早上好英语数学的基本思想

2020年11月28日发(作者：褚圣麟)
数学的基本思想
史宁中
1.什么是数学思想和数学文化
高等学校数学教学指导委员会主任李大潜院士让我谈 数学教学，今年11月在福州召开
的一个会议上，我就“谈谈数学的基本思想”为题做了一个报告。作为 一个数学工作者，特
别是作为一个数学教育工作者，了解数学思想是很重要。我今天讲的基础就是这个报 告。先
谈谈数学思想与数学文化的关系。
这些年数学文化很热。什么是文化，什么是数学文化 ？很难说清楚。梁漱溟
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在他的《中
西文化的比较》中谈到，
文化是那个时代人活的样子。文明是那个时代人们创造出来的东西。
我觉得他说的有道理。规 范地说，文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。
数学文化是数学的形态表现，它涉及到数学内 容，但本质上不是数学的内容。它更多关心的
是数学的表现形式、数学的历史发展、数学的思想。核心是 思想，没有思想就没有文化。
中国的基础教育，特别是数学的基础教育有个显著的特色，叫做双基。指 的是基础知识
和基本技能。但是光有基础知识和基本技能很难培养创新型人才。在负责义务教育课程标准
的修改的过程中，我们修改组认为光有双基还不够，得加进新的东西，就加了数学的基本思
想和 基本活动经验。
基本活动经验，所有的数学家都赞成，因为数学的结果是看出来的，不是证出来的。看
就是判断，判断需要经验的积累。我有一个学生，统计研究的特别好，数学基础也很好。但
是有 个毛病：面对一个数学结果，我要说对，她就能证出来；我要犹豫不决，她就证不出来。
当然，经过反复 训练，她已经积累了判断的经验，现在已经很好了。这个判断，直觉、直观
太难。直观不是“教”出来的 ，而是自己“悟”出来的，这就需要积累经验。
我们曾经就这两个新的说法征求姜伯驹先生的意见。姜 先生说，基本活动经验很好，数
学思想是什么呀？下面我就来展开说说数学的基本思想。
2.数学的基本思想
很多老师讲课的时候，内容讲的很清楚，但是不讲思想。结果是学生往往 抓不住问题的
本质，这对培养创造性思维非常不利。前一段时间大学校长在一起讨论创新人才的培养，我
提出，创新型人才很大程度上是在基础教育阶段培养的，因为创新更多的需要创新的意识，
需要 创新的思维。有了知识，没有思维能力和思维方法是不能创新的。因此我特别提倡大学
数学教学要讲数学 思想，特别是从事数学教育工作的，必须讲。今年，我给东北师大高年级
的免费师范生开了数学思想的课 。我告诉学生，一方面听我讲的内容；另一方面，你们要体
会我是怎样教书的。把数学内容很好的呈现给 听者，让他们理解很重要。

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梁漱溟，著名的思想家、哲学家、教育家、社会活动家、爱国民主人士，著名学者、国 学大师，主要研究人生问题和社会问题，现代新儒家
的早期代表人物之一。

