纯水电导率在中学数学教学中渗透数学史的教育

2020年11月28日发(作者：浦文睿)

在中学数学教学中渗透数学史的教育

刘峰

摘要： 数学史在中学数学教学中的作用是非常重要的。教师在教学过程中融入
数学史的内容，可以帮助学生认识 数学、形成正确的数学观；有利于培养学生正确
的数学思维方式；有利于开阔学生视野，培养学生对数学 的兴趣。传授数学史的一
些知识也为德育教育提供了舞台。为了提高教学质量，加深学生对数学理论的认 识。
本文从历史和人文等角度分析了数学史在这方面的作用。通过数学名人轶事、千古
名题激发 学生求知欲。有助于学生更全面、深入地理解数学知识。
关键词：数学史 数学兴趣 知识框架 教育功能

1 数学史融入中学教学的提出
1.1 数学史融入教学的背景
数学是人类最久远的知识领域之一。从结绳记数到电子计算机的发明；从量地
测天到抽象严密的 公理化体系的建立，五千余年的数学历史长河中，重大数学思想
方法的诞生与发展是数学史中最具魅力的 题材。“数学史研究数学概念、数学方法和
数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的 联系”。丹皮尔
(W．C．Dampier)曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有 魅力了。”
《普通高中数学课程标准(实验)》全面规划了新时期高中数学的课程框架，明
确 提出：高中数学课程对于认识数学与自然、数学与人类社会的关系，认识数学的
科学价值、文化价值，提 高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，
发展智力和创新意识具有基础性的作用。那么 ，高中数学的课堂教学如何适应这些
新的要求，使得学生能够更充分地认识到数学的科学价值以及人文价 值呢?
法国数学家庞加莱(H．Poincare)曾经提出，数学课程内容应按照数学史内容的发展顺序展现给读者。我国著名的数学家徐利治也认为，数学哲学、数学史与数学
教育的结合是教育 改革的一个重要方向。数学教育家华东师范大学张奠宇教授也积
极倡导，让数学史成为数学教育的有机部 分。既然数学史走进中学数学课堂已经成

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为一种共识，那么，数学史 又应该以怎样的面貌出现在数学课堂之上，成为教学的
一个有机成分呢?
1.2 数学史对数学教育的意义
《普通高中数学课程标准(实验)》提出，高中数学课程目标应该使得学生“ 了
解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们
在后续学习 中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造
的历程；具有一定的数学视野，逐 步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，
形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学 的美学意义，从而进一步
树立辨证唯物主义和历史唯物主义世界观。”而这些课程目标的达成单纯地依靠 数
学知识的传授学习及数学技巧的机械训练几乎难以实现，在数学课堂教学中，如果
能穿插些相 关的数学史，有证据表明，这对上述数学课程目标的实现具有积极的影
响作用。
全面性数学课 程目标的达成离不开数学史。数学课堂的教学也离不开数学史。
本研究着眼于数学史走进中学课堂，力求 探索其实现的具体途径。所要研究的基本
问题就是，数学史应该以怎样的面貌出现在中学数学的课堂教学 之中?
在本文中，所谓数学史走进中学课堂主要是指一种教学的具体途径，使得在数
学课堂教 学中适当地、恰如其分地渗透一些数学史的知识。比如：①在教学设计中
融合一些数学史的知识；②充分 利用数学教科书中有关插图、阅读自学、注释等内
容，借题发挥“评述”相关的数学史知识；③开展与数 学史相关的课题学习等三个
方面。希望借此以提高学生数学学习的兴趣，丰富学生的数学视野，进而为学 生更
好地理解数学概念及结论逐步形成的过程，体验数学发现与创造的历史过程，体会
蕴含其中 的思想方法，提供一种“催化剂”。
1.2.1 数学教学的现实需要一些数学史
200 3年对数学骨干教师作的问卷调查显示：①缺乏对数学史教育意义的深入理
解。虽有教师曾经有意识的将 数学史引进数学课堂，但并未充分认识到数学史深刻
的数学教育价值，所写出的数学史在数学教学中的作 用包括内容新颖、进行德育、
有愉悦性、使课堂气氛活跃、引发学习兴趣等。②教师对数学史知识只有一 些粗浅
的了解；缺乏与课程内容相对应的数学史参考资料；对中国的数学家较为熟悉，对

