峇峇小学数学中常用的数学思想方法修订稿

2020年11月28日发(作者：扈蒙)





小学数学中常用的数学
思想方法
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]


小学数学中几种常用的数学思想方法(一)
(2010-10-17 10:34:09)


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数学思想，是 指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。数
学方法，是指某一数学活动过程 的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作
性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法 是数学思想的表现形式和得以实现的
手段。

数学思想是人们对数学内容的本质认识， 是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数
学规律的理性认识的范畴，而数学方法则是解决 数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定
的可操作性，同一个数学成果，当用它去解决别的问题 时，就称之为方法；当论及它在数学体系中
的价值和意义时，则称之为思想。因此，人们把它们统称为数 学思想方法。
在小学数学中常用的数学思想方法有：
一、符号思想
符号思想是用 符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就
是符号思想。符号思 想是将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公
式表示出来，便于记忆，便 于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数
学符号和公式，有一个从具体到表 象再抽象符号化的过程。
用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。在数 学中各种量的关系，
量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩 形式来表达大
量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c；数学广角中用图形来表示各种 事物等。


二、化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法 ，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的
求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。 一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式
有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直 等。如求组合图形的面积时，先把组合
图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均 能使学生体会化归法的本质；学
习圆的周长，先将圆的周长转化成一条线段，再推导出它的周长，这就是 化曲为直。
三、分解思想
分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题，分解出若 干便于求解的范围，分解出若干
便于层层推进的解题步骤，然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题 的目的的一种思想方法。
如在五年级《解决问题的策略》教学中“倒退着想”的解题策略就体现了这种思 想。
四、转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形 式的思想方法，这里的变
换是可逆的双向变换。在解决数学问题时，转换是一种非常有用的策略。对问题 进行转换时，既可
转换已知条件，也可转换问题的结论。转换可以是等价的，也可以是不等价的。用转换 思想来解决
数学问题，转换仅是第一步，第二步要对转换后的问题进行求解，第三步要将转换后问题的解 答反
演成问题的解答。如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步。
如计算： ÷113÷17÷，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：
28/1 0×3/4×7/1×10/7，这样，利用约分就能很快获得本题的解。
再如：某班上午缺席人数是 出席人数的1/7，下午因有1人请病假，故缺席人数是出席人数的1/6。
问此班有多少人此题因上下 午出席人数起了变化，解题遇到了困难。如将上午缺席人数转换成是全
班人数的1/7 1=1/8，下午缺席人数是全班人数的1/6 1=1/7，这样，很快发现其本质关系：1/7与1/8的差是由于缺席1人造成的，故全班人数为：1÷（1/7-1/8）=56（人）。


五、分类思想
分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类 及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如 三角形可以
按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学 对象
的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和< br>建构。
六、归纳思想
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在 所有自然数范围内是成立的或者用
于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑 和计算机科学广义的形式的
观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是着名的结构归纳法。
七、类比思想
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对 象的性质迁移到另
一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不仅 使数学知识
容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正 如数
学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大< br>源泉。”
如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习 又如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽
（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底
面积×高÷3
八、假设思想


假设思想是一种常用的推测性的数学思考 方法.利用这种思想可以解一些填空题、判断题和应用题.有
些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之 间的联系，或数量关系抽象，无从下手.可先对题目中的
已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的 已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找
到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的 想象思维，掌握之后可以使得要解决的问题
更形象、具体，从而丰富解题思路。如：在求鸡兔同笼的问题 ，可以假设全部是鸡；或者全部是
兔。
九、比较思想
人类对一切事物的认识，都是 建筑在比较的基础上，或同中辨异，或异中求同。俄国教育家乌申斯
基说过：“比较是一切理解和一切思 维的基础。”小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材
料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识 间的联系和区别。
在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况 ，可以帮助学
生较快地找到解题的途径，是用算术方法简单还是用列方程的方法简单，学生通过比较后可 以选择
合适的方法。
十、极限思想
事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
教学“圆的面积和 周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础
上想象它们的极限状态， 这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的
极限思想。
战国时代 的《庄子天下》篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”充满了极限思想。古代杰出
的数学家刘徽的 “割圆术”就是利用极限思想来求得圆的周长的，他首先作圆内接正多边形，当多
边形的边数越多时，多 边形的周长就越接近于圆的周长。刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割