通常所 说的数学思想主要是指：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换
元法、加强不等式等等。 在高等数学里面，加强不等式用的非常多。但是数学思想的本质不
是这些。那么数学思想的本质是什么呢 ？
数学有一点与人文科学是一样的，那就是在规矩下说话，所以必须学会先制定标准。一
件事 要判断好还是不好，要有一个好坏的标准。最重要的工作不是判断一件事情好还是不好，
而是制定标准。 在现代社会，大老板不是创造产品的人，而是创造质量标准的人。
我们需要给出什么是数学思想的标准 。我想，这个标准就是：数学的产生和发展所依赖
的思想，这是第一个标准；第二，我认为数学思想就是 ，学过数学的人和没有学过数学的人
在思维上的根本差异。这两个标准供你们参考。
在这个意 义下，我认为数学思想本质上有三个：第一个是抽象。学过数学的人抽象能力
很强。数学中的抽象指的是 把人们的日常生活和生产实践中那些和数学有关的东西析取出
来，作为数学研究的对象。第二个是推理。 数学自身的发展依靠的是推理。在一些假设下，
按照一定的逻辑规律进行推理，得到命题和定理。相比没 学过数学的人，学过数学的人推理
能力强。第三个是模型。模型是沟通数学与外部世界的桥梁。模型是在 讲故事，是用数学语
言表达的现实生活中的故事。
下面具体谈一下这三个思想。
2.1抽象
数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西，得到数学研究 的对
象，比如数，点，直线等等。这些抽象的东西是否存在？怎么存在呢？
这些问题最早是谁 提出来的呢？是柏拉图。柏拉图说，经验是不可靠的。在希腊看到的
三角形内角和是180°，在埃及看 到的三角形内角和还是180°吗？经验因人而异，柏拉图
认为经验不可靠。他认为可靠的是不变的东西 。他称这些不变的东西为理念。他说，只有理
念才是真实的存在。因此数学的那些结果，那些定理在现实 中是存在的，人们只是发现了它
们而已。现在的很多数学家也是这么认为的。亚里士多德有句名言：吾爱 吾师，吾更爱真理。
柏拉图是他的老师，亚里士多德不同意柏拉图的思想。他认为：数学研究的那些东西 是抽象
的结果，抽象的东西是不存在的，存在的都是具体的东西。数学的那些结果都是人们发明出
来的，不是发现。争论不休，一直到现在。
为了更好地研究数学思想，我最近用了两年多时间研究哲 学。数学的基本思想大多数是
来自欧洲人的，有一天，我在研究数学证明的道理时，突然产生一个疑问： 中国人是怎么想
问题的，中国人论证问题的道理是什么呢？所以我用了一年多时间，研究《老子》，《论 语》，
《周易》。后来我写了一篇很长的文章，叫《中国古代的命题、定义和推理》，分上下两期发表在去年的《哲学研究》上。我高兴的是，这篇文章发表之后，德国的斯普林格出版社对此
感兴趣， 把这篇文章翻译成英文了。其实他们也想了解中国人是怎么想问题的。
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“形而上者谓之道， 形而下者谓之器。”这句话两三千年了，一直有学者在研究它，为
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此我也写了文章。我发现中 国有一个非常好的哲学思想，跟西方不一样。西方的哲学思想
非常极端。排中律就是非常极端的。中国的 思想从古就有“中”的思想。
“形”是什么？形是抽象的存在。看到足球，看到乒乓球，我们感受到圆 。但是离开了
足球，离开了乒乓球，脑子里还有圆在，为什么呢？因为我们能在纸上画出来，纸上画出来
的圆不是足球和乒乓球的模仿，依据的是脑子里面的圆。脑子里面存在的圆，我认为是抽象
的存 在。数学的思维依赖的不是具体的存在，而是抽象的存在。关于这句话，谁说的最漂亮？

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出自《易传·系辞》，相传是孔子研究《周易》的书。
“形而上者谓之道，形而下者谓之器”评析，史宁中。古代文明，2010,3
郑板桥。郑板桥说：我 胸中之竹不是我眼见之竹。这不就是抽象的存在么？胸中是抽象存在
的竹子，所以郑板桥画出来的竹子比 现实中的竹子还有风骨。
因此“形而上者谓之道，形而下者谓之器”所表达的意思是，道太遥远不可及 ，器太具
体不可信，因此构建了“中”，这就是中国人的思想。
中国人在谈论一件事情的时候 ，往往希望用例子说话，那个例子不是具体的存在，而是
抽象的。比如雷锋，我们说到他已经不是指雷锋 本人，而是指具有这种思想和理念的那一类
人的抽象，是一种抽象的存在。后来有人用这种思想研究西方 宗教，提出一个疑问：为什么
犹太教推行不了？基督教来源于犹太教，而基督教能够推行呢？犹太教太遥 远，不可及，基
督教有一个抽象了的神存在，看得见摸得着，这就好信了。因此基督教可以盛行。

我们通过抽象得到什么？得到数学的研究对象。光有对象不够，更重要的是对象之间的
关系。亚里士多德是一位千古智者，他的思想非常深刻，人们往往几千年不理解，到后来才
明白。比如 这句话：
数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。
．．
这句话的意思是：数学中定 义的那些东西本身并不重要，重要的是这些东西之间的关系。
一直到上个世纪，伟大的数学家希尔伯特才 明白这句话的意思。
我想，抽象大概要分两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达。直观描述的 毛病
是必然引起悖论，因为凡是具体的东西，都能举出反例。为了避免这些，就必须进一步抽象，
抽象到举不出反例来，这只有通过符号表达。但是符号表达也有问题，就是缺少物理背景，
缺少直观。
对于数学，抽象的内容在本质上只有两种：一个是数量与数量关系的抽象；一个是图形
与图形关 系的抽象。所以数学在本质上研究这两种关系。

