民间传说有哪些：初中常用数学公式

2020年11月28日发(作者：季宾)

中考数学常用公式及性质

1． 乘法与因式分解
①(a＋b )(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)
＝a3＋b3；

④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋ b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋
b)2－4ab。

2． 幂的运算性质
①am×an＝am+n；②am÷an＝am-n；③(am)n＝amn；④(ab)n＝anbn ；⑤(

)n＝

；

⑥a-n＝

，特别：(

)-n＝(

)n；⑦a0＝1(a≠0)。

3． 二次根式
①(

)2＝a(a≥0)；②

＝丨a丨；③



＝

×
；④

＝

(a＞0，b≥0)。

4． 三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；

加强条件：||a|- |b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量
的三角不等式（其中a，b分 别为向量a和向量b）

|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ；

|a-b|≥|a|-|b|； -|a|≤a≤|a|；

5． 某些数列前n项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2；1+3+5+ 7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 ；

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6；

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24；
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3；

6． 一元二次方程
对于方程：ax2＋bx＋c＝0：




①求根公式是x＝

，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。

②若方程有两 个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－
x1)(x－x2)。

③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。

7． 一次函数
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点 的纵坐
标，称为截距)。

①当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；

②当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)；

③特别地：当b＝0 时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，
图象必过原点。

8． 反比例函数
反比例函数y＝

(k≠0)的图象叫做双曲线。



①当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；

②当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。

9． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果
是常数，

，那么

叫做

的二次函数。

（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①

的符号决定抛物线的开口方向：当

时，开口向上；当

时，开口向下；


相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于

轴（或重合）的直线记作

.特别地，

轴记作直线
。





（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴

（

轴）

（

当

时

开口向上
当

时

开口向下
,

)
(




①公式法：

，∴顶点是

，对称轴是直线


)



,0)
(


轴）
(0,

)
(


（0,0）
顶点坐标
（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法



。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

的形式，得到顶点为(
,

)，对称轴是直线

。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点

（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：


（5）.抛物线

中，

的作用

①
决定开口方向及开口大小，这与

中的
完全一样。






②

和

共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线。

，故：①
时，对称轴为
轴；②
（即
、
同号）时，对称轴在
轴左侧；③
（即
、
异号）时，对称轴在
轴右侧。

③
的大小决定抛物线
与

















轴交点的位置。

当
时，

，∴抛物线
与

轴有且只有一个交点（0，

）：

①

，抛物线经过原点; ②

,与
轴交于正半轴；③

,与

轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在

轴右侧，则

。

（6）.用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：

.已知图像上三点或三对






、

的值，通常选择一般式.

②顶点式：

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：已知图像与

轴的交点坐标
、

，通常选用交点式：

。

（7）.直线与抛物线的交点

①
轴与抛物线

得交点为(0,
)。

②抛物线与

轴的交点。

二次函数

的图像与
轴的两个交点的横坐标







、
，是对应一元二次方程


的两个实数根.抛物线与

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

a有两个交点

(
)

抛物线与

轴相交；

b有一个交点（顶点在

轴上）

(
)

抛物线与
轴相切；

c没有交点

(

)

抛物线与






轴相离。

③平行于

轴的直线与抛物线的交点
< br>同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的
纵坐标相等，设纵坐 标为

，则横坐标是

的两个实数根。

④一次函数

的图像
与二次函数

的图像
的交点，由方程组

的解的数目来确定：


a方程组有两组不同的解时


与

有两个交点；

b方程组只有一组解时






与

只有一个交点；

c方程组无解时


与
没有交点。

⑤抛物线与

轴两交点之间的距离：若抛物线

与

轴两交点为

，则


10． 统计初步
（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做 个
体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本
容量．②在 一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众
数．③将一组数据按大小顺序排列 ，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫
做这组数据的中位数．

（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么：

①平均数为：





；

②极差：用一组数据的最大值减去 最小值所得的差来反映这组数据的变化范
围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值- 最小值；

③方差：数据

、

……,

的方差为

，

则

=

④标准差：方差的算术平方根。

数据

、

……,

的标准差

，

则

=





一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

11． 频率与概率
（1）频率

频率=

，各小组的频数之和等于总数，各小组的 频率之和等于1，频率分布直方图中各个
小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义， 运用列举法（包括列表、画树状图）计算
简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

12． 锐角三角形
①设∠A是△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝

，∠A的余弦：cosA＝

，∠A的正切：tanA＝

．并且sin2A＋cos2A＝1。



0＜sinA＜1， 0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，
余弦值反而越小。

②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA。

③特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝

，sin45o＝cos45o＝

，sin60o＝cos30o＝

，

tan30o＝

，tan45o＝1，tan60o＝

。

④斜坡的坡度：i＝

＝

．设坡角为α，则i＝tanα＝

。




13． 正（余）弦定理
（1）正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R；注：其中 R 表示三角形的外
接圆半径。

正弦定理的变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA :
sinB : sinC = a : b : c

（2）余弦定理 b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2= a2+b2-
2abcosC；

注：∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

14． 三角函数公式
（1） 两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)

（2） 倍角公式

tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

（3） 半角公式

sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)



cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)

tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))

ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

（4） 和差化积

sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-
B)2)

tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

（5） 积化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

15． 平面直角坐标系中的有关知识
（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的 点为P1
（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－
a，－b）。

（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐 标变
为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单
位 ，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点
A（2，－1） 向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）。



16． 多边形内角和公式
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180o（n ≥3，n是正整数），
外角和等于360o

17． 平行线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
比例。

如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、
E、F，

则有

。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所得
的对应线段成比例。如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、 AC相交与点D、E，则
有：


18．
C
A
D
直角三角形中的射影定理
直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，

则有：（1）

（2）
B




（3）


19． 圆的有关性质
（1）垂径定理：如果一条直 线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过
圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧，那么这
条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径。

（2）两条平行弦所夹的弧相等。

（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。

（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。

（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

（8）90o的圆周角所对 的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90o，直径
是最长的弦。、

（9）圆内接四边形的对角互补。

20． 三角形的内心与外心
（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角
平分线的交点。

（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂
线的交点．



常见结论：①Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切
圆的半径

；

②△ABC的周长为
，面积为S，其内切圆的半径为r，则


21． 弦切角定理及其推论
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦
切角。如图：∠P AC为弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。



如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则


推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）

如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则




22． 相交弦定理、割线定理和切割线定理
（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图①，即：PA·PB = PC·PD

（2）割线定理：从圆外一点引圆的两 条割线，这点到每条割线与圆交点的两
条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的 两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB

C
O
A< br>C
O
A
B
D
B
P

P

O
P
B
D
C
A


① ② ③

23． 面积公式


①S正△＝

×(边长)2．

②S平行四边形＝底×高．



③S菱形＝底×高＝
×(对角线的积)，

④


⑤S圆＝πR2．

⑥l圆周长＝2πR．

⑦弧长L＝
．

⑧


⑨S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，

S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2

⑩S圆锥侧＝

×底面周长×母线＝πrb，

S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr