麻烦制造者历年高考数学试卷附标准解析

2020年11月28日发(作者：王太岚)
高考数学试卷
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填
对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015?真题）设全 集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤，则3}Α∩?
U
Β＝
2．（4分）（2015?真题）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
．< br>3．（4分）（2015?真题）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c
1
﹣c
2
= ．
4．（4分）（2015?真题）若正三棱柱的所有棱长均为
2
a， 且其体积为16，则a=
1，则p=
．
5．（4分）（2015?真题）抛物线y =2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为
．
6．（4分）（2015?真题）若 圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为
．
7．（4分）（2015?真题）方程log
2
（9
x﹣1
2π，则其母线与轴的夹角的大小为
﹣5）=log
2
（3
x﹣1
﹣2）+2的解为．
8．（4分）（2015?真题）在报名的< br>，则不同的选取方式的种数为
3名男老师和6名女教师中，选取
（结果用数值表示）．< br>5人参加义务献血，要求男、女教师都有
9．（2015?真题）已知点
P和Q的横坐标 相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线
为y=±x，则C
2
的渐近线方程为．
10．（4分）（2015?真题）设f
值为．
）
的展开 式中，x项的系数为
102
﹣1
C
1
和C
2
．若C
1
的渐近线方程
（x）为f（x）=2
x﹣2
+，x∈[0，2]的 反函数，则y=f（x）+f
﹣1
（x）的最大
11．（4分）（2015?真题）在 （1+x+
（结果用数值表示）．
12．（4分）（2015?真题）赌博有陷阱．某种赌博每 局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中
随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（ 单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡
片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖 金（单位：元）．若随机变量ξ
1
和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ
1
﹣Eξ
2
= （元）．
1
＜x< br>2
＜…＜x
m
≤6π13．（4分）（2015?真题）已知函数f（x）=s inx．若存在x
1
，x
2
，…，x
m
满足0≤ｘ，且|f （
*
x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m﹣1
）﹣f（x
m
）| =12（m≥12，m∈N
），则m的最小值为
．
14．（2015?真题）在锐角三 角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A
?= ．BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则
二、选择题 （本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，
将代表 答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
1
、z
2
中至少有一个数 是虚数15．（5分）（2015?真题）设z
1
，z
2
∈C，则“ｚ
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
1
﹣z
2
是虚数””是“ｚ的（）
16．（5分）（2015?真题）已知点A的坐标为 （4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转
）
至OB，则点B
的纵坐标为（
A．B．C．D．
17．（2015?真题）记方程①：x+a
1
x+1=0，方程② ：x+a
2
x+2=0，方程③：x+a
3
x+4=0，其中a
1< br>，a
2
，a
3
是
正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）
A．方 程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实 根，且②无实根
18．（5分）（2015?真题）设
P
n
（x
n< br>，y
n
）是直线2x﹣y=
A．﹣1 B．
﹣
（n∈N
）与圆x
+y=2在第一象限的交点，则极限
C．1D．2
*22
222< br>=（）
三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出
必要的步骤.
19．（12分）（2015?真题）如图，在长方体ABCD ﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、B
C的中点，证明A
1
、C1
、F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE所成的角的大小．
20．（14分）（2015?真题）如图，A，B，C三地有直道相通 ，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、
乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是A
B，速度为5千米/小时，乙的路线是 ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t
1
时乙到达C地．
（ 1）求t
1
与f（t
1
）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话 距离是3千米．当t
1
≤t≤１时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t
1< br>，1]上
的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015?真题）已知椭 圆x+2y=1，过原点的两条直线l
1
和l
2
分别于椭圆交于A、B和C、 D，记
得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l1
的距离，并证明S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|；
（2）设l
1
与l
2
的斜率之积为﹣，求面 积S的值．
22
22．（16分）（2015?真题）已知数列{a
n
}与{ b
n
}满足a
n+1
﹣a
n
=2（b
n+1
﹣b
n
），n∈N
．
（1）若b
n
=3n+5，且a1
=1，求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设{a
n
}的第n
0
项是最大项，即a
n*
n
（n∈≥ａN
），求证 ：数列{b
n
}的第n
0
项是最大项；
*
*
（3） 设a
1
=λ
N），求λ的取值范围，使得
＜0，b
n
=λ< br>（n∈{a
n
}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．
23．（18分） （2015?真题）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数 ，其
值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）= x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）] ，存在x
0
∈[a，b]，使得f（x
0
）=c；
（3）证明：“ｕ
0
为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”
0
+T为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]的充分条件是“ｕ
上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x +T）=f（x）+f（T）．
高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分4 8分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填
对4分，否则一律得零分．
．1．（4分）（2015?真题）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤，则 3}Α∩?
U
Β＝{1，4}
知识归纳：交、并、补集的混合运算．
名师分 析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
名师讲解：解：∵全集U =R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤，3}
∴（?
U
B）={x |x＞3或x＜2}，
∴A∩（?
