数思想
符号化思想，方程思想和函数思 想本来是三个不同的思想，它们各有侧重点，
符号化偏重于形式化、结构化。方程思想相对于算术法，偏 重于关注问题中的等
量关系、构造方程，由解方程而达到问题解决。函数思想则偏重于事物的运动变化，寻求变量之间的对应关系。但是，一方面，由于初中数学知识量毕竟有限，
这三种思想的形成还 有待学生在后继学习中完成，另一方面，这三种思想存在着
有机的联系，符号化是方程思想实现的基础， 而方程又可以看作是函数的特殊情
况，方程方法也是研究函数的有力工具。因此，这里把这三种思想方法 放在一起。

a、符号化思想
符号既可以表示数，又可以表示量；既可以表示未知数，又可以表示已知数；
既可表示常量，又可表示变量，还可以用符号表示运算、表示关系、表示语句、
表示图形。
b、 方程思想