2.1.1 数量与数量关系的抽象
抽象的第一个层次：直观描述。
抽象的第一步是从数量中抽象出数。数在现实生活中是不存在 的，现实生活中存在的只
有数量，2匹马、2头牛，没有2，2是抽象出来的数。数量关系的本质是什么 呢？是多和少。
用什么来判断一件事情的本质呢，就是看动物是否明白。动物都明白的事情就是本质。动 物
知道多和少：来一只狼，一只狗还敢对付，要是来一群狼，这只狗肯定掉头就跑。在《数：
科 学的语言》
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这本书中有这么一个故事：
欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面 住着一只乌鸦。主人打算杀死这只乌鸦，可
是几次都没有成功。他一走进这个望楼，乌鸦就飞走，他一离 开，乌鸦又飞出来。后来他想
了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，出来一个人，乌鸦不上当；这个 人不死心，三个
人走进望楼，出来两个，乌鸦还是不上当；直到五个人走进去，出来四个人，乌鸦分辨不 清
了，就飞了回来。
后来，我就让我们学校心理系的老师到幼儿园里去求证，发现孩子在不数 数的情况下，
能辨别到多少呢，也就是4或者5，比乌鸦强不了多少。
这个关系抽象到数学内部就是大和小，因此数的大和小是关系的本质，就是序的关系。

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丹齐克（Dantzing)著。数：科学的语言。苏仲湘译。上海：上海教育出版社，2001
后来 ，数学家把序关系非常一般化，数学家康托为了证明有理数与自然数一样多，曾经给有
理数排了一个序， 那个序已经没有大小关系了。
大小关系的基础是大一个，这就产生了加法。因此，所有与数有关的数学 的基础是自然
数和加法，其他的东西都是派生出来的。
有了自然数和加法，就有了有理数。在 教学中，特别是在中学教学中，老师往往把有理
数混同于实数，就是把1/4等同于0.25。事实上不 是这样，分数形式的有理数，特别是真
分数形式的有理数2000多年前就有，小数形式的有理数的表达 至今不过300多年的历史。
分数形式是有理数的本质。
分数到底是什么呢？分数没有量纲， 把月饼分成几块，和把其他的东西分成几块，然后
取相同的份数，没有区别。比例没有量纲，可以得到事 物可比性。照理说，中国的经济和美
国的经济是不可比的，但是变成百分比，算经济增长率的时候，就是 可比的。分数还有一个
重要的意义，是线段之间的比。部分与整体、线段之间比，这两个是分数的本质。
从加法过渡到四则运算，为了保证运算的结果还在这个集合里，数域就得到扩张，就从
自然数， 到了整数，到了有理数，到了实数。
我现在问你们一个问题，4÷1/3等于多少？等于4×3=12。
那我再问你们，为什么4 ÷1/3=4×3呢？也就是说除以一个分数等于乘一个分数的倒数
呢？这个挺难。清华原来数学科学学 院的院长文志英教授在博士生面试时就出过这道题，听
说没一个学生答对。
我们都知道除法是乘法的逆运算，这是什么意思？
？=4÷1/3
逆运算就是什么数乘以1/3等于4
？×1/3=4，
等式两边同时乘以3，就成了
？=4×3=12
因此4÷1/3=4×3。对一个 概念或者命题是否理解，就是举例。能举出适当的例子就是理解，
否则就是没有理解。

