豫q数学建模思想

2020年11月28日发(作者：苗永淼)
初中数学建模思想的策略研究
一． 什么是数学建模 ？
1.1 数学建模（ Mathematical Modeling ）是建立数学模型并用它解决问题这一过程的
简称，有代表的定义如下：
（ 1 ）、普通高中数学课程标准 [4] 中认为，数学建模是运用数学思想、方法和知识解
决实际问题的过 程，已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容 .
（ 2 ）、叶其孝在《数学建模教学活动与大学数学教育改革》一书中认为 ，数学建
模 (Mathematical Modeling) 就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就< br>是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些 “ 规律 ” 建立起变量、参
数间的确定的数学问题 ( 也可称为一个数学模型 ) ，求解该数学问题，解释、验 证所得到
的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。
两种定义的 区别在于课程标准对数学建模的定义没有强调建立特定的解决问题的数学
模型。数学建模的过程中当然会 运用数学思想、方法和知识解决实际问题，但仅仅如此很难
称得上是“数学建模”。处理很多事情，比如 法律和组织上的问题，常常会用到分类讨论的思
想、转化的思想、类比的思想，而并没有建立数学模型， 这就不能说是进行了数学建模。这
里所谈（实际上，同大部分人认为的一样）的数学建模，其过程是要建 立具体的数学模型的。
什么是数学模型？根据 徐利治 先生在《数学方法论选讲》一书中所谈到， 所谓“数学
模型”（ Mathematic Model ）是一个含义很广的概念，粗略的讲，数学 模型是指参照某
种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一 个
数学结构。广义的说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的
算 法系统都可以称为数学模型；狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统
的数学关系结构 才叫数学模型。
本论文所谈到的数学建模，其过程一定是建立了一定的数学结构。
另外 ，我们所谈的数学建模主要侧重于解决非数学领域内的问题。这类问题往往来自于
日常生活、经济、工程 、医学等其他领域，呈现“原胚”状态，需要分析、假设、抽象等加工，
才能找出其隐含的数学关系结构 。
一般地，数学建模的过程可用下面的框图表示：

1.2 什么是中学数学建模 ？
这里的“中学数学建模”有两重含义，
一是按数学意义上的理 解、在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识
所进行的建模活动，同其它数学建模一样 ，它仍以现实世界的具体问题为解决对象，但要求
运用的数学知识在中学生认知水平内，专业知识不能要 求太高，并且要有一定的趣味性和教
学价值 。
二是按课程意义理解，它是本文要展开讨论 的，一种要在中学中实施的特殊的课程形态。
它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。 学生要通过经历建模特有的过程，
真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验， 提升对数学及其价值
的认识。其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指 导，影
响学生的学习过程，改变传统的学习方式，实现激发学生自主思考，促进学生合作交流，提
高学生学习兴趣，发展学生创新精神，培养学生应用意识和应用数学的能力，最终使学生提
升适应现代 社会要求的可持续发展的素养。
二．《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》有关数学建模的内容
教育部新启动的《义务 教育阶段数学课程标准》的修订中，东北师大史宁中校长提议，
将原来的“双基”增加到“四基”，增加 了“基本数学活动经验和基本数学思想”。基本活动经验
是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经 验。 另外，《全日制义务教育数学课程标
准（修改稿）》在“数与代数”的内容中提出了“要初步形成 模型思想”，对“综合与实践” 部
分内容加以明确并提供了具体课例。上述变化正是课标对培养学生数 学应用能力的应措。相
比数学建模，综合与实践部分是学习数学建模的最初阶段，因此内容包含的更加基 本、广泛，
下面我们将分别介绍全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出的“模型思想”，“综合与
实践” 的内容，以及内容在实验稿基础上的变化，最后在通过实例来说明综合与实践部分的
学习内容。
（ 1 ）模型思想
2007 年 12 初全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出 在“数与代数”的教学中，
应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思 想。 模型思
想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包
括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示
数学 问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于
学生初步形成模型 思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
（ 2 ） “综合与实践”部分 与实验稿相比有如下变化：
目的和内涵进一步明确，统一了名称 ，给出了明确的定义：“综合与实 践”，是一类以
问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意 识
与创新意识的重要途径。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他
