lycopene什么是代数学

2020年11月28日发(作者：汪潭)
什么是代数学

在学习代数学过程中有人问:近世代数讲完群环域以后就没再讲其他 的东西，后面还应该学
习些什么知识，才可以继续深入研究下去。

这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:

首先 说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世
代数中讲的仅仅是 群 环 域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分
支，国内很多学校已经有这样的 硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代数当然是最基
本的。我来介绍一下我所接触的代数学：

我认为代数学是研究代数结构的学问，这有两层含义：
第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群 环 域，还有这些结构的各种子结构，弱
结 构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;第二层含义是通过各种途径和技术来
研究这些代数结 构，比如同调的方法，范畴论的方法, 还有新近的量子化方法等等。

代数有两种含义，广义的和狭义的。
广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等 等是不寻常的)这些结构及研究他们的方
法论的总和; 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足 一些公理化条件的乘法后的
这种结构,这个概念当然可以推广到模上。需要注意的是很多书上所说的代数 还专门指乘法
满足结合律的结合代数，这就是说这个空间对于其中的乘法运算构成环。

下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点, 分类不很科学和完整,请大家指正和补充):

[基本理论]: 群及其表示论

分支: 一般群论 拓扑群（连续群） 置换群及其应用 可解群 幂零群
典型群 有限群论 李群 李型单群 高阶K-群 无限Ablel群
半群理论 Ellis半群 离散群 组合群论 (线性)代数群
群表示论(常表示与模表示) 等等


[基本理论]: 环与模范畴, 代数及其表示论,

分支: 一般环论 根论 正则环 局部环 非交换环 非交换(结合)代数
分次环与模 有限维代数 可除代数 C*代数 算子代数
Von Neumann代数 非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论
腔胞代数 Lie代数 无限维李代数 Lie超代数 Colored李代数
Kac-Moody代数 顶点算子代数 微分代数 (拟)遗传代数(Quasi-hereditary)
量子代数 拓扑代数等等

一些有名的代数: