周尧2018江苏数学高考真题

2020年11月28日发(作者：尤英)
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.
本试卷共 4 页，均为非选择题 (第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时
间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2.
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫 黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置。
3.
请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.
作答试题，必须用 0.5 毫 黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5.
如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：
锥体的体积
V


1
Sh ，其中
S
是锥体的底面积，
h
是锥体的高．
3
14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位
．．．．．．
一、填空题：本大题共
置上
．．
．

1.
已知集合 A {0,1,2,8} ， B

{ 1,1,6,8} ，那么
A B
▲ ．
▲ ．
5 位裁判打出的分数的
2.
若复数 z 满足
i z 1 2i
，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为

3.
已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这
平均数为 ▲ ．





4.
一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S的值为 ▲ ．
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5.
函数
f ( x)

log
2
x 1
的定义域为 ▲ ．
2 名
6.
某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中
女生的概率为
▲ ．








2
)
的图象关于直线 x
2

对称，则
3
的值是 ▲ ．
7.
已知函数 y
sin(2
x

)(
8.
在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
x
2
y
2
a
2
b
2
1(a
0,b
0)
的右焦点
F (c,0)
到一条渐近
3
线的距离为
c
，则其离心率的值是
2
▲ ．


9.
函数 f ( x) 满足 f ( x 4) f ( x)( x R) ，且在区间 ( 2,2] 上，
f ( x)
x
cos ,0
x 2,
2
则
1
| x |,
-
2
x 0,
2




f ( f (15))
的值为


▲ ．

10.
如图所示，正方体的棱长为






















2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．

11.
若函数
f ( x) 2x
3
2
ax 1(a R)
在
(0, )
内有且只有一个零点，则
f ( x)
在
[ 1,1]
上的

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最大值与最小值的和为

▲ ．
2 x 上在第一象限内的点，
B (5,0)
，以 AB 为
0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ．
12.
在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线
l : y


直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若
AB CD

13.
在
△ ABC
中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，
ABC

120
，
ABC
的平分线交
AC

于点 D，且
BD 1
，则
4a c
的最小值为


▲ ．
n *
14．已知集合
A
{ x | x
2n 1,n N }
，
B


*
{ x | x 2
,n N }
．将
A B
的所有元素从小到

12a
n

1
成立的
大依次排列构成一个数列
{
a
n
}
．记

S
n
为数列 { a
n
} 的前 n 项和， 则使得 S
n



n 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分．请在答
．
题
．
卡< br>．
指
．
定
．
区
．
域
．
内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）

在平行六面体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中，

AA
1



AB, AB
1

B
1
C
1
．

求证：（ 1）
AB∥
平面
A
1
B
1
C
；



（ 2）
平面
ABB
1
A
1


平面
A
1
BC ．
16．（本小题满分 14 分）


已知 , 为锐角，
tan

4
，
cos(
3
)
5
5
．

（ 1）求
cos2
的值；
（ 2）求 tan( ) 的值．

17．（本小题满分 14 分）

某农场有一块农田， 如图所示， 它的边界由圆 O 的一段圆弧
MPN
（ P 为此圆弧的中点）
和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 ，点 P 到 MN 的距离为 50 ．现规划在此农
田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
△ CDP
，要求
A, B
均在线段
MN
上，
C, D
均在圆弧上．设 OC

与 MN 所成的角为

．
△ CDP
的面积，并确定
sin
的 （ 1）用 分别表示矩形
ABCD
和

取值范围；

（ 2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜， 大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜， 且甲、
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乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
总产值最大．
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系
4 : 3
．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年
1
xOy 中，椭圆 C过点
( 3,

)
，焦点
2
F
1
( 3,0), F
2
( 3,0)
，圆 O 的直径为 F
1
F
2
．

（ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；

（ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点

P．
P 的坐标；
2 6
7
，
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点

OAB
的面积为
②直线 l 与椭圆 C 交于
A, B
两点．若
△
求直线 l 的方程．
19．（本小题满分 16 分）

记 f ( x), g
( x)
分别为函数
f ( x), g( x)
的导函数．若存在


x
0
R
，满足
f (x
0
)
g( x
0
)
且

f ( x
0
)


g ( x
0
)
，则称

x
0
为函数
f ( x)
与
g(x)
的一个“ S 点”．
x 与
g(x)
x


2
（ 1）证明：函数
f ( x)