之又割 以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”正是用这种极限的思想，刘徽求出了π，即“徽
率”。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透:在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学
时 ，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无
限”思想。 在循环小数这一部分内容，在教学 1÷3=…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写
不完的，是无限的。
在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
十一、演绎思想
演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是理智的单纯活动，必须先假定了某些真理（或定
义)之后，然后再凭借这些定义推出一些结论。譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后，可以推
出 一个三角形内角的总和等于两直角之和。所以直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则。而
演绎则是 应用这些原则来建立一些定理和命题。演绎并不要求像直观所拥有的那种直接呈现出来的
证明，它的确实 性在某种程度上宁可说是记忆赋予它的。它通过一系列的间接论证就能得出结论，
这就像我们握着一根长 链条的第一节就可以认识它的最后一节一样。
这就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的 结论。不过也有哲学家认为演绎是有缺陷
的，因为由同一个原则往往会演绎出不同的结论，所以应当有另 一个方法来纠正它。这个纠正的方
法就是经验，即所谓的诉诸事实。总之，直观就是找到最简单、最无可 怀疑、最无须辩护的人类知
识元素，即发现最简单和最可靠的观念或原理。然后对它们进行演绎推理，导 出全部确实可靠的解
决方案。
例如数学定理证明就是一种演绎推理
十二、模型思想


是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实 验、操作、比
较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型 的一种
思想方法。
培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界， 也是学生高数学素养所
追求的目标。
数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而 且也是处理自然科学、社会科学、工程技
术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决 某些实际问题，通常先把实际问题
抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、 关系及规律的一种数学方程
式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数 学方程以及由公式系
列构成的算法系统都称之为模型。但按狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的 具体事物系统
的数学关系结构，才叫数学模型。比如根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方 程进行
求解。
十三、对应思想
对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置 上跟另一系统中的某一项相当。对应思想可理
解为两个集合元素之间的联系的一种思想方法。在小学数学 教学中渗透对应思想，有助于提高学生
分析问题和解决问题的能力。
“对应”的思想由来已久 ，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两
只眼睛、一对耳环、双胞胎对 应一个抽象的数“2”；随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对
应一种形式，对应一种关系，等等 。
再如：数轴上的点与实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应.另外,在“多和少”这一课中,
一个茶杯盖与每一个茶杯对应，直观看到“茶杯与茶杯盖相比，一个对一个，一个也不多，一个也
不少”，我们就说茶杯与茶杯盖同样多。使学生初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各


元素之间能一一对应，它们的数量就是“同样多”，“对应”的思想在今后的学习中将会发挥 越来
越大的作用。
十四、集合思想
把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的 ）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集
合，其中各事物称为该集合的元素。通俗地说就是把一些 能够确定的不同的对象看成一个整体，就
说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
集合思想的特征：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 就是说按照明确的判断
标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的，即集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集。
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集。
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集。
集合的表现形式：列举法；框图法；描述法。
比如：能被2整除的数为一个集合。
十五、数形结合思想


就 是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的
数量关系 和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。其实
质是将抽象的数 学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使
代数问题几何化，几何 问题代数化。数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方
面，其应用大致可以分为两种情 形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,如四年级数
学下册P60分数的基本性质就是借 助图形的生动和直观来阐明分数中分子和分母相互变化的关系；
或者是借助于数的精确性和规范严密性来 阐明形的某些属性。
在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开 的直观特征发现
数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以 解决。通
常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点之间的 关
系，对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设
计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。如六年级数学下册P72试一试,计
算:1/2+1/ 4+1/8+1/16,可以通过正方形图形来解决。
在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合 思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加
深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结 合，有利于学生分析题中数量之间的关系，
丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问 题的方法，从而提高分析问题和解决
问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能 力，还可以提高学生迁移思维
能力。
十六、统计思想
在小学数学中增加统计与概率 课程的意义在于形成合理解读数据的能力、提高科学认识客观世界的
能力、发展在现实情境中解决实际问 题的能力。统计与概率初步知识的构成主要有如下一些基本内
容：第一，知道数据在描述、分析、预测以 及解决一些日常生活中的现象与问题的价值；第二，学
会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用 的基本的能力；第三，会解读和制作一些简单的
统计图表；第四，认识一些随机现象，并能运用适当的方 法来预测这些随机现象发生的可能性。


