重瞳子中学数学中重要数学思想

2020年11月28日发(作者：汤炳权)

中学数学中重要数学思想——分类讨论思想的教
中学数学中重要数学思想——
分类讨论思想
数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学方法的进一步抽象和概括， 属于对数学规
律的理性认识的范畴，数学教学中不仅要注重数学知识的传授，能力的提高，更要注重揭示
知识发生、发展过程中，解决问题过程中蕴含的数学思想方法。数学思想方法在人的能力培
养和 素质提高方面具有重要作用。
分类讨论是一种重要的数学思想方法：是按照数学对象的相同点和相异点 将数学对象区分为
不同种类的思想方法（朱人杰.数学思想方法研究导论）；分类讨论是根据需要对研究 对象
进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解，综合后即得答案（任子朝.数学标准解读）。分类讨论贯穿在整个高中数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统
化，从而 为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念
学习中十分重要，而且 在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这种思想方法解决问题，
对提高学生思维能力、解决问题的 能力有很大作用。
数学思想方法需要在教学过程中多次孕育，初步形成以致应用发展，使思想方法由隐 到显，
以致明朗化、深刻化。本文针对部分学生不会分类，分类不全面，标准不统一，以致有畏难
情绪，结合学生学习实际，提出分类讨论的三个教学策略，以求学生能理解该思想方法的含
义，初步掌 握该方法的操作步骤，会运用分类讨论思想方法解决问题。
1、分类讨论的教学策略一、“按需而分”
分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。是根
据研 究数学对象、数学问题过程的需要进行分类讨论，需要是根本。在教学过程中要挖掘教
材中采用分类讨论 解决问题的材料，渗透、孕育分类讨论思想，同时一定要让学生体验到分
类讨论的必要性，是解决问题的 需要而讨论。逐步内化为学生的思想意识。
1.1、从数学知识的发生、发展过程，分类是一种重要的 逻辑方法，通过分类研究可以使问
题化繁为简，化零乱为条理，化分散为系统。如研究函数，从函数的解 析式、定义域、值域、
性质和图像，先一般函数后特殊函数，指数函数、对数函数、三角函数。数列也可 以看成特
殊的函数来进行研究，以期更深刻地理解数列的本质。
1.2、在高中数学教学过程 中着重在以下方面对学生加以引导，让学生体悟分类讨论思想的
运用: 绝对值概念的定义；一元二次方 程根的判别式与实根数的情况；二次函数二次项系数
正负与抛物线开口方向；指数函数、对数函数的单调 性与底a的关系；等比数列的求和公式
中q=l与q≠1的区别；由数列的前n项和求数列的通项公式n =1与n≠1；不等式的性质，


不等式两边同乘以一个正数还是负数；绝对值不等 式的解法，一般“零点讨论”去绝对值；无
理不等式形如 ，对g（x）非负或正的讨论，以去掉无理号 ；运用点斜式、斜截式直线方程
时斜率k是否存在，若直线的斜率不存在，不能用点斜式或斜截式表示； 圆锥曲线的统一定
义中，由e的大小决定圆锥曲线的不同形状是椭圆、抛物线或者双曲线；等等
1.3、含参数问题，必须考虑参数的不同取值对问题的不同影响，根据问题的需要，对参数
进行讨论 ，以解决问题。
例1.1 设首项为1，公比为q(q＞0)的等比数列的前n项之和为Sn又设Tn =Sn/(Sn+1)(n=
1，2，…)，求
分析：由数列公比q是否等于1不确定，利用前n项和公式就必须讨论。

解:(1)当公比q满足0
(2)当公比q=1时

(3)当公比q>1时


例1.2、问a为何值时？不等式（a2-3a+2）x2+（a-1）x+2〉0的解是一切实数。
分析：题目中给出不等式这一属概念，而非具体到一元几次不等式，故解题过程中需针对a
2- 3a+2=0，a2-3a+2≠0两种情况进行讨论，确定不等式为一元一次或一元二次，再进行解
答 。
解：（1）若a2-3a+2=0 解得a=1或a=2
a=1时原不等式为2>0恒成立，所以a=1适合题意。
a=2时，原不等式为x+2>0，它的解不是一切实数，所以a=2不适合题意。
（2）若a2-3a+2≠0，必须有
由①得a<1或a >2
由②得a<1或a>
所以a的范围a∈（-∞，1）∪（ ，+∞）
由（1），（2）可知a∈（-∞，1] ∪（ ，+∞）
例1.3、已知 ，若f（x） =ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值是M（a），最小值是N（a），
令g（a）=M（a ）-N（a）
（1） 求g（a）的解析式