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清漪园数学题50道

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-28 20:44
tags:精品文档, 数学题, 公务员考试

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2020年11月28日发(作者:盛祖嘉)
行程专题50道详解
行程专题50道详解
1、甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,
相遇后二人继续前进,走到对方出发 点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间
的距离.
解:第二次相遇 两人总共走了3个全程,所以甲一个全程里走了4千米,三个全程里应该走4*3=12千米,
通过画图,我们发现甲走了一个全程多了回来那一段,就是距B地的3千米,所以全程是12-3=9千米,
所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米。
2、甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走6 0米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走75米,甲乙从东镇去西镇,
丙从西镇去东镇,三人同时出发 ,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
解:那2分钟是甲和丙相遇 ,所以距离是(60+75)×2=270米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差
所以乙丙相遇时间=270÷(67.5-60)=36分钟,所以路程=36×(60+75)=4860米。
3、A,B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A,B两地之间,都是到达一地之后立即返回, 乙车
较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止 ,乙
车共走了多少千米?
解:根据总结:第一次相遇,甲乙总共走了2个全程,第二次相遇, 甲乙总共走了4个全程,乙比甲快,
相遇又在P点,所以可以根据总结和画图推出:从第一次相遇到第二 次相遇,乙从第一个P点到第二个P
点,路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份,第一次相 遇甲走了2份乙走了4份。第二次相
遇,乙正好走了1份到B地,又返回走了1份。这样根据总结:2个 全程里乙走了(540÷3)×4=180×4=
720千米,乙总共走了720×3=2160千米。
4、小明每天早晨6:50从家出发,7:20到校,老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早 晨还
是6:50从家出发,那么,每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问:小明家 到学校
多远?(第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题)
解:原来花时间是30分钟,后来 提前6分钟,就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米,
所以总共多走了24×25= 600米,而这和30分钟时间里,后6分钟走的路程是一样的,所以原来每分钟走
600÷6=100 米。总路程就是=100×30=3000米。
5、小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之 间往返行走(到达另一村后就马上返回),他们在离
甲村3.5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第 二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相
遇指迎面相遇)?
解:画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍,因此张走了
3.5×3=10.5(千米).
从图上可看出,第二次相遇处离乙村2千米.因此,甲、乙两村距离是
10.5-2=8.5(千米).
每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程. 第四次相遇时,两人已共同走了两村距
离(3+2+2)倍的行程.其中张走了
3.5×7=24.5(千米),
24.5=8.5+8.5+7.5(千米).
就知道第四次相遇处,离乙村
8.5-7.5=1(千米).
答:第四次相遇地点离乙村1千米.
6、 小王的步行速度是4.8千米/小时,小张的步行速度是5 .4千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李
骑自行车的速度是10.8千米/小时,从乙地到甲地 去.他们3人同时出发,在小张与小李相遇后5分钟,小
王又与小李相遇.问:小李骑车从乙地到甲地需 要多少时间?
解:画一张示意图:

图中A点是小张与小李相遇的地点, 图中再设置一个B点,它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5
分钟后小王与小李相遇,也就是5分钟 的时间,小王和小李共同走了B与A之间这段距离,它等于

这段距离也是出发后小张比 小王多走的距离,小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.小张比小
王多走这段距离,需 要的时间是
1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分钟).
这也是从出发 到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2
倍.因 此小李从A到甲地需要
130÷2=65(分钟).
从乙地到甲地需要的时间是
130+65=195(分钟)=3小时15分.
答:小李从乙地到甲地需要3小时15分.
7、快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行.经 过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5
小时,慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1 小时后返回.问:两车从第一次相遇到再相遇共需多少
时间?
解:画一张示意图:

设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时,从C到A用了12.5-5=7.5 (小时).我们把慢车
半小时行程作为1个单位.B到C10个单位,C到A15个单位.慢车每小时走 2个单位,快车每小时走3个
单位.
有了上面“取单位”准备后,下面很易计算了.
慢车从C到A,再加停留半小时,共8小时.此时快车在何处呢?去掉它在B停留1小时.快车行驶7
小时,共行驶3×7=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(单位).
现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位,相遇所需时间是14÷(2+3)=2.8(小时).
慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8(小时).
答:从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
8、一辆车从甲地开往乙地.如果车速提 高20%,可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千
米后,再将速度提高25%,则可 提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?
解:设原速度是1.
%后,所用时间缩短到原时间的 这是具体地反映:距离固定,时间与速度成反比.
用原速行驶需要
同样道理,车速提高25%,所用时间缩短到原来的
如果一开始就加速25%,可少时间