十七、系统思想
系统思想是由 若干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体。系统思想
的方法便是要求人们 从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统
与外部环境之间的相互关联 和相互作用中考察对象，以得出研究和解决问题的最佳方案。
系统是由相互联系，相互依赖，相互制约 和相互作用的若干事物和过程所组成的一个具有整体功能
和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单 位，系统内各要素之间是相互联系，相互影响的有
机整体，如果一个要素发生变化，其他要素也会相应变 化。
例如：应用题教学中的“购物问题”。物品的“单价”、“数量”和“总价”这三个要素就组成了
一个系统。数量不变，单价提高，总价变大；单价不变，数量增加，总价变大；单价不变，总价增
加，数量变多。“单价、数量、总价”这三个要素之间具有下列关系：
单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量= 单价
把几个概念通过联系来整体把握 ，由具体到抽象，再由抽象到具体，发现其规律，更好地理解和掌
握概念及其相互关系。这些要素不是孤 立的、零散的，而是有联系的，有影响的，在教学过程中要
引导学生学会理解概念，找到联系，发现规律 ，只有这样才能更好地掌握所学知识，做到融会贯
通，事半功倍。
对渗透“优化思想”教学的几点思考


（获瑞安市二等奖）

【内容摘要】

优化思想就是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优的方案( 决
策)的思想，是一个很重要的数学思想。它不仅在实际应用中有明显的价
值，而且在小学数学 教材要渗透的思想方法中所占比例相对较大。对于如


何有效渗透“优化思想”有三 点实践经验：自主探索，方法多样；有效交
流，凸显优化；反思顿悟，内化思想。实践中带来了两点困惑 与思考：数
学中的最优方法一定也是生活中的最优方法吗数学中的最优方法在生活中
一定能得以 实施吗

【关键词】优化思想 教材分析 实践经验

所谓“优化思想”就 是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优
的方案(决策)的思想。随着高新技术、计算机及信息 技术的飞速发展，最
优化在工农业、国防、交通、金融、能源、通信等众多领域的应用越来越
广 泛，问题的规模越大、复杂性越高，优化思想在解决问题中应用的价值
也就越明显。在和主编的《数学思 想领悟》一书中称：“系统和统计思
想”与“化归和辩证思想”为数学思想的两大“主梁”思想，其中“ “系
统与统计思想”包括整体思想、系统思想和优化思想等。可见“优化思
想”是一种重要数学 思想。美国心理学家布鲁纳指出，掌握基本数学思想
方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数 学思想方法是通向迁
移大道的“光明之路”，使学生终生受益。《九年制义务教育全日制小学
数 学课程标准》（试验稿）也指出：“学生通过学习，能够获得适应未来
社会生活和进一步发展所必需的重 要数学知识以及基本的数学思想方
法。”

由此在数学课堂教学实践中，渗透“优化思 想”这一重要的数学思
想不仅具重要的现实意义，同样也具有非常重要的教育意义。



一、 “优化思想”在小学数学人教版实验教材中的体现。

“优化思想” 在小学数学人教版实验教材中处处可见渗透痕迹，如计
算教学中的“算法优化”、解决问题教学中的“策 略优化”以及统计教学
中的“统计方法优化”等等。除此之外，在以单元“数学广角”为呈现形
式，较为集中地安排训练数学思维的教学内容中，“优化思想”的渗透就
占了绝大部分，具体体现在以下 内容：

册别 内容 数学思想
排列方法的优化（有序思
维）
同上
二上 简单的排列：1、2能组成几个两
位数
三上 简单的组合：有几种不同穿法
简单的排列：3个数字卡片能摆几
个三位数
四上 运筹问题：沏茶、烙饼等。
对策论：田忌赛马
五下 打电话：给15位同学打电话，怎
么打时间最省（综合与实
践）
找次品：5件、9件物品中找次品
优化与运筹对策论
优化
小学阶段共十二册教材，有编入“数学广角”内容的共有九册。除
“优化思想”外，它们要集 中训练的数学思想方法分别有排列组合、逻辑
推理、集合、等量代换、化归（植树问题）、数字编码，假 设法（鸡兔同