抽象的第二个层次：符号表达。
数的抽象必须过渡到第二步抽象。怎么提出来的呢？是因为牛 顿。牛顿发明了导数，导
数就涉及到极限的概念。牛顿是用无穷小来解释的，很难自圆其说。特别是什么 样的函数可
导，说起来就更复杂。于是，人们重新定义函数。
函数的定义是牛顿以后才开始清 晰定义的。函数最初的定义是莱布尼兹给的，function
是莱布尼兹发明的。莱布尼兹大家都知道 ，他和牛顿是同时代的人，莱布尼兹是数学家，但
更重要的是哲学家。后来欧拉给出了现在初中教学中使 用的函数的“变量说”，意思说，如
果一个量跟着一些量变化，我们就把前者称为后者的函数。“变量说 ”非常好，又具体，又
有物理背景。但是凡是具体的，都能找到毛病，比如
f
1
(x) = shi
2
x + cos
2
x 和 f
2
(x) = 1
表达是一个函数，还是两个函数？
用“变量说”来看，我们不知道。后来黎曼给出了现在高中数学中的“对应说”，有两
个数集，对于一个 集合中的每一个元素，都有另一个集合中的唯一元素与之对应，则称这种
对应是函数。这个定义有个好处 ，有定义域和值域。如果定义域相同，对应的结果又相同，
那么这两个函数等价。因此这两个函数等价。
但是黎曼的定义太抽象了，没有物理背景。如果没有莱布尼兹和欧拉的定义，你几乎理
解不了黎 曼在说什么。而且麻烦的是，更加抽象的定义必然涉及更多的概念。为了说清函数
的定义，必须先说清楚 对应的概念；要说清对应的概念，就必须建立集合的概念。集合是个
非常麻烦的概念，但是，现代数学都 建立在集合之上。教科书中写到，集合是要研究问题的
对象的全体。研究对象的全体到底是什么呢？可以 提一大堆悖论，比如罗素提出的悖论。凡
是具体的都可以提出悖论。怎么办呢？人们就开始高度抽象。
从柯西开始，就开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，推理
逻辑的公 理化。这三个特点影响太大。我们学院有个数学老师，代数研究的很好。我问他，
你研究的是什么？他居 然说不出来了。一下被我问住了，不通过那些符号，就不能说清楚在
研究什么东西。我说，你是不是在研 究方程组的解。他想了半天说，对。形式化让人忘记了
事情的根本了。我们下面再谈如何定义集合。 < br>对于极限，n趋于无穷时，1/n趋于0，我能理解；直接说x趋于0，我不明白。x怎么
能连续 不断地趋于0呢，这件事情能办到吗？大家知道原子，原子里面是空的，里面有电子
和原子核，物理学的 测不准原理就是说，电子的轨迹是不可测的。既然电子的轨迹是不可测
的，怎么能够连续不断呢？所以连 续不断是数学的想象，是数学的定义。数学家不这么研究
问题，就进行不下去了。没有连续的条件，现在 的数学几乎寸步难行。
什么叫连续？定义挺难懂。当所有数列x
n
趋于x
0
时，都有f(x
n
) 趋于f(x
0
)，我们就说
函数在x
0
点连续。事实上连续这件事应该反过来说，在函数值附近无论多小的区域， 在自
变量附近都能找到对应的邻域话，那么这个函数连续，这个定义是用ε-δ表达的，完全是
形式化的。事实上，这两个表达是等价的，用反证法可以证明，其中要用到选择性公理。
实数能够连续 不断的变化，虽然是不可思议的，但是数学必须要它连续不断变化，怎么
办呢？就得好好定义实数，就得 定义无理数；为了定义无理数，就好好定义有理数。结果是
在极限这些理论都出现以后，人们才开始回过 头来认真定义有理数，认真定义整数。这样，
有理数就从分数形式过渡到小数形式，现在大中学教材中有 理数都是这么定义的：有限小数
和无限循环小数。为了证明这个定义和分数形式等价，就必须用到极限。 这样的话，无理数
就是无限不循环小数，实数就是这两种数的集合。
无理数无限不循环很难判 断，这样的定义不利于建立计算法则。
2
是无理数，
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也
是无理数， 它们的乘积等于
6
吗？怎么证呢？这个就得重新定义实数了。
1872年，康托给出 基本序列，就是那些满足柯西收敛准则的有理数列。一个数列a
n
，
如果对于任意的m ，a
n+m

- a
n
都趋于0的话，数列就必然收敛，这就是柯西 准则。用基本数
列定义的实数，可以证明
2
·
3
=
6
。
实数是连续的，也在1872年也得到了证明，这就是戴德金分割。什么叫实 数的连续性
呢？就是把实数和数轴对应起来的话，任意砍一刀，砍出来的都是数，不会砍空，这就叫连< br>续。如果连续性成立的话，x这个数连续不断的趋于0就是成立的。
到了1889年，人们发现 ，必须重新定义什么叫自然数，定义什么叫加法，这就是皮亚
诺公理。一共是九个公理，定义了自然数和 加法。

形式化定义的优点与问题。
刚才说到，集合是个麻烦的概念。促使我认真 研究集合论的是高中教材。高中教材讨论
集合，说集合有两个特性：无序性和无重复性。我在教材审定的 时候，看到这个，一下就楞
了。为什么呢？学习高等数学我们知道，所有序的关系都是定义在集合上的， 集合怎么不能