人 合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之
间、数学与生活 实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。
明确要求 “综合与实践”应当保证每学期至少一次。 三个学段“综合与实践”的要求和教
学目标有了差异。
（3）“综合与实践”的常用教学形式和案例
按照教学内容不同，“综合与实践”可以分为 三种内容形式：体现数学知识内部联系；体
现数学与生活联系；体现数学与其它学科联系。
若按照活动开展的地点不同，可以分为课堂内、课堂内外结合、课堂外三种形式。为了
配合课程标准的编 制和修改，我和北大附中、北达资源中学的老师们做了不少课例研究，以
下就是我们试验过的，对应这三 种形式的教学案例。
三．新高中数学课程标准中与数学建模相关的部分
新高中数学课程标 准在研制过程中，对是否增加数学建模的要求是有争议的。一些专家
认为，中学数学是打基础的阶段，核 心是学好将来需要的基础知识，应用不必强调，强调了
也没有用——在大跃进时期我们曾强调过“理论联 系实际”，文革中我们的教学内容里加入了
类似“三机一泵”，地主如何算“变天帐”一类的内容，弱化 了基础理论的学习，效果是不好的。
但一批数学家深刻注意到了数学的发展和变化，姜伯驹、李大潜、丁 石孙、叶其孝等先生都
分别撰文阐明在中学培养学生数学应用能力的重要性。我们多年开展中学数学建模 竞赛和中
学数学建模教学的实践也证明了，数学建模对培养中学生应用能力的良好作用。种种努力，使数学建模最终成为 新高中数学标准中规定的高中数学内容的一部分。
新高中数学标准在基本理念的第 5 条即是发展学生的数学应用意识 ，认为高中数学
课程应 提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立
体现数学某些重要 应用的专题课程。高中数学课程应力求
使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生
活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用
意识，提高实践能力。由此在数学内容中特别加 入了：数
学探究、数学建模 。这些内容不单独设置，渗透在每个模
块或专题中。标准要求高中 阶段至少各应安排一次较为完
整的数学探究、数学建模活动。
(1) 数学探究
与前面所说的探究性学习、课题学习稍有区别，标准
中所提出的数学探究侧重于围绕一个数学问题展开 ，被看
做是一种新的学习方式。数学探究即数学探究性课题学习，
是指学生围绕某个数学问题， 自主探究、学习的过程。这
个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，
猜测、探 求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。数学探究是高中数学课程中引入的一
种新的学习方式，有助 于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的
关系，初步尝试数学研究的过程，体 验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学
精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯 ，培养学生发现、提出、解决数学问题的
能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。
(2) 数学建模
这里标准中谈到的数学建模，内容即是一般意义上的数学建模。数学建模 是运用数学思
想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学
建模可以通过以下框图体现：
数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学 习的空间，有助于学生体
验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系 ，体验综合
运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发< br>展学生的创新意识和实践能力。
课程标准提出的教学要求是：
1 ．在数学建模 中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常
生活、现实世界、其他学科等多方面 。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中
数学课程内容有联系。
2 ．通过数 学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体
验数学与日常生活及其他学科的 联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。
3 ．每一个学生可以根据自己的生活 经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥
自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法 ，从而获得综合运用知识和方法解
决实际问题的经验，发展创新意识。
4 ．学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。
5 ．学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得
良好的情感体验。
6 ．高中阶段至少应为学生安排 1 次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起
来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。
标准未对数学建模的课时和内容做具体安排。学校和教师可根据各自的实际情况，统筹
安排数学 建模活动的内容和时间。例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建
模活动。
与传统应用题相比，数学建模所解决的问题往往呈现一种“混沌”状态，没有明显的数据
和关系可用，所 给的条件也不一定有用，得出的结论往往不唯一，建立的数学模型也要在实