笼问题）和抽屉原理等，由以上表格可知，只有“优化思想”在四册 中重
复体现。对于低年级教学，虽然没有将“优化思想”作为一节课的主要目
标，却已经让学生 对“优化思想”有了些初步的体验。比如简单的排列，
排列的方法有很多，但其中有序的排列可以做到不 重复、不遗漏，学生初
步体验到了解决同一个问题有很多种方法，但诸多方法中却有优劣之分，
一个好的方法可以帮助我们更有效的解决问题。到了中高年级开始以“优
化思想”作为一节课的主要目标 展开教学，比烙饼问题和找次品问题的教
学，它们都让学生经历了方法多样化和优化的过程，体验到了“ 优化思
想”在解决问题中的应用价值，从而真正帮助学生形成“优化思想”。

二、有效渗透“优化思想”的几点实践经验。

“优化思想”是数学思想的重要组成 部分，也是构成一个人数学综合
素养的要素之一。通过教材分析我们还发现“优化思想”在教材要渗透的
数学思想方法中所占的比例相对较大。因此我们要重视对渗透“优化思
想”的教学，重视培养学 生的“优化思想”。那么在实践中如何进行有效
的教学帮助学生形成 “优化思想” 呢下面就谈谈我的几点实践经验和思
考。

1、

自主探索，方法多样

多样化是优化的基础，没有多样化也就无所谓优化。那么如何才 能使
得在学生中生成多种问题解决的方法和策略呢我认为一定要给学生充分的

自主探索的空间。数学认知心理学告诉我们：“学生的数学认知是一个主
体性的数学活动过程；学生 数学认知思维具有明显的个性化特征；学生的
数学认知起点是他们自己的生活经验。”由此可见，学生只 有主动参与到
数学学习活动中，经历了自主探索的过程，就一定会有自己的独特的体验
和发现。

例如一位教师的《打电话》教学。课一开始，教师出示问题情境：一
个合唱队共有1 5人，假期里有一个紧急演出，音乐老师需要尽快通知到每
一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，通知15人需要几分钟
呢学生异口同声：“15分钟。”教师问：“你们是让老师逐个来打是吗”
学生点头，教师示范用图表示逐个打的方案，接着问：“那有没有更好的
方案可以节省打电话的 时间呢”这时有几个学生举起了手，教师没有马上
请学生回答，而是先让他们独立思考。大约过了十多分 种，我拿来坐我边
上一位学生的草稿纸一看，让我不得不佩服的是他竟能在短短的时间内共
设计 出了三种方案。第一种是分组法；第二种是：第一次1个人打，第二
次2个人打，第三次3个人打……； 第三种就是最优化方法。等同学们自
主探索完毕要汇报时，已经有大部分学生举起了手。
看到那位学生的三种方案我们一定能猜想得到他在短短的十几分钟内
经历了怎样的一个思维过程。如 果教师没有给予学生自主探索的时间，哪
来学生的精彩。当然，这位学生很优秀，可是对于一般的学生来 说，虽然


他们不能想到很多种方案，但是他们一般也能结合自己的生活实际经验，
想到一种或两种。有些开始脑子里没有头绪的，通过自主探索有了头绪；
有些开始已经有想法的 ，通过自主探索，理清了头绪，完善了思想。每位
学生的生活经历，思维的敏捷性和深刻性都是有差异的 ，所以他们思考问
题的角度和深度也是不同的。只要教师给予充分的自主探索的时间，充分
地相 信他们，方法多样化一定是能够出来的。

2、

有效交流，凸显优化

数学学习是自主构建的过程，是师生之间、生生之间交往互动与 共同
发展的过程。这个过程需要对话与交流。有效的数学交流，可以促进学生
间的众多信息相互 碰撞交织，使学生的思维有表层走向深入，促进学生数
学思维的发展。针对渗透“优化思想”的教学，如 果教师在课堂上能引领
和促进学生在师生和生生之间展开有效的交流，我认为可以起到以下三点
作用：

（1）通过有效交流，引出最优方法。

“万一在学生中没有想到最 优方案，教师该怎么办呢”这是许多教师
在上课前的普遍担忧。我认为通过师生和生生之间地充分交流， 对各种不
同方案进行比较，是可以引出最优方案的。如我在上《找次品》这节课
时，起先学生也 没有想到最优方案，但通过有效交流，最优方案也出来
了。课堂上我让学生清楚地表达自己的方案，引导 其他学生认真倾听，然