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国外的数学家知之甚少。③教师自觉运用数学史的意识不强。有一部分教师从未 自
觉地在教学中运用数学史，对教材中的阅读材料或不予理睬或安排学生自己阅读。
④不知道如 何运用数学史。教师普遍有使用数学史的愿望，但对数学史如何恰当的
引入到数学教学中缺乏必要的认识 ，担心用不好会浪费时间。
1.2.2 有意义的数学教学需要一些数学史
当前数学教育 还是“应试教育”主导着高中数学教学，无论是教材的编写还是
具体的课堂教学，过于偏重演绎论证训练 ，课堂上讲的是逻辑论证，学生关注的是
逻辑推理，忽视了定理发现发展过程，“掐头去尾烧中段”的教 学方式依然盛行，
这对培养学生的创新意识是极为不利的。
学校评价老师的标准是学生的考分 ，社会评价学校的标准是升学率的高低，导
致教师的教学针对的是考试而不是学生数学素养的提升，针对 评分标准过分强调得
分细节，在教学中常常是只见树木不见森林；细节多，思想少，见不到本质；重视< br>知识的学习和技能的培养，忽视情感态度方面的发展。
偶然的背后有着必然的联系，中国数学教 育在优异成绩的背后存在着不和谐的
一面，改变这种情形，除了要改革现行的教育评价体制外，教材的编 写和教师教学
观念的转变也是关键因素，而在教材编写和课堂教学中渗透数学史，引导学生关注
数学概念、数学思想的发生发展过程，重视双基的同时关注学生情感态度的发展是
改变当前数学教学现状 的有效途径之一。
1.2.3 数学史走进中学课堂的价值
数学史的研究有三重目的：一 是为历史而历史，即恢复历史的本来面目；二为
数学而历史，既古为今用，洋为中用，为现实数学研究的 自主创新服务；三是为教
育而历史，既将数学史用于数学教育，发挥数学史在培养现代化人才方面的作用 。
数学史对数学教学的作用主要在四个方面：①有利于帮助学生加深对数学概念、
方法和思想 的理解；②有利于帮助学生体会活的数学创造过程，培养学生的创造性
思维能力；③有利于帮助学生了解 数学的应用价值和文化价值，明确学习数学的目
的，增强学习数学的动力：④有利于帮助学生树立科学品 质，培养良好的精神。
1.3数学史融入中学数学教学的条件
数学史融入中学数学课堂教学必须做到以下条件：

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第一，经常与一线教师接触，经常听课，了解一线教师、教学的现状；
第二，对中学的教材、教法、考试非常熟悉：
第三，对教育、教学的理论比一线教师要认识深刻；
第四，数学史理论研究人员接触很多，取得合作相对较易；
第五，经常进行教学研究活动，有利于不同学校教师之间的交流；
第六，进行教师培训，经常出去讲学，研究的成果有利于推广．
以上的条件可以看出应该以教 研员为核心，组成数学史专家、数学教育家、数
学教师的一个团队，合作解决数学史如何融入中学数学课 堂教学．

2 数学史融入数学教学的重要性
2.1 数学史在数学教学中的地位
数学史是学习数学、认识数学的一门学科。人们要认识数学概念、数学思想 和
方法的发展过程，增加对数学学科的了解，建立数学的整体意识，就必须运用数学
史作为补充 和指导。数学史与数学哲学=科学哲学，与社会史、文化史的各个方面都
有密切的联系。它们之间的内容 涉及什么是数学、数学与人类思想的革新、数学与
其他科学技术的关系、数学和社会进步等方面。数学与 其他学科的联系不仅具有沟
通文、理的性质，而且有助于深刻理解数学的文化内涵，对于培养文、理兼通 ，“学、
才、识”兼备的数学专业人才有重要意义。“学、才、识”，即知识、能力以及见
识和 思想，其中“识”是引导知识和能力走向何方的根本性问题。如果数学教学只
是停留在数学理论本身的学 习上。甚至对数学理论的实质也没有深入探究，学生就
不可能理解依托于数学知识体系之上的数学思想和 信仰，不可能理解贯穿于数学研
究活动中的科学精神（包括科学的实证精神、理性精神、批判精神）与数 学的美感
及鉴赏能力，不可能理解与数学的社会功能密切相关的伦理准则等数学文化底蕴，
更不 会形成“才”与“识”。因此，学习数学史是以“素质教育”为目标的数学教
学的内在要求，它对于培养 学生的人文主义精神以及数学观念、数学能力、数学整
体意识有特殊意义。
2.2 数学史在数学教学中的作用
在数学教学中，结合教学内容，适时、适度、适量地运用一些数学史料，可以

