核标志1999年全国高考 数学(理)

2020年11月28日发(作者：黄淑惠)

1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）
数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3
至8 。共150分。考试时间120分钟。

第I卷
（选择题 共60分）

注意事项：
l．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷 类型（A或B）
用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]
正棱台、圆台的侧面积公式：
S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。
台体的体积公式：
表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1—1 0题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

- 1 -

其中s,s'分别表示上下底面积，h
1． 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S
C．（M∩P）∩

D．（M∩P）∪


2．已知映射f：AB，其中，集合A={-3，-2，-1 ，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A
中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它 对应的元素是{a}，则集合B中
元素的个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）=b，ab ≠0，则g（b）等于
A．a B．a-1 C．b D．b-1
4． 函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）< br>=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值M D．可以取得最小值-M
5．若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是
A．sin x B．cos x C．sin 2x D．cos 2x
6．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ-π/3）关于
A．直线θ=π/3轴对称 B．直线θ=6/5π轴对称
C．点（2，π/3）中心对称 D．极点中心对称
7．若 于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水
倒人轴截面是正 三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

8．若（2x+ ）
4
=a< br>0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3x
3
+a
4
x
4
，则（a
0
+a2
+a
4
）
2
-（a
1
+a
3
）
2
的值为
A．l B．-1 C．0 D．2
- 2 -

9．直线 x+y
2
=0截圆x
2
+y
2
=4得的劣弧所对的圆心角为
A．π/6 B．π/4 C．π/3 D．π/2
10．如图，在 多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=3/2，
EF与面 AC的距离为2，则该多面体的体积为

A．9/2 B．5 C．6 D．15/2
11．若sina>tga>ctga(-π/2A． (-π/2,-π/4) B．（-π/4，0）
C．（0，π/4） D．（π/4，π/2）
12．如果圆台的上底面半径为5．下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
它们的侧面积的比为1：2，那么R=
A．10 B．15 C．20 D．25
13．已知两点M（1，5/4）、N（-4，-5/4），给出下列曲线方程：
①4x＋2y-1=0②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x
2
/2-y
2
=1
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60 元、70元的单片软件和盒
装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共 有
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种

第Ⅱ卷
(非选择题 共90分)

注意事项：
1．第II卷共6页。用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
- 3 -

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题；每小图4分，共16分把答案填在题中横线
15．设椭圆x< br>2
/a
2
+y
2
/b
2
＝1（a>b>0） 的右焦点为F
1
，右准线为l
1
。若过F
1
且垂直于x轴的 弦
的长等于点F
1
到l
1
的距离，则椭圆的离心率是_______ ____________。
16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物， 每种作物种植一垄，
为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有
________________种（用数字作答）。
17．若正数a、b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是_______________。
18．α、β是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断：①m
⊥ n ② α⊥β③n⊥β ④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，
写出你认为正确 的一个命题：
________________________________________ ______________。
三、解答题：本大题共6小题：共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19． （本小题满分10分）
解不等式




20．（本小题满分12分）
设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ，y=θ-argZ( 0<θ<π/2)求函数的最大值以及对应的θ值




21．本小题满分12分
如图，已知正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，点E在棱D
1
D上，截面EACD1B ，且面EAC
与底面ABcD所成的角为45°，AB＝a
（Ⅰ）求截而EAC的面积：
（Ⅱ）求异面直线A
1
B
1
与AC之间的距离；
- 4 -

（Ⅲ）求三棱锥B1—EAC的体积







22．（本小题满分12分）
上图为一台冷轧机的示意图； 冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输人，经过各对
轧辊逐步减薄后输出。
（1）输入带钢 的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ro，问
冷轧机至少需要安装多少对轧辊 ？
（一对辊减薄率＝输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度）输入该对的带钢厚
度




