201314【高考试题】1980年全国高考数学试题★答案

2020年11月28日发(作者：苗地)

【高考试题】1980年全国高考数学试题★答案
(理工农医类)
一、将多项式x
5
y-9xy
5
分别在下列范围内分解因式:
(1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.

[Key]


二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点 的三角形是直角三角
形.

[Key] 二、证明:设⊙O1
、⊙O
2
、⊙O
3
的半径分别为1、2、3.
因这三个圆两两外切,故有
O
1
O
2
=1+2=3,
O
2
O
3
=2+3=5,
O
1
O
3
=1+3=4,

根据勾股弦定理的逆 定理,或余弦定理,△O
1
O
2
O
3
为直角三角形.


三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

[Key]
三、证明:取△ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的 高线为y轴,设A、B、
C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),
根据所选坐标系,如图,有a>0,b<0,c>0.

解(1)、(2),得:(b-c)x=0.
∵b-c≠0,∴x=0.
这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.

因此,三条高线交于一点.



(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)

[Key] 四、证法一:令log
b
N=x,根据对数定义,
b
x
=N.
两端取以a为底的对数,
log
a
b
x
=log
a
N,
xlog
a
b=log
a
N.
∵ b≠1,∴log
a
b≠0,

证法二:令log
b
N=x,根据对数定义,
N=b
x

=(a
logab
)
x
=a
xlogab
,
∴ xlog
a
b=log
a
N.
∵ b≠1,log
a
b≠0,


五、直升飞机上一点P在地 平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB
垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线
l
垂直于AB.


[Key]
五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N ,因此PA与PB重
合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.
设平面N与平面M的交线为
l
.
∵PA⊥平面M,∴PA⊥
l
.