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激发学生的学习兴趣，启迪思维，帮助学生更好地理解数学。因此融数学史于数学
教 育之中是数学教育改革的一个重要方向。
2.2.1加深对数学理论的理解
数学史可以让学 生认识数学发展的规律，从前人的经验教训中获取鼓舞和启示。
一般说来，数学史不仅可以给出一种确定 的数学知识，还可以给出相应知识的创造
过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真 正的数学思维过程。
历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛．而不是单纯地传授知识。历史< br>上许多著名问题的提出与解决方法还有助于学生理解与掌握所学的内容。
对于那些需要通过重复 训练才能达到的目标，数学历史名题又可以使这种枯燥
乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地 调动学生的积极性，提高他们的
兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣；历史名题 的提出一
般来说都是非常自然的，它或者直接提供相应数学内容的现实背景，或者揭示了实
质性 的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的；许多历史名题
的提出及解决与大数学家有 关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探
索过的问题。或许这个问题曾难住过许多有名的人 物，学生会感到一种智力的挑战。
也会从学习中获得成功的享受。这对于学生建立良好的情感体验无疑是 十分重要的。
数学并不是一个静止的和已经完成的领域．而是一个开放性的系统．认识到数学正
是在猜想、证明、犯误、修正错误中发展进化的。数学进步是对传统观念的革新，
可以激发学生的非常规 思维。
2.2.2 培养正确的数学思维方式
现行的数学教材都是经过了反复推敲，语言十 分精练简洁。为了保持知识的系
统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，对数学 知识的内
涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。这样虽然有利于学生接受知识，但容易
使学 生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的
错误观点。所以，在教学的 过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学
生能够更快更好地掌握数学知识，将知识系统化； 另一方面，系统化的知识无法让
学生了解到数学理论的真实建立过程。影响了学生正确数学思维方式的形 成。数学
史的学习，可以让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程．有

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一个比较清晰的认识，从而陪养学生正确的教学思维方式。譬如，传统的欧式几 何
的演绎体系是产生不了微积分的，它是牛顿、莱布尼兹在古希腊的“穷竭法”、“求
抛物线弓 形面积”等思想的启发下，经过创造得到的。而且在数学家们的不断补充、
完善下．经过几十年才逐步成 熟起来的。通过对这种创造过程的了解，使学生体会
到一种活的、真正的数学思维过程．而不是单纯地接 受教师传授的知识。在这种不
断学习．不断探索，不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。
2.2.3 激发学生学习数学的动机
心理学理论认为．动机可分为两个部分：人的好奇心 、求知欲、兴趣、爱好构
成有利于创造的内部动机；社会责任感构成有利于创造的外部动机。兴趣是最好 的
动机。数学史中有很多能够培养学生学习兴趣的内容。主要有这几个方面：一是与
数学有关的 小游戏，例如巧拿火柴棒、幻方、商人过河问题等．它们都有很强的可
操作性．作为课堂活动或是课后研 究都可以达到很好的效果。二是一些历史上的数
学名题，七桥问题、哥德巴赫猜想等，它们往往有生动的 文化背景，也容易引起学
生的兴趣。还有一些著名数学家的生平、轶事．比如说一些年轻的数学家成材的 故
事，《新课程标准》中提到的“从阿贝尔到伽罗瓦”，阿贝尔22岁证明一般五次以
上代数方 程不存在求根公式，伽罗瓦创建群论的时候只有18岁。还有的是许多出生
贫穷卑微的数学家通过自己的 艰苦努力，最终在数学研究上取得骄人成绩的例子。
如19世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农， 直到14岁还没有学过写字，18
岁才正式开始读书，后来靠做私人教师谋生，经过艰苦努力。终于在3 0岁时在数学
上做出重要工作，一举成名。如果在教学中加入这些学生感兴趣又有知识性的内
容 ．定能消除学生对数学的恐惧感，增加数学的吸引力。
2.2.4 建立德育教育平台
首 先，可以对学生进行爱国主义教育。现行的教材讲的大都是外国的数学成
就．对我国在数学史上的贡献提 得很少，其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、
祖冲之等一批优秀的数学家．有中国剩余定理、祖瞩公 理、“割圆术”等具有世界
影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。当然，现阶段爱 国主
义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后
于西方， 20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。在新

