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明祖陵什么是数论

作者:高考题库网
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2020-11-28 19:45
tags:数学, 自然科学, 专业资料

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2020年11月28日发(作者:卞寅清)
什么是数论

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要, 数的概念进一步
扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的 中
性数叫做0。它们和起来叫做整数。

对于整数可以施行加、减、乘、除 四种运算,叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这
三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就 是说,任意两个或两个以上的整数相加、
相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数 之间的除法在整数范围内并
不一定能够无阻碍地进行。

人们在对整数进行 运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性。比如,整数可分为两
大类—奇数和偶数(通常被称为单数 、双数)等。利用整数的一些基本性质,可以进一步探
索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅 力,吸引了古往今来许多的数学家不断地
研究和探索。

数论这门学科最初 是从研究整数开始的,所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展,
就叫做数论了。确切的说,数论就是 一门研究整数性质的学科。

数论的发展简况

自古以来,数学 家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成
果还只是孤立地记载在各个时期的 算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科。

自我国古代,许多著名的数学 著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股
数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外 ,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基
本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、 约数、倍数等一系列概念也已
经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过 重大的贡献,使
数论的基本理论逐步得到完善。

在整数性质的研究中,人 们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性
质就必须研究质数的性质。因此关于质数 性质的有关问题,一直受到数学家的关注。

到了十八世纪末,历代数学家积累的关 于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们
整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德 国数学家高斯集中前人的大成,写
了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国 科学院拒绝了高斯的这部
杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新 纪元。

在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时 现存的定理
系统化并进行了推广,把要研究的问题和意志的方法进行了分类,还引进了新的方法。

数论的基本内容

数论形成了一门独立的学科后,随着数学其他 分支的发展,研究数论的方法也在不断发
展。如果按照研究方法来说,可以分成初等数论、解析数论、代 数数论和几何数论四个部分。

初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助,只 依靠初等的方法来研究整数性质的
分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”,就是初等数论中很重要 的内容。

解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以 函数作为研究
对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠
基的,俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的
强有 力的工具。比如,对于“质数有无限多个”这个命题,欧拉给出了解析方法的证明,其中
利用了数学分析 中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代,苏联数学家维诺格拉多夫
创造性的提出了“三角和方法 ”,这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学
家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中 也使用的是解析数论的方法。

代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支 。数学家把整数概念推广到一般代
数数域上去,相应地也建立了素整数、可除性等概念。

几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基
本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢?在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫
做整点;全 部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。
由于几何数论涉及的问题 比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究。

数论是一门高度抽象的数学学 科,长期以来,它的发展处于纯理论的研究状态,它对数
学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数 人来讲并不清楚它的实际意义。

由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到 了广泛的应用。比如在计算方法、代
数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果 ;又文献报道,现在有
些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此 外,数论的
许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在< br>由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

数论在数学中的地位是独特的,高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇
冠”。因此,数学 家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓
励人们去“摘取”。下面简要 列出几颗“明珠”:费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、
圆内整点问题、完全数问题……

在我国近代,数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始,在解析 数
论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献,出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一
流 的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949
年以后,数 论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究,

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