猴面鹰超级经典1990年全国高考数学试题

2020年11月28日发(作者：凌幻天)
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1990年全国高考数学试题
（理工农医类）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所 选项前的字母填在题后括号
内.



[Key]

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
(1)A





【 】

[Key] (2)B

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于


【 】

[Key] (3)D

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(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】


[Key] (4)C

(5)





【 】

[Key]
(5)C


(A){-2,4} (B){-2,0,4}
(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 【 】

[Key] (6)B

(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】

[Key]
(7)A



(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线的一支 (D)抛物线 【 】
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[Key]
(8)D


(B){(2,3)}
(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【 】

[Key]
(9)B



【 】

[Key] (10)D

(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与 底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与
SA所成的角等于

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 【 】

[Key] (11)C

(12)已知h>0.设命题甲为 :两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1││ (A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
(C)甲是乙的充分条件
(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】

[Key] (12)B
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(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么 不同的排法共有
(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】

[Key] (13)B

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个
【 】

[Key] (14)C

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所 得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,
那么C＇所对应的函数是
(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)
(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【 】

[Key] (15)D

二、填空题:把答案填在题中横线上.


(17)(x-1) -(x-1)
2
+(x-1)
3
-(x-1)
4
+(x-1 )
5
的展开式中,x
2
的系数等于 .
(18)已知{a
n
}是公差不为零的等差数列,如果S
n
是{a
n
}的前n项的和,那


(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .

(20)如图,三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中, 若E、F分别为AB、AC
的中点,平面EB
1
C
1
F将三棱柱分 成体积为V
1
、V
2
的两部分,那么V
1
:V
2< br>＝ .


[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

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三、解答题.
(21)有四个数,其中前三个数成等差 数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二
个数与第三个数的和是12.求 这四个数.

[Key]
三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.

解法一:
①

由②式得 d=12-2a. ③

整理得 a
2
-13a+36=0
解得 a
1
=4,a
2
=9.
代入③式得 d
1
=4,d
2
=-6.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③
将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)
2
,
整理得 y
2
-13y+36=0.
解得 y
1
=4,y
2
=9.
代入③式得 x
1
=0,x
2
=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.



[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得
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解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,
sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x
2
+y
2
=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有


解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).


将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β).
于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),
或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).


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若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).
于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z),
即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以


(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面AB C,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA
＝AB,SB＝BC.求以 BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.


[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力
和空间 想象能力.

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的 底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,
∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA＝a,

又因为AB⊥BC,
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