现代语文数学高考的能力要求

2020年11月28日发(作者：史钧杰)
数学高考的能力要求
——解读数学高考考试大纲
普通高考的目的和性质决 定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习
的知识的内在联系、学科基本 规律及方法的理解程度和应用程度进行考查，即考查考生的一般心理能力和
学科能力。从学科角度和命题 实践出发，可将高考的数学考试的能力要求归纳为以下几个方面。
1. 思维能力
会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合
乎逻 辑地、准确地进行表述。
2. 运算能力
会根据法则、公式进行正确运算、变 形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运
算途径；能根据要求对数据进行估计和近 似计算。
3. 空间想象能力
能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直 观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关
系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与 图表等手段形象地揭示问题的本质。
4. 实践能力
能综合应用所学数学知识 、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；
能阅读、理解对问题进行陈述 的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象
为数学问题，建立数学模型； 应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说
明。
5. 创新意识
能从数学的角度发现问题，提出问题，能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考， 探索、研究和
解决问题。
数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空 间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表
达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数 量关系和数学模式作出思考和判断，形
成和发展理性思维，构成数学能力的主体。对能力的考查，强调“ 以能力立意”，就是以数学知识为载体，
从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料 。对知识的考查侧重于理解和应用，尤其
是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境 中去的能力，从而检测出考生个体理性思
维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。
对 能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际。运算
能力是 思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要
是算理 和逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主。空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的
能力， 考查时注意与推理相结合。实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学
化，这 个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学
问题， 并加以解决。命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的
数学 知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际。让数学应用问题的难度更加符合考生的
水平 ，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中
形成 和发展数学应用的意识。
创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。在数学学习和研究过程 中，知识的迁移、组合、融会
的程度越高，展示能力的区域就越宽，显现出的创造意识也就越强。命题时 要注意试题的多样性，设计考
查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究 型、探索型或开放型的题目。
让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适 的解题工具，梳理解题程序，
为考生展现其创新意识发挥创造能力创设广阔的空间。
（一）思维能力的考查
思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本 素质的主要标志。思维能力
在数学科中是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性 ，是完全可以脱离数学内容
而适用于思维的一切领域。因此，高考应把思维能力的考查放在重要的位置。 高考对思维能力的考查以演
绎推理为重点，注意归纳和类比推理；考查观察、比较、分析、综合、抽象和 概括能力；注意数学语言、
普通语言的理解和运用；注意思维品质的考查。
1. 演绎推理
数学是一个各部分紧密联系的逻辑系统，形式逻辑推理是基本方法。由概念组成命题， 由命题组成判
断，由判断组成证明。在数学领域中只有被严密逻辑证明了的结论才被承认为正确的，因此 数学是体现逻
辑最为彻底的学科。中学没有逻辑学科，数学就很自然地承担了这方面的责任，因此数学考 试中着重考查
了演绎推理的能力。
演绎推理能力是指从定义出发进行分析、推理、论 证的能力，其重点是三段论推理。大学对合格新生
的要求一方面是掌握一定的数学知识，但更重要的是具 有一定的能力。在大学数学基础课程中，学生普遍
感到困难的是线性代数，如向量空间。究其原因，是学 生利用原理、定义进行抽象推理的能力没有达到要
求。
高考对逻辑思维能力的考查主 要体现在对演绎推理的考查。试卷中考查演绎推理的试题比例较大，命
题时既要考虑使用选择题、填空题 的形式进行考查，又要考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进
行考查。
2. 归纳推理
归纳推理和演绎推理是两种不同的思考和推理方法。归纳推理是一种由旧事物发现新事 物的推理方法，
是创造力的一种成分。虽然数学知识是一个演绎的知识体系，并且演绎推理是数学研究和 学习的重要方法，
但归纳的方法是获得数学结论的一条重要的途径，运用不完全归纳法通过观察、实验， 从特例中归纳出一
般结论，形成猜想，然后加以证明，这是数学研究的基本方法之一，是学生应当学习、 理解的。
归纳推理可分为完全归纳和不完全归纳两种。包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳 。数学归纳法
也是一种完全归纳法。高考对归纳推理的考查是从这两个方面进行的。
