张宗祥高考数学攻略

2020年11月28日发(作者：冀晓秋)
三.数学攻略
到了高三，我和我的同学的一个普遍感觉就是，数学忽然变得
简单了。经过分析，我认为应该是因为考察的内容更加全面了，所以
不像以前那样考查得比较细致。很 多题目难度基本上是在专题学习时
遇到的简单题的难度。
所以，一个结论就是，高一高二 学习得比较扎实的学生，在高三
各大考试保持１３０＋，是一件并不困难的事情。甚至高三只需要做一下学校发的卷子，就能轻松维持这个水平。
高三的数学是怎么样的？基本就是做题。学校会 将各地高考题、
模拟题发给你们做，而高三的过程无非就是做完一份，讲一份。
那么怎样才能考到高分？一个扎实的基础是必要的。
如果你觉得你的基础不太好，那你必须自己抽 时间把基础过一
遍，可以买一些以经典题为主的教辅（不是五三这样的）刷一遍。
数学尖子也建议过一遍基础。
（我觉得学校的复习还是比较粗糙的，很多比较细的东西会跳过，< br>导致有些其实比较经典的题目，在考试的时候还卡住很多人，仅仅是
因为课堂上没有涉及，但其实 这个真的是很旧的题了。短短的半年确
实没有办法涵盖所有内容，所以想学好数学的人还是要花功夫的。 ）
好了，接下来就是攻破一些大题了。这时候你就可以翻开你的五
三（好吧，其他的资料也可 以），只做导数、圆锥曲线、函数、数列
这四个部分（或许还有别的？我暂时想到这些）。
上面的空位很少，建议自己开一个本子写。五三上的题目，只能
说不简单，如果你一看就没思路，估计你 再想半个小时也想不出来了，
所以果断看答案，学学答案的思路。
至于你领悟的怎么样， 最好能在下次遇到类似题时能快速回放出
这个解法，并成功地运用吧，这就算是对答案的彻底领悟。 < br>现在就谈到了我对高考数学的看法了。奥数考数学思维，高考
呢？考查的其实是对通法通解的熟练 运用，就连难题（只限于广东）
也只是多种通法通解的拼凑。

所以你能在高考 数学拿到高分，有时并不是因为你的思维有多
好，而是因为你对通法通解把握得很灵活。所以我在上文提 到的学习
答案的思路，就是一个很好的方法。
你想不到怎么解题不是吗？你一开始学习数 学根本不知道什么
裂项、分离参数、换主元、放缩、加强不等式、点差法的吧，其实学
习数学也 算是借鉴前人对这一类题目的巧法，然后考试时用上。
现在你对这些名词可能感到很熟悉了，但一开始难道不会觉得这
些方法实在太神奇了吗。
< br>所以说，到了高三，当你已经积累了那些常规方法时，你要做的
就是慢慢在学习中积累一些看起来 不那么常规但是很巧妙的方法。
当你觉得别人考１４０好强大好膜拜，当你觉得有些方法好难想< br>到学神们实在太聪明了，学神才不会告诉你他们之前学习过这个方
法，只不过在考试时借用一下而 已，其实我真的不相信有人能够在如
此紧张的考试氛围下生出奇思妙想自创出一些非常好的解法，如果想
到了，那都是因为接触过类似的。
这么看来，刷题的意义也许体现在这里，看到这里，你应该知道
要刷什么题，怎么刷题了吧？
如果有兴趣提升数学思维，可以买一些比较偏竞赛的书籍练习。

【数列、不等式常用放缩】


法１ 裂项放缩

除了一般的裂项法，有一些裂项需要很 强的眼力才能观察出来，
比如下题。大家可以做的就是多积累此类可裂项的式子，在类似的式
子 变形的时候也能一眼看穿。



给出最后一条的证明

纠正：合比性质应改为等比性质




法2 单调放缩

观察式子是否具有单调性，可直接放缩为首项


法2补充例题，解法基本一样

补充：a1=1

法3 放缩为等比数列

一般通项特点是分子为常数，分母为指数项和一次项的和或差，
此时常常将分母 放缩为仅有一个指数项，有时需要改变幂，有时需要
配凑一个系数，这些都需要你的数学功底。


法4.分式放缩

这是一道非常经典的放缩题，高考不会 出原题，但其中的思想十
分值得借鉴。比如解答中使用的分式不等式，以及先平方再放缩一部
分 ，保留一部分的解法。变式题有时可以出现三次方的处理。

法5 用基本不等式放缩

这里的基本不等式，并不指放缩为常数，而是放缩为一个代数式。往
往用于处理带根 号的式子，通过放缩可达到去根号的效果，大大简化
运算。不仅用于一般的放缩证明，也在大题中发挥着 作用，是一种非
常好的解题技巧。
纠正：解答第一行应该为根号下n(n+1)

法6 作差(作商)裂项

这是一个非常强大的方法，当放缩的目标式是含n的代数式而不
是常数时，都可考虑这个方法。
若视目标式为数列的和，通过目标式相邻项作差，可得到该数列
的通项公式，实际上就将目 标式裂项成了多个通项的和，此时，就只
需要证明原式通项与目标式通项的大小，将题目简化。
由于数学教辅都被我扔了或送了，我找了很久例题没有满意的，
就稍稍引用了一下高一期末 题和一道周练题来解释。

法7 连续放缩法

名字是乱起的。这是 一个非常奇妙的解法，连续放缩直到首项，
得到一个不含通项的式子。常常与抽象数列(已知递推式但难 以求解
的数列)结合考察，如下题。
我记得我还做过一个通项an出现在分母，分子为1的连续放缩
题，可惜未能找出。