2x 2
不存在“ S 点”；


（ 2）若函数
f (x)
ax

2
1
与 g( x) ln x 存在“ S 点”，求实数 a 的值；
x
2

（ 3）已知函数
f ( x)
a
，
g( x)
x
be

．对任意
a


0
，判断是否存在
b 0
，使函
x
数 f (x) 与 g( x) 在区间 (0,

) 内存在“ S点”，并说明理由．
20．（本小题满分 16 分）

设{
a
n
}
是首项为
a
1
，公差为 d 的等差数列，
{ b
n
}
是首项为
b
1
，公比为 q 的等比数列．


（ 1）设
a
1



0,b
1

1,q 2
，若
| a
n

*
b
n
|
b
1
对
n
1,2,3,4
均成立，求 d 的取值范围；
R
， 使 得
| a
n
（ 2 ） 若
a
1
b
1
0, m N , q (1,
m
2] ， 证 明 ： 存 在
d


b
n
|
b
1
对
n 2,3, , m
1
均成立，并求
d
的取值范围（用 b
1
, m,q 表示）．


数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题

1．{1， 8} 2．2 3． 90
5 分，共计 70 分．
4．8
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5．[2 ， +∞）

3
6．
10
4

10．
3

14．27
7．
π
6

8．2
12． 3
9．

2
2
11．–3
13． 9
二、解答题

15.
本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象< br>能力和推理论证能力．满分 14 分．
证明：（ 1）在平行六面体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， AB∥
A
1
B
1
．
因为 AB
所以 AB∥平面 A
1
B
1
C．

（ 2）在平行六面体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形 ABB
1
A
1
为平行四边
形．
又因为 AA
1
=AB，所以四边形
因此 AB
1
⊥A
1
B．

又因为 AB
1
⊥ B
1
C
1
， BC∥ B
1

C
1
，
所以 AB
1
⊥BC．
又因为 A
1
B∩BC=B，A
1
B 平面 A
1
BC， BC 平面 A
1
BC，
所以 AB
1
⊥平面 A
1
BC．

因为 AB
1
平面 ABB
1
A
1
，
所以平面 ABB
1

A
1
⊥平面 A
1
BC．


16.
本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求
平面 A
1
B
1
C， A
1
B
1
平面 A
1
B
1
C，
ABB
1
A
1

为菱形，

解能力．满分 14 分．
解：（ 1）因为
tan
因为
sin

2

4
3
，
tan
sin
cos
2
，所以
sin
4
cos
．

3
cos
2


1
，所以
cos
2

9

，

25
因此，
cos2

2cos
1
7
．
25
(0, π)
．

) 1 cos(
2
（ 2）因为
,
为锐角，所以


又因为
cos(

)
)
5
5
2
．


，所以
sin( )
2 5
5

，
因此
tan(

因为
tan
4
3
，所以
tan 2
2tan
1 tan
2
24

7
，
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因此，
tan( ) tan[2 ( )]
tan 2 tan( )
)
2
1+ tan 2 tan( 11
．


17.
本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最 值等基础知识，考查直观想象和数学建
模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分 14 分．
解：（ 1）连结 PO并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN ，所以
OH=10． 过 O 作 OE⊥ BC于 E，则 OE∥ MN，所以∠ COE=θ，
故 OE=40cosθ， EC=40sinθ，

则矩形 ABCD的面积为 2×40coθs （ 40sinθ+10） =800（ 4sinθcosθ+cosθ），

1
△ CDP的面积为
× 2× 40cθo（s 40–40sinθ）=1600（ cosθ–sinθcosθ）．
2


过 N 作 GN⊥MN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10．
1
π
令∠ GOK=θ，则 sinθ
=
， θ∈（ 0，
）．

0 0 0
4 6
π
当 θ∈[θ
0
， ）时，才能作出满足条件的矩形
2
1

所以 sinθ的取值范围是 [
，1）．
4
ABCD，


答：矩形 ABCD的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方 ，△ CDP 的面积为

1
1600（ cosθ–sinθcosθ）， sinθ的取值范围是 [
，1 ）．
4

（ 2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为

4∶3，
3k（ k>0），设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为
则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ） +3k×1600（ cosθ–sinθcosθ）
π
， ）．
=8000k（ sinθcosθ+cosθ）， θ∈ [θ
0
2
π
设 f（θ） = sinθcosθ+cosθ，θ∈ [θ，
0
， ）
2

