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２０１１年 第５０卷第１期 数学通报 ６３
数学问题解答
２０１０年１２月号 问题解答
（解答由问题提供人给出）
１８８６设锐角ＡＡＢＣ的垂心为Ｈ、重心为Ｇ，Ｈ
与Ｇ在ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的射影分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ与
Ｄ 、Ｅ１、Ｆ ．若△ＡＦＥ、△Ｂ ＤＦ、△ＣＥＤ的重心分
别为ＧＡ、ＧＢ、Ｇ。．证明：△Ｄ１ １Ｆｌ △ＧＡＧＢＧｃ．
（安徽合肥工业大学数学与信息科学系 苏
化明 ２３０００９）
证明设△ＡＢＣ的三边 长分别为ＢＣ—ａ，ＣＡ—
ｂ，ＡＢ—Ｃ．
如图１，由题设知Ｂ、Ｄ 、Ｇ、Ｆ 四点共圆 且
ＢＧ为此圆的直径，故由正弦定理知Ｄ Ｆ ＝＝
ＢＧｓｉｎＢ．
Ａ
圈１
设△ＡＢＣ的三边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的中线长分
另４为 。、ｍ６、ｍ ，则Ｄ１ Ｆｌ一 ６ｓｉｎＢ．
同理可知Ｆ１ Ｅ 一 ２ ｓｉｎＡ
，
Ｅ１ Ｄ 一号
ｓｉｎＣ．
如图２，设ＡＥ、ＢＤ的中点分别为Ｌ、Ｋ．因为
ＧＡ、Ｇｎ分别为△ Ａ＿ＦＥ、△ＢＤＦ的重心，所以
ＧＡＧＢ一＿兰＿ＬＫ．
因为Ｈ为△ＡＢＣ的垂心，所以
ＡＥ—ｃｃｏｓＡ，ＣＥ—ａｃｏｓＣ，ＢＤ—ＣＣＯＳＢ。ＣＤ—
ｂｃ０ｓＣ
／
Ｃ
图２
设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，则
１
ｃＬ—ｃＥ ＋÷ＡＥ
一
２ＲｓｉＩ１ＡＣＯＳＣ＋ＲｓｉｎＣＣＯＳＡ
—
Ｒ（ｓｉｎ ＡＣＯＳ Ｃ＋ｓｉｎＣＣＯＳ Ａ）＋
ＲｓｉｎＡＣＯＳ Ｃ
—
Ｒ（ｓｉｎＢ＋ ｓｉｎＡＣＯＳ Ｃ）．
同理可知ＣＫ—Ｒ（ｓｉｒｌＡ十ｓｉｎＢｃｏｓ Ｃ）．
在△Ｃ ＬＫ中，由余弦定理
ＬＫ 一ＣＬ ＋ＣＫ 一２ＣＬ·ＣＫＣＯＳ Ｃ
＝＝＝
Ｒ ｒ（ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＡＣＯＳ Ｃ）。＋（ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ
ＣＯＳ Ｃ）。一２（ｓｉｎ Ｂ＋ｓｉｎ ＡＣＯＳ Ｃ）（ｓｉｎ Ａ十
ｓｉｎ ＢＣＯＳ Ｃ）ＣＯＳ Ｃ］
＝＝ ＝
Ｒ ｓｉｎ Ｃ（ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ。Ｂ＋２ｓｉｎＡｓｉｎＢＣＯｓ Ｃ）
１
￣
一一
ｓｉｎ Ｃ（ａ ＋６ ＋２ａｂｃｏｓ Ｃ）．
由三角形中线长公式知
４ｍ 一口。＋６。＋２ａｂｃｏｓ Ｃ，
故ＬＫ。一７Ｙｔ ｓｉｎ Ｃ，ＬＫ＝？Ｔｔ ｓｉｎＣ，从而ＧＡＧＢ
９
一
÷ｍ。ｓｉｎＣ．