现在只少了40分钟, 72-40=32(分钟).说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟,它应是这
段路程所用时间 真巧,320-160=160(分钟),原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
答:甲、乙两地相距270千米.
9、一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,可以提前1小 时到达。如果按原速行驶一段距离后,
再将速度提高30%,也可以提前1小时到达,那么按原速行驶了 全部路程的几分之几?
解:设原速度是1. 后来速度为1+20%=1.2
速度比值:
这是具体地反映:距离固定,时间与速度成反比.
时间比值 :6:5
这样可以把原来时间看成6份,后来就是5份,这样就节省1份,节省1个小时。
原来时间就是=1×6=6小时。

同样道理,车速提高30%,速度比值:1:(1+30%)=1:1.3
时间比值:1.3:1
这样也节省了0.3份,节省1小时,可以推出行驶一段时间后那段路程的原时 间为1.3÷0.3=13/3
所以前后的时间比值为(6-13/3):13/3=5:13。所以 总共行驶了全程的5/(5+13)=5/18
10、甲、乙两车分别从A,B两地出发,相向而行,出发时,甲、乙的速度比是 5:4,相遇后,甲 的速度
减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B时,乙离A地还有10千米。那么A,B两 地相距多少
千米?
解:相遇后速度比值为[5×(1-20%)]:[4×(1+20%)] =5:6,假设全程为9份,甲走了5份,乙走了4
份,之后速度发生变化,这样甲到达B地,甲又走了 4份,根据速度变化后的比值,乙应该走了4×6÷5=2
4/5份,这样距A地还有5-24/5份, 所以全程为10÷(1/5)×9=450千米。
11、A、B两地相距10000米,甲骑自行车, 乙步行,同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍,途中甲
的自行车发生故障,修车耽误了一段时间,这 样乙到达占地时,甲离B地还有200米。甲修车的时间内,
乙走了多少米?
解: 由甲共走 了10000—200=9800(米),可推出在甲走的同时乙共走了9800÷4=2450(米),从而又 可推
出在甲修车的时间内乙走了10000—2450=7550(米)。列算式为10000一(10 000—200)÷4=7550(米)
答:甲修车的时间内乙走了7550米。
12、爷爷坐汽车,小李骑自行车,沿一条公路同时从A地去B地。汽车每小时行40千米,是自行车速度
的2.5倍。结果爷爷比小李提前3小时到达B地。A、B两地间的路程是多少千米?
解法一 :根据“汽车的速度是自行车的2.5倍”可知,同时从A地到B地,骑自行车所花时间是汽车的2.5
倍,也就是要比坐汽车多花1.5倍的时间,其对应的具体量是3小时,可知坐车要3÷(2.5一1)=2(小 时),
A、B两地问的路程为40×2=80(千米)。即40×〔3÷(2.5-1)〕80(千米)
解法二:汽车到B地时,自行车离B地(40÷2.5×3)=48(千米),这48千米就是 自行车比汽车一共少走
的路程,除以自行车每小时比汽车少走的路程,就可以得出汽车走完全程所用的时 间,也就可以求出两地
距离为40×〔(40÷2.5×3)÷(40-40÷2.5)〕=80(千米 )
13、如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发,绕圆周相向而行。它们第一次 相遇在
离A点8厘米处的B点,第二次相遇在离c点处6厘米的D点,问,这个圆周的长是多少?
解: 如上图所示,第一次相遇,两只小虫共爬
行了半个圆周,其中从A点出发的小虫爬了8厘米,第二次相遇,两
只小虫从出发共爬行了1 个半圆周,其中从A点出发的应爬行8×3=24(厘米),比半个圆周多6厘米,半个
圆周长为8×3 —6=18(厘米),一个圆周长就是:
(8×3—6)×2=36(厘米)
答:这个圆周的长是36厘米。
14、两辆汽车都从北京出发到某地,货车每小时行 60千米,15小时可到达。客车每小时行50千米,如
果客车想与货车同时到达某地,它要比货车提前 开出几小时?
解法一:由于货车和客车的速度不同,而要走的路程相同,所以货车和客车走完全程 所需的时间不同,客
车比货车多消耗的时间就是它比货车提早开出的时间。列算式为
60×15÷50—15=3(小时)
解法二:①同时出发,货车到达某地时客车距离某地还有(60-50)×15=150(千米)
○2客车要比货车提前开出的时间是:150÷50=3(小时)
15、小方从家去学校,如果他每小时比原来多走1.5千米,他走这段路只需原来时间的 ;如果他每小时比
原来少走1.5千米,那么他走这段路的时间比原来时间多几分之几?
解:速度提高后,所用的时间是原来的 ,可知速度是原来的l ,原来的速度是1.5÷(1 一1)=6(千米)。 6
一1.5=4.5(千米),相当于原来速度的 ,所用时间比原来多l÷ 一1= 。列算式为