则
f ′( ) cos


2
sin
2

sin (2sin
2

sin 1) (2sin 1)(sin 1)
．
π
令 f ′( )=0 ，得 θ=
，


6
π
当 θ∈（ θ， f ′( )>0 ，所以 f（θ）为增函数；
0
）时，
6

ππ
当 θ∈（ ， ）时，
f ′
θ）为减函数，
( )<0
，所以 f（
6 2

π
因此，当 θ= 时， f（ θ）取到最大值．
6

π
答：当 θ=
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6
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18.
本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、

直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分

16 分．
解：（ 1）因为椭圆 C 的焦点为
F
1
(


3,0 ), F
2
( 3,0)
，

可设椭圆 C 的方程为
3 1
x
2
2
y
2
a b
2

1
1(a b
0)
．又点
( 3, )
在椭圆 C 上，
2

2
a 4,
1,
所以
a
2
4b
2

，解得
2
2 2
b 1,
a b 3,
x
2
因此，椭圆 C 的方程为

4
y
2
1
．
2
因为圆 O 的直径为
F
1
F
2
，所以其方程为
x y
2
3
．
0)
，则
x
x
0
x
y
0
3
y
0

2
0
（ 2）①设直线 l 与圆 O 相切于
P( x
0
, y )( x
0 0
所以直线 l 的方程为
y

2
x
0, y
0
y
2
0
3
，
x
0
y
0

(x x )
y
，即
y
0 0

．
y
2

1,

，消去 y，得
由
4
y

x
0
3
x ,
y
0
y
0

(4x
0


2
y
0
)x
2 2
24x
0
x
36 4y
0

2
0
．（ * ）
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，

所以


(

24x
0
)
2
4(4x
0

2
y
0
)(36 4y
0
)
2, y
0
1 ．
2 2
48 y
0
( x
0

2 2
2) 0
．
因为
x
0
, y
0



0 ，所以 x
0

因此，点 P 的坐标为 ( 2,1) ．



1
2 6

②因为三角形 OAB 的面积为
，所以
AB OP
7 2
设
A( x
1
, y
1
), B( x
2
, y
2
)
，




2 6
7
，从而
AB
4 2
7
．




由（ *）得
x

1,2
24x
0

48y
( x
0

0

2(4 x
0

2 2

2 2
2)
，
y
0
)
2


所以
AB



2
( x
1

x
2
)
2
2
( y
1
y
2
)
(1
x
0
0
)
48 y
0
(x
0
2)
．

2 2

2 2
(4 x
y y
)
0 0
2 2
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因为
x



2
0
y
2
2
0
3
，
32
49



4
，即
2x
0


所以
AB

2
2)
16( x
0

2
(x
0
1)
2


45x
2
0


100 0
，


解得
x

2
0



5
2
( x
2


0

20
2
舍去），则 y
0
1
2


，因此 P 的坐标为
(

2
10 2
,)
．
2
综上，直线 l 的方程为 y


















5x 3 2 ．

19.
本小题主要考查利用导 数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解
决问题以及逻辑推理能力．满分 16 分．
2
解：（ 1）函数 f（x） =x， g（ x） =x
+2x-2，则 f ′（ x） =1， g′（x）
=2x+2．由 f（x） =g（ x）且 f′（ x）= g′（x），得

2x
2
，此方程组无解，
1 2 x 2
x x


2
因此， f（ x）与 g（ x）不存在“ S”点．

（ 2）函数
（f x） ax

2
1
，

g(x) ln x
，

1
x
． g（ x）
则
f（ x）
2ax ，

设 x
0
为 f（ x）与 g（ x）的“ S”点，由 f（ x
0
） =g（ x
0
）且 f ′（ x
0
） =g′（ x
0
），得


ax
0
1 ln x
0

2ax
0


2

1
x
0

1
2
，即
ax
0
1
2
2

ln x
0

，（* ）
2ax
0
1


得
ln x
0

，即
x
0
e
2
，则
a
1


1
1
2(e
)
1
2
2
e
．
2
当
a
e
2

时，
x
0

e
2

满足方程组（ * ），即
x
0
为 f（ x）与 g（ x）的“ S”点．
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