高建群初中数学解题方法与技巧(必读)

2020年11月28日发(作者：苗九锐)

初中数学解题方法与技巧
要掌握一定的解题规律与技巧。



要学好数学，学会解题是关键。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还

一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用

解题的学习过程通常的程序是： 阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，
思考例题的方法、技巧和解题的规范过程； 然后做数学练习题。

基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后 要及时总结反思改错，交
流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了 解题的的一次
重要而有意义的方面。”

教师在教学设计中要让解学生好数学问 题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的
挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技 巧，提高解题能力。

1. 函数与方程的思想

函数与方程的思想是 中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析
和研究数学中的数量关系，建立函 数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决
相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中 的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或
利用方程的性质去分析解决问题。

2. 数形结合的思想

数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三 角问题往往有几何背景，可以借助几
何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过 数量的结构特征用代数的
方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

3. 分类讨论的思想

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分类 讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵
盖比较广，原因三 是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需
要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型 1 ：由 数
学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分
类讨论；类型 2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类
型 3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的
讨论；类型 4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问
题引起的讨论。类型 5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母
系数对图象的影响，二次项系数对图 象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数
项对截距的影响等。

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面
性，全面考虑 问题。分类的原则：分类不重不漏。分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；
②确定分类讨论的分类标 准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。注意动态
问题一定要先画动态图。

4 ．转化与化归的思想

转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结 合的思想体现了数与形的转化；函数
与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论 思想体现了局部与整体的
相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也
是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将
不熟悉和难 解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观
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的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为 数学的问题
等等使问题易于解决。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转 化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也
是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检 验、调整和补充。转化的原则是将
不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的 问题转为具体的和直观
的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为 数学的问题
等等使问题易于解决。

常见的转化方法有

（ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .

（ 2 ）换 元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、
不等式问题转化为易 于解决的基本问题

（ 3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相
变换获得转化途径

（ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的

（ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适
合原问题 .

（ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .

（ 7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径

转化与化归的指导思想

（ 1 ）把什么问题进行转化，即化归对象
（ 2 ）化归到何处去，即化归目标
（ 3 ）如何进行化归，即化归方法



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化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 .

二、中学数学解题中的的基本方法


1. 观察与实验

（ 1 ）观察法：有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途
径。

（ 2 ）实验法：实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象，通过观察研究
将复杂的问题直观化、简单化。它具有直观性强，特征清晰，同时可以试探解法、检验结论的
重要优势。

2. 比较与分类

（ 1 ）比较法

是确定事物共同 点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。
我们常比较两类数学对象的 相同点、相异点或者是同异综合比较。

（ 2 ）分类的方法

分类是在比 较的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不同性质
的对象归为不同类的思 维方法。如上图中一次函数的 k 在不等于零的情况下的分类是大于零
和小于零体现了不重不漏的原则。

3 ．特殊与一般

（ 1 ）特殊化的方法

特殊化的方法是从给定的区域内缩 小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形
等情况，再去考虑问题的解答和合理性。
（ 2 ）一般化的方法

4. 联想与猜想

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（ 1 ）类比联想

类比就是根据两个对象或两类事物 间存在着的相同或不同属性，联想到另一事物也可能具有某
种属性的思维方法。

通过类比联想可以发现新的知识；通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径：

（ 2 ）归纳猜想

牛顿说过：没有大胆的猜想就没有伟大的发明。猜想可以发现真 理，发现论断；猜想可以预见
证明的方法和思路。初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想， 或对条件和结论的
观察提出解决问题的方案与方法的猜想。

归纳是对同类事物中的所 蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。归纳有完全
归纳和不完全归纳。完全归纳得出的 猜想是正确的，不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可
能错误，因此作为结论是需要证明的。关键是猜 之有理、猜之有据。

5. 换元与配方

（ 1 ）换元法


解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这 叫
换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对
象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处 理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系 起来，隐
含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证< br>简化。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要 注重新变量范围的
选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 你可以先观察
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算式，你可以发现这种要换元法的算式中 总是有相同的式子，然后把他们用一个字母代替，算
出答案，然后答案中如果有这个字母，就把式子带进 去，计算就出来啦
。
（ 2 ）配方法

配方法是对数学式子进行一种定向 变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未
知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我 们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、
“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称 为“凑配法”。最常见的配方是进行恒
等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知 中含有二次方程、二次不等
式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。配方法使用的最基本的配方依据是 二项完全平方公
式 (a ＋ b) 2 ＝ a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式

6. 构造法与待定系数法

（ 1 ）构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定
义的概念和能够实现的方法。常见的有构造函数，构造图形，构造恒等式。平面几何里面的添
辅助线法就 是常见的构造法。构造法解题有：直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。

（ 2 ）待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个
恒等式。然后根据 恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便
可求出待定的系数，或找出某 些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

7. 公式法与反证法

（ 1 ）公式法

利用公式解决问题的方法。初中最常用 的有一元二次方程求根时使用求根公式的方法；完全平
方公式的方法等。如下面一组题就是完全平方公式 的应用：

（ 2 ）反证法是“间接证明法”一类，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾 ，就可以肯
定命题的结论的正确性，从而使命题获得了证明。

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