3. 直觉思维
数学思维主要是形式逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，并严格遵循形式逻 辑推理的规则。直觉
思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑推理之前，迅速对事物作 出判断，得出结论。
而且这种结论还需要严格的逻辑证明。事实上，直觉思维得出的结论并不是主观臆断 ，而是以扎实的知识
为基础，以对事物敏锐的观察、深刻的理解为前提的。
直觉思维是 指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式。在直觉思维过程中，人
们以已有的知识 为根据，对研究的问题提出合理的猜测和假设，其中含有一个飞跃的过程，往往表现为突
然的认识和领悟 ，直觉思维的特性主要表现在思维对象的整体性、思维产生的突发性、思维过程的非逻辑
性、思维结果的 创造性和超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等。
逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式 。逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维
又是思想中最活跃、最积极、最具有创造性的成 分，逻辑思维与直觉思维形成了辩证的互补关系，它们的
辩证运动构成了完整的数学思维过程。直觉思维 为演绎思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则对直觉
思维作出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化 。
既然直觉思维与逻辑思维一起组成数学思维，那么在高考命题中，很自然地要考虑如何对直觉 思维进
行考查。考生在考试过程中直觉思维活动的结果是可以在卷面上反映出来的，但思维过程则很难反 映出来。
因此，选择题、填空题的题型对考查考生的直觉思维有特别的作用。我们在设计试题时，往往从 多种方法、
多个角度来考虑，使试题解答尽量应用多种思考方法，给考生提供较为广阔的思维空间。由于 考生在解答
时思考的思维方式不同，那么他们解题所花费的时间也必定不同。我们便以解答时间的长短来 衡量考生的
思维水平，解答正确而所用时间较少的考生，其思维水平较高。在他们的思维过程中，必定含 有直觉思维
的因素。
解选择题时，鼓励考生使用“猜”的方法对不对呢？“猜”算不算 数学？这些问题在一部分教师中还存在着
不同的认识。他们总认为数学就是严格的推理、严密的证明，“ 猜”怎么能算数学呢？怎么能进入课堂？孰
不知，“猜”是直觉思维的特性，是发明创造的基础，是人的 素质的标志。科学、合理的猜测是数学能力的
体现!我们不鼓励胡猜、乱猜、瞎猜，而提倡合乎情理的猜 想。正如一些伟大的数学家所说：数学有两个侧
面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学 是一门系统的演绎科学，但另一方面创造过程中
的数学，看起来更像一门试验性的归纳科学。
（二）运算能力的考查
运算能力是思维能力和运算技能的结合。它不仅包括数的 运算，还包括对式的运算，对考生运算能力
的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和 逻辑推理的考查。
运算能力主要是数与式的组合与分解变形的能力，包括数字的计算、代数式和 某些超越式的恒等变形、
集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、几何图形中的 计算等。运算结果具有存
在性、确定性和最简性。
运算能力是一项基本能力，在代数、 立体几何、平面解析几何等学科中都有所体现。在高考中半数以
上的题目需要运算，运算的作用不仅是只 求出结果，有时还可以辅助证明。运算能力是最基础的又是应用
最广的一种能力。
高考对运算能力的考查注重算理和符号运算考查，控制运算量，精确计算与合理估算结合。
1. 运算的准确
运算的准确是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有 据地一步一步地
实施运算。影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一个环节出现问题， 就会导致整个运
算的错误。在填空题中，一步算错，整题失分；在解答题中，某步出错，后继部分随之有 误，最多只能得
一半的分数。在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式 要准确无误，使
用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。
2. 运算的熟练
运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查。在高考中考查运算能力，一般不是增大每题 的运算量，而是
通过控制每题的运算量，增加题目数量来实现的。增加有效题量，可以增加考核知识点， 更重要的是可以
增加考核深度，给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程的条 理和书写上，过
难过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法和其他实践能力的考查 。数学试卷全卷
的计算量一直是高考命题研究的重要问题。实际上，计算量的大小主要是由高考的性质决 定的。应以50%
的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准。这里所谓完成，不含复核时间，而且 计算量的估计也应以
一般通用解法为准。事实上，数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象。 同一道试题不同的解
题思路会反映出不同的能力层次。计算量的大小往往也能反映出不同的能力层次。
3. 运算的合理
运算的合理性是运算能力的核心。一般一个较复杂的运算，往往 是由多个简单的运算组合而成的。如
何确定运算目标，怎样将各部分有机地联系在一起，这是运算合理性 的主要标志，是运算能力的体现。随
着计算机和计算器技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算 机能够完成一切计算，而且高效、快
捷、准确。因此，运算能力的考查重点应放在考查算理，运算途径的 判断、选择、设计及相关的字母和代
数式的运算，因为这些是要靠人的思维去解决的。
运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据
公式 ，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现。运算过程包含着思维过程，运算离不开
思维 。
运算的合理性表现在运算目标的确定。运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时 是完成
推理和判断的工具。对一些比较直接、简单的运算目标一般考生还能把握，但对一些比较复杂的运 算目标，
需要经过几步运算才能达到最后结果的，考生一般都感到困难，突出表现是三角函数的恒等变形 。在1991
年以前，对三角函数的考查一般以证明恒等式的形式出现，一般考生不能从等式两边的特点 分析出化简的