反其道而行之华罗庚学校数学教材(六年级上)第10讲 棋盘中的数学(一)

2020年11月28日发(作者：平上人)
本系列共14讲
第十讲棋盘中的数学（一）
——什么是棋盘中的数学
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文档贡献者：与你的缘
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还
有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问
题．这里面与数 学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解
决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统 称棋盘中的数学．
作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．
例1这是一个中国象棋盘，（下图 中小方格都是相等的正方形，“界河”的
宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2， 3，4，5，6，7位
置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13， 14
中的两个位置．
问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三
个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方 形面积为1平方单
位．
由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一< br>半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接
长方形面积的大小就 可见端倪．
直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．
顶点为（3，10，12）或（2，10，12） 的三角形面积为：
1
×8×7=28；
2
顶点为（3，10，13）或（2， 12，14）的三角形面积等于：
1
×9×6=27。
2
所以顶点在（2，1 0，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．
答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别 在10，12的位置时，以
这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积 最大，如下
图所示．
说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在< br>多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．
例2下左图是一个围 棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当
按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果 要将这个正方阵改摆成每边
各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．
问：这堆棋子原有 多少枚？
解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正
方阵扩大后 “贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边
棋子数与“扩阵”每边棋子数之和． 恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵
每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是< br>10
2
＋12=112枚
答：这堆棋子原有112枚．
说明：本题也可 以列方程求解．
设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：