军旗飘扬1990年全国高考数学理科

2020年11月28日发(作者：霍文灿)
1990年全国高考数学（理科 ）试题及其解析
考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.
一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A，B，C，D的四
个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一
个小题选对 得3分，不选或选错一律得0分）





(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于


(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(5)






(A){-2,4} (B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}
(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6

(B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线

(A)圆



（Ａ）
1
(B){(2,3)} (C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1}
2


(11)如图,正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、
AB的中点,那么 异面直线EF与SA所成的角等于

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－ b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1
│(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件
(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件
(C)甲是乙的充分条件
(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

(13)A,B,C,D, E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的
排法共有
(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个

(15)设函数y=arct gx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关
于原点对称,那么C＇所 对应的函数是
(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)

二、填空题: （共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）

(17)(x-1)-(x-1)(x-1)-(x-1)+(x-1)的展开式中,x2的系数等于 .
(18)已知{a
n
公差不为零的等差数列,如果Sn是{a
n
前n项的和,那
2345

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .


(20)如图,三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1< br>中,若E、F分别为AB、AC
的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么
V1:V2＝ .
三、解答题. （共6小题，满分60分，第21题10分、第22题8
分、第23题8分 、第24题12分、第25题10分、第26题12分）
(21) 有四个数,其中前三个数成等差数 列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数
的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这 四个数.有四个数,其中前三个数成等差数列,
后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是1 6,第二个数与第三个数的和是12,
求这四个数.

（22 )




(23)如图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥B C．DE垂直平分
SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以 BDE
与BDC为面的二面角的度数.




(24)设a≥0,在复数集C中解方程z
2
+2│z│＝a.







n≥2.
(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;
(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)



参考答案及其解析
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C
(6)B (7)A (8)D (9)B (10)D
(11)C (12)B (13)B (14)C (15)D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.
解法一:
①

由②式得 d=12-2a. ③

整理得 a2-13a+36=0
解得 a1=4,a2=9.
代入③式得 d1=4,d2=-6.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③
将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2,
整理得 y2-13y+36=0.
解得 y1=4,y2=9.
代入③式得 x1=0,x2=15.
从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.
解法一:由已知得



解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,
sinα）,点B的 坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有


解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).




将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β).
于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),
或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).
于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z),
即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识 ,以及逻辑推理能力
和空间想象能力.

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中 点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC
⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,
∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA＝a,

又因为AB⊥BC,


∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

解法二 :由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的
底边SC的中线,所以SC⊥B E.
又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.
由三垂线定理的逆定理得 BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平
面ABC上的射影在AC上 ,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