U
B）={1，4}，
故答案为：{1，4 }．
名师点评：
本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解 本题的关键．本题考
查了推理判断的能力．
2．（4分）（2015?真题）若复数z满足3z +=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
知识归纳：复数代数形式的乘除运算．
名师分析： 设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
名师解答： 解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+=1+i，
∴3（a+bi）+ （a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a =，b=．
∴z=．
故答案为：．
名师点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等， 属于基础题．
3．（4分）（2015?真题）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c
1
﹣c
2
= 16 ．
知识归纳：二阶行列式与逆矩阵．
名师分析：根据增广 矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
名师解答：解：由题意知，是方程组的解，
即 ，
则c
1
﹣c
2
=21﹣5=16，
故答案为：16．名师点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（4分 ）（2015?真题）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．
知识归纳：棱锥 的结构特征．
名师分析：由题意可得（?a?a?sin60）°?a=16，由此求得a的值．
名师解答：
解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60 ，正棱柱的高为°
∴（?a?a?sin60）°?a=16，∴a=4，
故答案为：4．a，
名师点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
2
5．（ 4分）（2015?真题）抛物线y=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为
知识归纳：
名师分析：
名师解答：
所以=1，
抛物线的简单性质．
利用抛物线的 顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
2
解：因为抛物线y
=2px（p＞0）上的 动点Q到焦点的距离的最小值为
1，则p= 2 ．
1，
所以p=2．
故答案 为：2．
名师点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4 分）（2015?真题）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为
．
知识归纳：旋转体（圆柱、 圆锥、圆台）．
名师分析：
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面 积与过轴的截面面积之比为
=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
名师 解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积 为：rh，
∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
∴l=2h，
设母线与轴的 夹角为θ，
则cosθ＝=，
故θ＝，
故答案为：．
2π，则其母线与轴的夹 角的大小为
2π，可得l
名师点评：
本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆 锥的母线与轴的夹角的余弦值，是名师解答的关键
．
7．（4分）（2015?真题）方程lo g
2
（9
x﹣1
﹣5）=log
2
（3
x﹣1﹣2）+2的解为2 ．
知识归纳：对数的运算性质．
名师分析：利用对数的运算性质化为 指数类型方程，解出并验证即可．
x﹣1x﹣1x﹣1x﹣1
名师解答：解：∵log
2
（9
﹣5）=log
2
（3
﹣2）+2，∴log
2（9
﹣5）=log
2
[4×
﹣2）]，
（3
∴9x﹣1
﹣5=4（3
x﹣1
﹣2），
化为（3
x
）2
﹣12?3
x
+27=0，
因式分解为：（3﹣3）（3﹣9）=0，
∴3
x
=3，3
x
=9，
解得x=1或2．
经过验 证：x=1不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
名师点评：本题考查了对数 的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（4分）（2015? 真题）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取
，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表 示）．
5人参加义务献血，要求男、女教师都有
xx
知识归纳：排列、组合的实际应用 ．
名师分析：
根据题意，运用排除法名师分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组 合数公式可得其选法
数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
名师解答：解：根据题 意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，
5
在9名老师中选取5人，参加义务献血 ，有C
9
=126种；
其中只有女教师的有C
6
=6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；
故答案为：120．
名师点评 ：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
5
9．（2015?真题）已知点
P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹 分别为双曲线
为y=±x，则C
2
的渐近线方程为．
C
1
和 C
2
．若C
1
的渐近线方程
知识归纳：
名师分析：
名师解答：
双曲线的简单性质．
22
设C
1
的方程为y
﹣3 x
=λ，利用坐标间的关系，求出
22
解：设C
1
的方程为y
﹣3x
=λ，
2222
22
Q的轨迹方程，即可求出C
2
的渐近线方程．
设Q（x，y），则P（x，2y），代入y﹣3x
=λ，可得4y
﹣ 3x
=λ，
∴C
2
的渐近线方程为4y
﹣3x
=0，即故答案为：
名师点评：
．
本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比 较基础．
﹣1﹣1
（x）为f（x）=2
x﹣2
+，x∈[0，2]的反函数 ，则y=f（x）+f
（x）的最大
．
10．（4分）（2015?真题）设f
值为4 ．
反函数．
x﹣2
知识归纳：
名师分析：
由f（x）=2 +在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f
﹣1
（x）在[]上为增函数，由函数
的单调性求得y=f（x）+f
﹣1
（x）的最大值．
名师解答：
可 得y=f
﹣1
解：由f（x）=2
（x）在[
﹣1
x﹣2
+ 在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，
]上为增函数，
]上为增函数，
﹣1
因此y=f（x）+f（x）在[
∴y=f（x）+f（x）的最大值为f（2）+f（2）= 1+1+2=4．
故答案为：4．
名师点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系， 考查了函数的单调性，属中档题．
11．（4分）（2015?真题）在（1+x+）
的展开式 中，x项的系数为
102
﹣1
45 （结果用数值表示）．
知识归纳：
名师分析：
二项式系数的性质．
x
项，然后写出第一项二项展开式
2
先把原式前两项结合展开，名师分析可知仅有展开后的第一项含有
的通项，由x的指数为2求得r值， 则答案可求．
名师解答：
=
∴仅在第一部分中出现
再由
x
项 的系数为
2
解：∵（1+x+）
10
，
x项的系数．
2< br>，令r=2，可得，
．
故答案为：45．
名师点评：本题考查了二项式系数的性 质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4分）（2015?真题）赌博有陷阱 ．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中
随机摸取一张，将卡片上的数字 作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡
片上数字之差的绝对值的1. 4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ
1
和ξ
2
分别表示赌客在一局赌 博中的赌
金和奖金，则 Eξ
1
﹣Eξ
2
= 0.2 （元）．知识归纳：
名师分析：
名师解答：
离散型随机变量的期望与方差．
分别求 出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．
解：赌金的分布列为