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< br>时代的要求下．除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，
让学生认识到 爱国主义不是体现在“以己之长，说人之短”上，在科学发现上全人
类应该相互学习、互相借鉴、共同提 高，我们要尊重外国的数学成就．虚心的学习，
“洋为中用”。
其次，可以引导学生学习数学 家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道
路都不是平坦的．无理数的发现，非欧几何的创立，微积 分的发现等等这些例子都
说明了这一点。欧拉3l岁右眼失明．晚年视力极差最终双目失明。但他仍以坚 强的
毅力继续研究，他的论文多而且长。以致在他去世之后的lO年内，他的论文仍在科
学院的 院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证
明就打退堂鼓的学生来说，介 绍这样一些大数学家在遭遇挫折时是如何执著追求的
故事。对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树 立学习数学的信心会产生重要
的作用。
第三，可以提高学生的美学修养。能欣赏美的事物是人 的一个基本素质．数学
史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光
辉。例如毕达哥拉斯定理是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定
理。有着极为 广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著
名画家达芬奇给出过它的证明。19 40年，美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命
题艺术》的第二版中收集了它的370种证明，充分展 现了这个定理的无穷魅力。另
外，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、i角公式的统一 美、非欧
几何的奇异美等，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了
提高 ，这是德育教育一个新的突破口。
2.2.5 鉴过去而知未来，感悟数学与社会
在过去 的数学课程中很少涉及数学与社会的内容，除了数学书上一些数学应该
题外，似乎看不到数学与社会有什 么密切联系。新课标教材试图使学生对数学与社
会的关系的认识方面做出努力。数学的发展与社会的进步 息息相关，互相促进。一
方面，数学的发展依赖于社会环境，受社会经济、政治和文化等诸多因素的影响 ；
两一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，不管是物质文明还
是精神文明 。

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对物质文明的影响：数学对人类物质文明的影响，突出的反映在 它与能够改变
人类生活方式的产业革命上。人类历史上有三次重大的产业革命，这三次产业革命
的主体技术都与数学的新理论、新法方法的应用有直接或间接的联系。牛顿和莱布
尼茨发明的微积分作为 一种强有力的新工具，推动了以机械运动为主题的17、18世
纪整个科学技术的高涨，成为18世纪下 半叶开始的第一次产业革命的重要先导。19
世纪60年代，第二次产业革命开始，这次产业革命发电机 、电动机以及电气通信为
标志，这些技术当然依靠了电磁理论的发展，而电磁理论的研究是与数学分析的 应
用分不开的。第三次产业革命发生在上世纪40年代，主要以电子计算机的发明使用、
原子能 的利用以及空间技术、生产自动化等为标志。这这些技术发展的每一个关头
都记载着数学家的不可磨灭的 功勋。
对精神文明的影响：作为教授数学的教师，学生或者你自己是否提出过这样的
问题：我 们为什么学数学？对于这个问题你是怎样思考和回答的？有些教师会回答，
我们所学习的数学是有用的， 小到我们个人生活中有些问题需要用到数学知识，大
到计算机技术、自动化技术、航空航天，军事等等领 域都要应用数学。这样的回答
无疑是正确的，但却并不全面，它只提到了数学的两个作用的一个作用。
数学有两大作用，一个是工具作用，像现实问题到应用数学这是它的工具作用，
也就是上述的对 物质文明所起的作用；另一个作用就是人文作用，也就是对人类的
精神文明所起的作用，数学对人类精神 文明的影响极为深刻。某种程度上，对于大
多数人来说数学的人文作用比其工具作用更具意义。想一想， 绝大多数的学生未来
都不会从事与数学有关的工作，对这些学生来说小学的四则运算几乎就足够他们应< br>付日常的生活问题了，甚至连开方都用不到，如果仅从学以致用的角度来看，他们
从小学到高中要 学习12年的数学，不是浪费生命吗？事实上并非如此。数学本身就
是一种精神，一种探索精神。这种精 神包含的两个要素，即对真理和完美的追求，
千百年来对人们的思维方式、教育方式以及世界观、艺术观 都有着毋庸质疑的影响。
数学对人类精神文明的意义，也突出地表现在历次重大思想革命的关系上。由于 其
不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性，数学往往成为解放思想的决定性
武器，尤其 在文艺复兴之后科学与神学的斗争中表现的更为突出。
中学数学课程中，对数学知识本身的学习还不足以使学生感受到数学与社会之