０
，）
同理可知ＧＢＧｃ一 ｍ ｓｉｎＡ，ＧｃＧ＾
Ｊ
０
一
÷ｍｂ ＳｉｎＢ．故由三角形全等的判定定理知
△ＤｌＥ１Ｆ１ △ＧＡＧＢＧｃ．
６４ 数学通 报 ２０１１年 第５Ｏ卷 第１期
１８８７设０为正五边形ＡＢＣＤＥ内一点，ＡＯ、
Ｂ ０、ＣＯ、Ｄ０、Ｅ０的延长线分别交对边ＣＤ、ＤＥ、
ＥＡ、ＡＢ、ＢＣ或其延长线于Ａ 、Ｂｌ、 ｃｌ、Ｄｌ Ｅｌ点．
求证： 十器＋器十 十噩一
（重庆市北碚夏埙中学余明荣４００７ ００）
证明 连接ＡＣ、ＡＤ
令五边形ＡＢＣＤＥ的面积为Ｓ
Ｃ
Ｓ１ ＝Ｓ△ＡｃＤ＝ＳＡＢＯＺ＝ＳＡＣＥＡ
—
Ｓ△ｎＡＢ＝Ｓ△耶ｃ
２７
．
１一Ｓ△∞Ｄ，ｚ２＝ＳＺＸＯＤＥ，ｚ３：Ｓ△ＯＥＡ，
ｚ４一Ｓ△ Ｂ，ｚ５＝Ｓ△∞ｃ ，则
ｚｌ＋ｚ２＋ｚ３＋ ４＋ｚ５一Ｓ
ＯＡ１
Ｓ￣ＣＯＡ
ＳａｍＡ１< br>Ｓ￣ＧＯＡ
－
ＳＡ￣Ａ１
一
１
一
一
１ＡＡ，Ｓｚｘｃ￣
１
ＳＡＤＡＡ
Ｓ△
一
ｌ
１Ｓ△ＤＡ＾
１
一 一
Ｓ△＾ｃＤ Ｓｌ
Ｎ］￣面ＯＢ，一＿ ｘｚ
０Ｃ１
Ｘ３
ＯＤ１
．
２７４
一 一
，Ｏ面Ｅ１一 Ｘ５
，
，
所以 ＯＡ１＋蛊＋舞＋ ＋蛊一
令外半径为ｒ，Ｓ。一 ÷ｒ。·ｓｉｎ７２。，则
Ｓ一５Ｓ０，ＡＣ—ＡＤ一２ｒ·ｓｉｎ７２。
ｓ 一 １ Ａ ｃ
ＡＤ·ｓｉｎ ｃＡＤ一 １
··
４ｒ２·
（ｓｉｎ７２。） ·ｓｉｎ ３６。一４Ｓ０·ｓｉｎ７２。·ｓｉｎ３６。
因为ｓｉｎ５４。一ｃｏｓ３６。 ４ｓｉｎ。１８。 一２ｓｉｎ １８。一
３ｓｉｎｌ８。一－１：＝＝０
所以ｓｉｎ１８。一掣，ｃｏｓ３６ 。１．－２．ｓｉｎ２１８。
＋１
一
一—
所以 一 一４ｃｏ
ｓｌ８。·ｓｉｎ３６。８·ｓｉｎｌ８。·ＣＯＳ １８。
一
墨
８·ｓｉｎ１８。·—１＋ ｃｏｓ
３６￣
一
一
蒋一证
１８８ ８设Ａ（非顶点）为双曲线上任一点，则过Ａ
点切线的作法如下：
在双曲线的实轴上找一点 Ｂ，使点Ａ、点Ｂ在
虚轴同侧，且点Ｂ到虚轴距离是点Ａ到虚轴距离
的２倍，以点Ｂ为圆心 ，以点Ａ到虚轴距离平方
的２倍减去实半轴长的平方的算术平方根为半径
作圆，与过Ａ点的 实轴的垂线交于点Ｃ，过点Ｃ
作所作圆的切线交实轴于一点Ｄ，则直线ＡＤ就
是该双曲线过 点Ａ的切线．
（河南濮阳职业技术学院 张敬坤４５７０００）
证明 如图以双曲线中心０ 为原点，以实轴所在
直线为 轴，建立平面直角坐标系，设双曲线的方
程为：
一
ｎ。 ｂ。
设Ａ（ｘ。，Ｙ。），则Ｂ（２ｘ。，０）所作圆的方程为：
（ｚ一 ２ｘｏ） ＋ｙ 一２ｘ５一ａ。
ｙ｜
＼＼ ／ ～
ｌ
故Ｃ（ｘ。， ±￣／ 一口 ），从而
！％￣
ｏ－－ａ２
志 一～—
—
所以过 点Ｃ且垂直于ＢＣ的直线方程为：
干属 一南‘一
将上式整理得
ｚｚ。±．ｙ 一口。
从而得ｃ ｆ
＼ ＸＯ，ｏ１，故过点Ａ、点ｃ直线的方
程为：
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