- 5 -

1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）
数学参考答案

说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如< br>果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则。 < br>二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较 严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）
－（14）题每小题5分，满分60分。
（1）C
（6）B
（11）B
（2〕A
（7）D
（12）D
（3〕A
（8）A
（13）D
（4）C
（9）C
（14）C
（5）B
（10）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（15）1/2
（16）12
（17）[9,+∞]
（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β
三、解答题
（19）本 小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分
类论的思想，满分10 分
解：原不等式等价于
——
——一一一一4
- 6 -

由①得 logax≥2/3
由②得 logax<3/4, 或logax>1,
由③得 logax>1/2.
由此得 2/3≤logax<3/4,或logax>1.——一一一一8分
当a>1时得所求的解是
{x| ≤x< }U{x|x>a};
当0{x| （20）本小题主要考查复数的基本概念、三 角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学
数学知识解决问题的能力，满分12分。
解：由0＜θ＜π/2得tgθ＞0。
由z=3cosθ+i·2sinθ,
得0＜argz＜π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.
故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)
=1/(3/tgθ+2tgθ)
∵3/tgθ+2tgθ≥2
∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤

/12.
当且仅当3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2时，
即tgθ= /2时，上式取等号。
/2时，函数tgy取最大值 /12。 所以当θ=arctg
由y=-argθz得y ∈(- π/2,π/2).由于在（-π/2, π/2）内因正切函数是递增函数，函
数y也
取最大值arctg /12. 12分
( 21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念
思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。
（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。

- 7 -

∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC。
又∵ED⊥底面AC，
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， －－－－2分
∴ ∠EOD＝45°。
DO＝(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a.
故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分

（II）解：由题设ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
是正四棱柱，得A
1
A⊥底面AC，
又 A
1
A⊥A
1
B
1
，
∴A
1
A是异面直线A
1
B
1
与AC间的公垂线。 －－－－6分
∵D
1
B∥面EAC，且面D
1
BD与面EAC交线为EO，
∴ D
1
B∥EO。
又 O是DB的中点，
∴E是D
1
D的中点， D
1
B＝2ED＝2a。
异面直线A
1
B
1
与AC间的距离为(2)1/2a。 －－－－8分
(III)解法一：如图，连结D
1
B
1
。
∵D
1
D＝DB＝(2)1/2a，
∴BDD
1
B
1
是正方形。
连结B
1
D交D
1
B于P，交EO于Q。
∵B
1
D⊥D
1
B。 EO∥D
1
B，
- 8 -
A
1
A⊥AC。


∴B
1
D⊥EO
又 AC⊥EO， AC⊥ED，
∴AC⊥面BDD
1
B
1

∴B
1
D⊥AC
∴B
1
D⊥面EAC。
∴B
1
Q是三棱锥B
1
－EAC的高。 －－－－10分
由DQ＝PQ，得B
1
Q＝3B
1
D/4＝3a/2。
∴ VB
1
－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3 /4.
所以三棱锥了－EAC的体积是(2)1/2·a3/4. －－－－12分
解法二 ：连结B
1
O，则VB
1
－EAC＝2VA－EOB
1
。
∵AO⊥面BDD
1
B
1
，
∴AO是三棱锥A－EOB
1
的高，AO＝(2)1/2·a/2
在正方形 BDD
1
B
1
中，E、O分别是D
1
D、DB的中点（如右 图），
则S△EOB
1
=3a2/4.
∴VB
1
-EA C=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥B1－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12分。

（22）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决
实际问题的 能力，满分14分。
（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro )n.为使出带钢
的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
a(1-ro)n≤β，
即 (1-ro)n≤β/a －－－－4分
- 9 -

由于(1-ro)n>O, β/a>0,对上式两端取对数，得
n
l
g(l-ro)≤lg(β/a).
由于lg(1-ro)<0,
所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].
因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊 －－－－7分
（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢
的体积 为1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20％），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积
为L k×a(1-r)4×宽度。因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),
即 Lk=1600·0.8K-4. －－－－10分
由此得 l
3
=2000(mm),
l
2
=2500(mm),
l
1
=3125mm)
填表如下：
轧辊序号K
疵点间距LK（mm）
1
3125
2
2500

