杂醇油(完整版)初中数学中的折叠问题

2020年11月28日发(作者：邵觫)
初中数学中的折叠问题
一、矩形中的折叠
1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠 ，其中BC，BD为折痕，
折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．


2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，
再过点A′折叠使 折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是 ．






3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折 叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折
痕DG，求AG的长．
DC


A'


根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角
AB
G
形中根据勾股定理列方程求解即可
4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得 BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕
BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）



注意折叠前后角的对应关系

5． 如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求
折叠后重合部分的面积．

E



重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

A
F
3
D
2
B
1
C
初中数学中的折叠问题 监利县第一中学

6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG
的形状 三角形．
对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一 般
情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之
D‘
C‘
间的关系 ，注意以折痕为底边的等腰△GEF

F
A1
G
D
5

3
2
4

BEC


7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展 平，得折痕EF（如图①）；
延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕G C（如图③）；沿GH折
叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展 平，得折痕GC′，
GH（如图 ⑥）．
（1）求图 ②中∠BCB′的大小；
（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

理清在每一个折叠过程中的变与不变
8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中
①②③④四个三角形的周长之和为



折叠前后对应边相等
9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积

注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等
10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN
为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．
(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？
(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；
(3)猜想当B点落在什么位置上 时，折叠起来的梯形
MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．



2

二、纸片中的折叠
11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）

C

D

30°
B
a

FE

2
1

A
题考查的是平行线的性质，同位角 相等，及对称的性质，
折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB 为底的等腰三角形

12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为






在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的 联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，
折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重 叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形
ABC
13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是

注意掌握折叠前后图形的对应关系．
在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线 ”的基本结构图形，即有以折痕为底边
的等腰三角形APQ
14．如图a是长方形纸带，∠D EF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则
图c中的∠CFE的度数是（ ）

A
E
DAE
F
B
图a
FCB
图 b
G
C
D
B
图c
G
F
A
E
D
C

3


本题考查图形的翻折变换，解题过程中应 注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称
的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG
15．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（ ）

D
C




F

60cm
G

E
AF

D


B
C
E
B
A


16．一根30cm、宽 3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反
面），为了美观，希望折叠完成 后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长

三、三角形中的折叠
17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=

18．在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30 °，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，
1
折叠后两个小△ACD与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的 ．
4
（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ；

4

（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠 前的
3
2
a ；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其
2
中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．


C
C
B'


2

1
A
B
E
3

D

A
B
D

B'
注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图， 折叠
前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边

19．在△ABC中，已知 ∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′
DE，对折叠后产生的夹角 进行探究：
（1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
（2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；
（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．
△ABC的面积可以等于

（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°- 2∠
CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比
可求出答案；
（2）连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据
三角形内角和定理来求；
（3）将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠
CDE-180°，再根据三角形内角和定理 来求．
C'
A
2
G
A
D
C
1
2
E
C'
图(1)
B
D
1






C
C'
A
D
1
2
图(3)
E
B
C

E
图(2)
B
5