团队合作精神初中数学中被删掉的有用知识(圆幂定理及其应用)

2020年11月28日发(作者：谢雪畴)
圆幂定理及其应用

教学目标
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解
决有关问题；
2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方
法；
3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的
观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题
是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割
线定理的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?
提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.
(1)如图7-163，⊙O的 两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过
的相交弦定理.对于这个定 理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时 AB，CD
是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)


二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝ O，仍然
有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)
(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外
一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝ PC·PD，这就是我们学过
的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)

(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点
旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠
近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD
＝PC2，这 就是我们学过的切割线定理.(图7-167)
(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，
可
得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.
观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)
在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝(R-OP)(R+OP)
＝R2-OP2；

在图(2)中，PA·PB＝PT＝OP-OT
22
＝OP-R
2
在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT
22
＝OP-R.
22
教师指出，由于PA·PB均等于｜OP-R｜，为一常数，叫做 点P关于⊙O的幂，所以相
交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)
例1 如图7-170，两个以 O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆
222
于D，E，AB＝12， AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.
分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出 大圆的半径OB.求OC也可考虑用
上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利 用垂径定理便可求出AC，
于是问题得解.
(由学生讨论、分析，得出解决)

例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是
大圆上任意两点， 过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.
求证：AX·AY=BP·BQ
分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单
的图形组合而成的.但本题
不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构
造出这样的图形，以此为出
发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.
方法1 在图7-172中，过 点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出
现了切割线定理的基本图形，于是有

AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.
再连结CO，AO，DO，BO，
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法2 在图7-173中，作直线XP 交大圆于E，F，分别延
长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有

AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.
易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.
所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的 特殊割线，作直线AO
交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于 是有
AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.
易证AE＝BC，AF＝BD，
所以AE·AF＝BC·BD.
从而AX·AY＝BP·BQ.
通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，
沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此