－－－－14分
解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体 积与冷
轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有：
1600=L
3
·(1-0.2),
所以 L
3
=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分
同理 L
2
=L
3
/0.8=2500(mm).
L
1
=L
2
/0.8=3125(mm).
填表如下：

轧辊序号K
疵点间距LK（mm）
－－－－14分
- 10 -

3
2000
4
1600
1
3125
2
2500
3
2000
4
1600
( 23)本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查 归纳、推理和
综合的能力。满分14分。
（1）解：依题意f(0) =0，又由f(x1)=1, 当0≤y≤1时，，函数y＝f(x)的图象是斜率
为b0=1的线段，故由
f(x
1
)-f(0)/x
1
-0=1 得x
1
=1 2分
又由f(x
2
)=2,当1≤y＜2时，函数y =f(x)的图象是斜率为B的线段，故由
f(x
2
)-f(x
1
)/X
2
-X
1
=b 即x
2
=1+1/b．2分
记x
0
=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得
f(x
n
) -f(x
n-1
)/x
n
-x
n-1
=b
n-1
,
又f(x
n
)=n,f(x
n-1
)=n-1；
∴x
n
-x
n-1
=(1/b)
n-1
,n=1,2,…。
由此知数列{xn- xn-1}为等比数列，其首项为1/b，公比为1/b
因 b≠1，得
xn= (xK-XK-1)
=1+1/b …+1/bn-1=b-(1/b)n-1，
即 x
n
=b-(1/b)
n-1
/(b-1).——一一6分
(II)解：当0≤y≤1，从（I）可知y＝x, 即当0≤x≤1时，f(x)=x
当n≤y≤n十1时，即当x
n
≤x≤x
n+1
时，由(I)可知
f(x)=n+b
n
(x-x
n
)(x
n
≤x≤x
n+1
,n=1,2,3…）——一一8分
为求函数f(x)的定义域，须对xn
=b-(1/b)
n-1
/(b-1)(n=1,2,3…)进行讨论
当b＞1时, xn= b-(1/b)
n-1
/(b-1)=b/(b-1)
当0＜b＜1时，n→∞，x
n
也趋向于无穷大。
综上，当b>1时，y=f(x)的定义域为[0,b/(b-1));
当0＜b＜1时，y＝f（x）的定义域为[0,+∞] ——一一10分
（24）本小题主 要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技
能和综合运用数学知识解决问 题的能力。满分14分。
解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分 别为y＝0和
y＝－bx，设点C（x,y），则有0≤x根据点到直线的距离公式得
- 11 -

|y|=|y+bx|/ ① －－－－4分
依题设，点C在直线AB上，故有
y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6分
由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ②
将②式代入①式得
y
2< br>[1+(1+a)
2
y
2
/(x-a)
2
]=[y- (1+a)xy/x-a]
2
,
整理得
y
2
[(1-a )x
2
-2ax+(1+a)y
2
]=0. －－－－9分
若y≠ 0，则(1-a)x
2
-2as+(1+a)y
2
=0(0若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C的坐标为（0，0），满足上式，
综上得点C的轨迹方程为
(1-a)a
2
-2ax+(1+A)y
2
=0(0≠x∵a≠1,
∴[x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]
=1(0≤x由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；
当a>1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。 －－－－14分
解法二： 如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。
（1）当|BD|≠0时，设点C（x ,y），则0由CE∥BD得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). －－－－3分
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,
∴2∠COA=π-∠BOD，
∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg
2
∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,
tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).
∴[2·|y|/x]/[1-(y
2
/x
2
)]=[|y|/(a-x)](1+a),
整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0(II) 当|BD|=0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为（0，0），满足上式。
综合（I）（II），得点C的轨迹方程为
（1-a)x
2
-2ax+(1+a)y
2
=0(0≤x- 12 -