纠正：结果应为2的n次方


法8 配对放缩

这次找了一个难度比较大的例题，拐的弯太多，大家可以看看我
的分析。
配对通常将第 一项和最后一项、第二项和倒数第二项...依此类
推，合并在一起来进行处理，有时会用到基本不等式 。
先看这道例题，左边是加法，右边是乘积，用配对如何放缩呢？
一个想法是，各两项放缩成一堆数的加法，然后这些数可以前后
抵消！
右边的式子，非常明显 ，分子就是通项为ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ+1）
的和，那么，我们就要考虑放缩为这个形式了。
当我们把对应两项配对后，尝试着统一一下格式，也就是将两式
通分。稍微观察一下就会发现分母各不相 同，这样肯定是没法加起来
的，所以我们看看能不能暴力地将它们统一，也就是全部放缩为
ln 2lnn，以达到和右式一样的格式。
（运用放缩法时，有时你需要尽可能猜测一些有利于得出答 案的
放缩形式，也就是从结果推原因，至于是否成立，验证就好，不成立
就放弃这个猜想。这样 能更快地找对方向，干盯着左边的式子往往很
难突破。）
事实证明，以上猜想是可行的， 我们需要证明一下，所以答案前
面的一堆废话就是在用导数证明了，到了红笔画出的才是我们想要得到的不等式。
得到我们想要的不等式的证明，用的也是非常好也非常常用的技
巧，也 就是构造函数，利用单调性来证明，大家留意一下这个格式，
以后可能能用上的。








做到这一步，得到的式子已经非 常漂亮了，可惜还不够。为什么
说这是难题？就是因为它的步骤非常复杂，很多人就算走对了方向也容易在中途放弃。
当然这个时候离答案已经不远了，我们只需要证明我们得到的这
些数字小于右式。
我们注 意到题目给出了一个已经不等式，把ｘ２ｘ１替换掉就能
得到一个f(n+1)-f(n)的式子，这个 在做抽象函数题目时经常用到，
应该比较容易想到。
这样看来，我们的问题解决了，答案基本出来了。
我们再思考一下。
从头到尾，整 道题并没有用非常高端的解法，都是我们常见的小
技巧，比如：配对、统一格式、作差裂项（通过作差将 一个式子转化
为多个式子的和，前面有介绍）、构造函数利用单调性等等。
所以我们平时 做的就是尽可能积累并且熟练这些技巧，至于你用
的如何，确实需要看你对数学的悟性了，难度就在于你 思维方向的把
握是正确，不过熟能生巧也不是没有道理的，再好的思维都要建立在
你熟练的基础 上，有人叫你多刷题就是这个道理。
放缩法还有很多的，二项式放缩、积分放缩、分组放缩、切线放< br>缩等等，这些考试用的比较少，所以就不介绍了，我已经把名字列出
来了，大家有兴趣可以到网上 搜。

一个附件：经典放缩式






【立体几何不完全介绍】

Part1 二面角

1.基本方法





E点是按三垂线定理常规做法得到的：过P做BD1垂线，垂足为E

2.二面角补充例题



3.补形法求二面角

在解题中，我们有时会遇到求二面角却没有给出交线的题目，由
于三垂线定理必须用到 交线，这时候我们往往需要补形。

纠正：是AB=AD不是AB=CD



找交线的一般方法：两平面中各延长一条直线，得到一个交点，
根据立几 的性质定理可知交点在交线上。这时用相同方法找出另一个
交点或者利用已经条件得到另一个交点，两点 确定一条直线，交线就
出来了。





4.补形法补充例题

给一道补交线的补充例题，有难度。


（P图后红线被吞）


5.求异面直线的距离：几何法



在解这道题之前，我们要先认识一个正方体里经典的线面垂直。
它的证法也相当经典，建议大家一定要把其证明搞熟，具体不进行介
绍。接下来这题就需要这个经典线 面垂直的思想。




6.一个定理的认识


接下来给大家介绍一个比较有用的定理，在部分题目会用到这
个定理。 （由于不是教材内容，考试不能直接用，所以你必须掌握它
的证法）



关于这道题的证明，很多人可能会这样做，直接过P点作平面a
的垂线。我在此需要郑重声明： 如果你不想考试扣分，请不要采取这
种开挂的证法。
当你过P点做了垂线后，你无法保证这条 垂线在平面y内，虽然它的
确在平面y内。这时候就需要你证明它在平面y内，否则就是失败的。
所以你倒不如老老实实先做直线m的垂线。



7.上述定理的补充例题

配一道例题，重点是第二问，第一问也顺便给出解答。




8.点面距求法


9.存在性问题


【解析几何】

做解几，在很多人看来，就是死算。
事实上，八九不离十，解几的确离开不运算。
而我打算从两个方面来谈解几：一是运算的方向选择；二是解几
一些题型和与其它知识的结合。
运算技巧一：用向量式处理三点共圆问题




这道题很有意义，因为它还涉及到了另外两个比较重要的知识
点，一是根据对称性判断定点在x轴或 是y轴上，该题中关联的直线
x=4是关于x轴对称的，所以定点在x轴上。
二是根据恒成立 的运用。如果一个式子关于某个参数恒成立，我们往
往把含参数的式子放在一起，不含参数的式子放在一 起。由于该参数
的变化不影响等式的成立，所以前后两个式子的值都为零。由此可解
得未知数。

文中看不清的：M(x1,0)










运算技巧二：巧用加减乘除处理形式相近的式子

纠正：B（x1,-y1）
以上例题同时采用了设而不求的方法，点A,B一直只 以参数形式
的坐标出现。如果你把它们联立解出的话估计这道题你很难再做出
来。