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间的深刻的关系，为此要在数学课程中加入一些数学史的内容，当然，教材中的这
些 内容仅仅是冰山一角，教师应该应该提高自己对数学发展历程的了解，只有这样
才能更好地促进数学教学 。
总之数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用．对于引导学体会真正的数学
思维过程，创 造一种探索与研究的数学学习气氛．对于激发学生对数学的兴趣，培
养探索精神．对于揭示数学在文化史 和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文
价值，都有重要意义。

3 国内外在教学中融入数学史的成果
3.1 国外的研究成果
国际上对数学史在数学教育中 的应用的相关研究和实践操作已经有了相当程度
的发展．1998年4月20日至26日，在法国马赛附 近luminy镇，举行了由国际数学
教育委员(ICMI)发起的“数学史在数学教育中的作用”国际 研讨会．此次会议的主
题是数学文化，要求数学教学充分反映数学的文化底蕴，从课程内容、概念形成、
证明方法、习题配置等各个方面，全方位地使数学史融入、丰富和促进数学教学．
3.1.1 数学史融入数学教学行动研究的成果
融入的层次
对于将数学史融入数学教学有很多片面的理 解，最普遍的是将其理解为在数学
课堂中讲点数学史以提高学生的兴趣，显然这只是数学史应用的较低层 次．教师应
用数学史至少可以分为三个层次：
(1)说故事；
(2)在历史的脉络 中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方
位的认知能力和思考弹性：
(3)从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关
怀的理想．
融入的过程
将数学史融入数学教学并不是在教学中插入几个历史故事那么简单，融入过程一般包括以下几个阶段：

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(1)学习历史资料；
(2)选出适合课堂教学的话题；
(3)分析课堂需要：
(4)制定课堂活动计划；
(5)完成方案；
(6)对活动的评价．
教 学不一定完全遵循发明者的历史足迹，而是要经过一定的改良，符合学生的
认知，这样才能更好突出历史 过程，引导学生思维．
融入的形式
数学史融入数学教学有隐性和显性两种形式．隐性融入是 指根据历史对教学内
容重新设计和加工，制作适用于教学的“历史套装”，在隐性融入过程中，数学史< br>扮演的角色是担当教学设计的指南，因为“数学史并非最终目的，而是通过数学史
的途径以达到教 学目的”．
显性地融入数学史旨在“描述数学发展的进程”．它的两种错误倾向，首先是
如果 教师只提供给学生有限的历史片段，就可能造成学生对数学发展过程的错误或
片面理解．当前的不少数学 教材，表面上看起来注重数学史的应用，但大多数只局
限于在每一章节的后面增加几个历史注解，如数学 家小传、个别概念的发展历史等，
这实际上势必导致教师将数学史与数学课程割裂开来，甚至认为将数学 史融入数学
教学与日常课堂教学背道而驰．另一个错误倾向是“脱离数学史融入数学教学的目
的 ，将融入数学史转化为数学史教学”．这种做法的直接结果是让学生感到数学史
只不过是新增加的考试内 容而已，如此以来，恐怕连“激发学生的兴趣”这一作用
也会消失殆尽．
融入的途径
在具体的教学过程中，将数学史融入数学教学有很多做法，这取决于教师的信
念、教学观、课程内容、 历史资源等诸多因素，已有的文献也提供了很多成功的经
验，包括使用传记、游戏、历史调查、本地历史 考察、历史家庭作业、历史命题、
参观、观看影视作品甚至戏剧表演．
John Fauvel在《数学学习》上编辑了一期教学中如何应用数学史的专刊，其中

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