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李键数学文化学之读书笔记

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-28 19:02
tags:教育学, 高等教育

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2020年11月28日发(作者:杭岱宗)
《什么是数学》读书笔记
---------从自然数到实数
读完《什么是数学》之后,我深受内容的影响,感触很深,对于数学的演化有种震撼的
感受,我 想这种感触我一定要用笔记下来,好让我以后忘了再把它想起来。我为什么要把它
用笔写下来,不用我多 说,我想大家肯定知道其中的秘密。
现在,我们将从一系列公理开始,从自然数的产生一直说到实数理 论的完善。或许会对
数学的“科学性”有一个新的认识。

自然数是数学界中最自然 的数,它用来描述物体的个数,再抽象一些就是集
合的元素个数。在人类文明的最早期,人们就已经很自 然地用到了自然数。可以
说,自然数是天然产生的,其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。
数学家Kronecker曾说过,上帝创造了自然数,其余的一切皆是人的劳作。 (God
made the natural numbers; all else is the work of man.)。
随着一些数学理论的发展,我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。从逻辑 上看,
到底什么是自然数呢?历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。数学家Giuseppe P eano
提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理,称为Peano公理。Peano公理认为,自 然数
是一堆满足以下五个条件的符号:
1. 0是一个自然数;
2. 每个自然数a都有一个后继自然数,记作S(a);
3. 不存在后继为0的自然数;
4. 不同的自然数有不同的后继。即若a≠b,则S(a)≠S(b);
5. 如果 一个自然数集合S包含0,并且集合中每一个数的后继仍在集合S中,则所有
自然数都在集合S中。(这 保证了数学归纳法的正确性)
形象地说,这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。 自然数的加法
和乘法可以简单地使用递归的方法来定义,即对任意一个自然数a,有:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
a · 0 = 0
a · S(b) = a + (a·b)
其它运算可以借助加法和乘法来定义。例如,减法就是加法的逆运 算,除法就是乘法的
逆运算,“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。交换律、结合率 和分配率这几个
基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。
Peano公理提 出后,多数人认为这足以定义出自然数的运算,但Poincaré等人却开始质
疑Peano算术体系 的相容性:是否有可能从这些定义出发,经过一系列严格的数学推导,最
后得出0=1之类的荒谬结论? 如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题,我们就说
这个公理体系是不相容的。Hilbert的 23个问题中的第二个问题就是问,能否证明Peano算
术体系是相容的。这个问题至今仍有争议。
在数学发展史上,引进负数的概念是一个重大的突破。我们希望当a成立,并让此时的a-b参与运算。现在我们还不知道当a注意到(a-b)与(c-d)总是满足下面两个看上去很符合常理的式子:
(a-b)
+
(c-d)
= (a+c) - (b+d)
(a-b)
·
(c-d)
= (ac + bd) - (ad + bc)
我们可以非常自然地把上面的规则扩展到a数扩展到全体整数:把符号
(a-b)
直接当作一个数来处理。如果a>=b,符号
(a-b)
描述的是一
个自然数;如果a(a-b)
描述的就是 一个“负数”。当a+d=b+c时,
(a-b)

(c-d)
属于
同一个等价类(可以证明它们同时加上或乘上一个
(e-f)
的结果相同),我们认为它们是同 一
个数(正如1/2和2/4是同一个数一样)。注意到
(a-b)
-
(b- a)
= (a+b)-(b+a) = 0,也就是说
(a-b)

= 0 -
(b-a)
。而
(a-b)

(b-a)
两个数中,至少 有一个在原来我们的自然数范围内。受这个的启
发,我们想到了用这两个数中的其中一个去描述另一个: 当a(a-b)
记作0-(b-a);
或者干脆不写那个0了,直接简 记作-(b-a)。例如,我们可以把
(3-5)
直接写成-2。另外,注
意到
(a-b)
+
(c-d)
= (a+c)-(b+d) = (c+a)-(d+b) =
(c-d)
+
(a-b)
,于是我们可以立即 看出,引进负
数后原有的加法交换律仍然成立。类似地,可以证明在上面的定义下,其它几个算术运算基
本性质依然保持不变,因此从逻辑上看负数运算是合理的。
生活中遇到的另一个问题就是“不 够分”、“不够除”一类的情况。三个人分六个饼,一个
人两个饼;但要是三个人分五个饼咋办?此时, 一种存在于两个相邻整数之间的数不可避免
的产生了。为了更好地表述这种问题,我们用一个符号a/b 来表示b个单位的消费者均分a
个单位的物资。真正对数学发展起到决定性作用的一个步骤是把由两个数 构成的符号a/b当
成一个数来看待,并且定义一套它所服从的运算规则。借助“分饼”这类生活经验, 我们可以
看出,对于整数a, b, c,有(ac)/(bc)=a/b,并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/ b)·(c/d)=(ac)/(bd)。
为了让新的数能够用于度量长度、体积、质量,这种定义是必 要的。但在数学历史上,数学
家们经过了很长的时间才意识到:从逻辑上看,新的符号的运算规则只是我 们的定义,它是

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