奇怪的动物2020高考文科数学各类大题专题汇总

2020年11月28日发(作者：余秋里)
2020高考文科数学各类大题专题汇总
一、三角函数
二、数列
三、立体几何
四、概率与统计
五、函数与导数
六、解析几何
七、选做题

大题专项练(一) 三角函数
A组 基础通关
1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且ccos B+(b-2a)cos C=0.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.
解(1)因为ccos B+(b-2a)cos C=0,
所以sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos C=0,
所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos C,
所以sin(B+C)=2sin Acos C.
又因为A+B+C=π,
所以sin A=2sin Acos C.
又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,

所以cos C=

.
又C∈(0,π),所以C=

.
(2)由(1)知,C=

,



所以c
2
=a
2
+b
2
-2abcos C=a
2
+b
2
-ab.
又c=2,所以4=a
2
+b
2
-ab.
又a
2
+b
2
≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
所 以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S
△
ABC
)
max
=< br>






×
4
×
sin



.

2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC= 60°.

(1)若∠AMB=60°,求BC;
(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.
解(1)由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.
在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.
在△MBC 中,由余弦定理,得BC
2
=BM
2
+MC
2
-2BM·M C·cos∠BMC=12,BC=2

.
(2)因为∠DCM=θ,
所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.

;

在Rt△MCD中,MC=
在Rt△MAB中,MB=

,
°-
由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ,
所以

cos θ-sin θ=sin θ,
即2sin θ=

cos θ,


整理可得tan θ=

.

3.已知向量m=(2acos x,sin x),n=(cos x,bcos x),函数f(x)=m·n-

,函数f(x)在y轴上的截距为

,与y
轴最近的最高点的坐标是

.

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位 ,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2
倍,得到函数y=sin x的图象,求φ的最小值.









解(1)f(x)=m·n-

=2acos
2
x+bsin xcos x-

,






由f(0)=2a-



,得a=

,


此时,f(x)=cos 2x+sin 2x,




由f(x)≤




=1,得b=1或b=-1,

当b=1时,f(x)=sin



,经检验

为最高点;



当b=-1时,f(x)=sin




,经检验


不是最高点.

故函数的解析式为f(x)=sin




. (2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin2x+2φ+
的2倍后得到函数 y=sinx+2φ+






的图象,横坐标伸长到原来
的图象,
所以2φ+=2kπ(k∈Z),φ=-+kπ(k∈Z),



因为φ>0,所以φ的最小值为

.

4.函数f(x)=Asin




(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=cos x·f(x),求g(x)在区间 -



上的最大值和最小值.
解(1)由已知f(x)最小正周期为2π,


所以

=2π,解得ω=1.
因为f(x)的最大值为2,
所以A=2,

所以f(x)的解析式为f(x)=2sin




.

(2)因为f(x)=2sin



=2sin xcos
+2cos xsin


sin x+cos x,



所以g(x)=cos x·f(x)=

sin xcos x+cos
2
x=

sin 2x+




=sin






.










因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,
于是,当2x+



,即x=

时,g(x)取得最大值

;当2x+

=-

,即x=-

时,g(x)取得最小值0.
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:



x
-
0












y 0 1



0 -1 0


(1)求f(x)的解析式;

(2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-(A为锐角),求△ABC的面积.


解(1)由题中表格给出的信息可知,函数f(x)的周期为T=



-

=π

,
所以ω==2.
注意到sin(2
×
0+φ)=1,也即φ=

+2kπ(k∈Z),
由0<φ<π,所以φ=.






所以函数的解析式为f(x)=sin



=cos 2x.





(2)
∵
f(A)=cos 2A=-,且A为锐角,
∴
A=.
在△ABC中,由正弦定理得,



,



·
∴
sin B=









,


∵
BC>AC,
∴
B
,
∴
cos B=

,





∴
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
















,

∴
S
△
ABC
=

·AC·BC·sin C=

×
2
×
3
×













.

6.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,C=

,b=4,△ABC的面积为6.
(1)求c的值;
(2)求cos(B-C)的值.
解(1)已知C=

,b=4,
因为S
△
ABC
=

absin C,



即6=

×
4a
×

,解得a=3

,
由余弦定理,得c
2
=b
2
+a
2
-2abcos C=10,解得c=

.




-
cos B=





(2)由(1)得




,
由于B是三角形的内角,得sin B=

-





,

所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=



















.

B组 能力提升
7.如图,在凸四边形ABCD中,C,D为定点,CD=

,A,B为动点,满足AB=BC=DA=1.

(1)写出cos C与cos A的关系式;
(2)设△BCD和△ABD的面积分别为S和T,求S
2
+T
2
的最大值.
解(1)在△BCD中,由余弦定理,得BD
2
=BC2
+CD
2
-2·BC·CDcos C=4-2

cos C,
在△ABD中,BD
2
=2-2cos A,
所以4-2

cos C=2-2cos A,即cos A=

cos C-1.


·
(2)S=

·BC·CD·sin C=


,T=

AB·ADsin A=

sin A,




所以S
2
+T
2
=

sin
2
C+

sin
2
A=

(1-cos
2
C)+

(1-cos
2
A)=-

cos
2
C+

cos C+





=-

-






.



由题意易知,C∈(30°,90°),所以cos C∈

,

当cos C=

时,S
2
+T
2
有最大值

.
8.某城 市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进
行如下设 计,安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD区域种植花
木后出 售,△BCD区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a元,花木每平方米的售价是草皮每


平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km.

(1)若BD=2

km,求绿化区域的面积;
(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.
解(1)在△BCD中,BD=2

,BC=6,CD=4,
由余弦定理,得cos∠BCD=




-

·





-






.
因为∠BCD∈(0°,180°),所以∠BCD=60°,
又因为A,B,C,D四点共圆,
所以∠BAD=120°.
在△ABD中,由余 弦定理,得BD
2
=AB
2
+AD
2
-2AB·ADcos ∠BAD,
将AD=4,BD=2

代入化简,得AB
2
+4AB-12=0,
解得AB=2(AB=-6舍去). < br>所以S
四边形
ABCD
=S
△
ABD
+S
△
BCD
=

×
2
×
4sin 120°+


×
4
×
6sin 60°=8

(km
2
),
即绿化空间的面积为8

km
2
.
(2)在△BCD、△ABD中分别利用余弦定理得
BD
2
=6
2
+4
2
-2
×
6
×
4 cos θ,

①
BD
2
=AB
2
+4
2
-2
×
4ABcos(π-θ),
联立
①②
消去BD,得AB
2
+8ABcos θ+48cos θ-36=0,
得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0,
解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).

②

因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<

.






S
△
ABD
=AB·ADsin(π-θ)=(6-8cos θ)
×
4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S
△
BCD
=BC·CDsin
θ=

×
6
×
4sin θ=12sin θ.
因为草皮每平方米售价为a元,则花木每平方米售价为3a元,设销售金额为y百万元.
y=f(θ)=3a(12sin θ-16sin θcos θ)+12asin θ=48a(sin θ-sin θcos θ),
f'(θ)=48a(cos θ-cos2
θ+sin
2
θ)=48a(-2cos
2
θ+cos θ+1)=-48a(2cos θ+1)(cos θ-1),


令f'(θ)>0,解得-





又cos θ<,不妨设cos θ
0
=,
则函数f(θ)在





上为增函数;


令f'(θ)<0,解得cos θ<-

,

上为减函数,

则函数f(θ)在

所以当θ=

时,f(θ)
max
=36

a.


答:(1)绿化区域的面积为8

km
2
;(2)当θ=

时,园林公司的销售金额最大,最大为36

a百万
元.



二、数列
A组 基础通关
1.已知等差数列{a
n
}满足a
3
-a
2
=3, a
2
+a
4
=14.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)设S
n
是等比数列 {b
n
}的前n项和,若b
2
=a
2
,b
4
=a
6
,求S
7
.
解(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵
a
3
-a
2
=3,a
2
+a
4
=14.
∴
d=3,2a
1
+4d=14,
解得a
1
=1,d=3,
∴
a
n
=1+3(n-1)=3n-2.
-

(2)设等比数列{b
n
}的公比为q,b
2
=a
2
=4=b
1
q,b
4
=a
6
=16=b
1
q
3
,联立解得

或



-


- - - -


∴
S
7
==254,或S
7
=
- - -
=-86.
2.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,满 足a
2
=15,S
n+1
=S
n
+3a
n
+6.
(1)证明:{a
n
+3}是等比数列;
(2)求数列{a
n
}的通项公式以及前n项和S
n
.
( 1)证明在S
n+1
=S
n
+3a
n
+6中,令n=1,得 S
2
=S
1
+3a
1
+6,
得a
1+a
2
=a
1
+3a
1
+6,即a
1
+15=4a
1
+6,
解得a
1
=3.