16、王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟。因途中有2千 米正在修路,只好推车步行。步行速
度只有骑车速度的 ,结果这天用了36分钟才到学校。王刚家到学校有多少千米?
解法一:王刚这天比平时多用36—20=16(分钟)。这是因为步行比骑车慢
所以步行了 步行24分钟的路程骑车只需24× =8(分钟),所以骑车8分钟行2千米,骑车20分钟行2×(2
0÷8)=5(千米)。列算式为

解法二:设走2千米路,原计划所用时间X分钟,根据速度比等于时间的反比列出比 例式1:3=X:[X+
(36—20)],得出原来行2千米需8分钟,每分钟行2÷8= (千米),从而可求出全长为

17、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发。相遇后, 甲继续向B地走,乙马上返回,往B地走。甲
从A地到达B地。 比乙返回B地迟0.5小时。已知甲的速度是乙的 。甲从A地到达地B共用了多少小
时?
解 :相遇时,甲、乙两人所用时间相同。甲从A地到达B地比乙返回B地迟0.5小时,即从相遇点到B
地 这同一段路程中,甲比乙多用0.5小时。可求出从相遇点到B地甲用了0.5÷(1一 )=2(小时),相遇时,
把乙行的路程看做“l”,甲行的路程为 ,从而可求

18、一个圆的周长为60厘米,三个点把这个圆圈分成三等分,3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上,它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行,A的速度为每秒5厘米,B的速度为每秒1.5厘米,C< br>的速度为每秒2.5厘米.问3只甲虫爬出多少时间后第一次到达同一位置?
解:我们先考虑B 、C两只甲虫什么时候到达同一位置,C与B相差20厘米,C追上B需要20÷(2.5—
1.5)= 20(秒).而20秒后每次追及又需60÷(2.5-1.5)=60(秒);再考虑 A与C,它们第一次到 达同一位置
要20÷(5—2.5)=8(秒),而8秒后,每次追及又需60÷(5-- 2.5)=24(秒).可分别列出A与C、B与C相
遇的时间,推导出3只甲虫相遇的时间
解:(1)C第一次追上B所需时间20÷(2.5—1.5)=20(秒).
(2)以后每次C追上B所需时间: 60÷(2.5—1.5)=60(秒).
(3)C追上B所需的秒数依次为: 20,80,140,200,….
(4)A第一次追上C所需时间:20÷(5—2.5)=8(秒).
(5)以后A每次追上C所需时间:60÷(5--2.5)=24(秒)
(6)A追上C所需的秒数依次为: 8,32,56,80,104….
19、甲、乙二人分别从 A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,
6分钟可相遇,又已 知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离。
解: 先画图如下:

【方法一】 若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而
从A到D则 用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应为:(26-6)=20(分)。
同时 ,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所
走的 路程之和,为50×(26+6)=1600(米).所以,甲的速度为1600÷20=80(米/分),由此 可求出A、
B间的距离。
50×(26+6)÷(26-6)=50×32÷20=80(米/分)
(80+50)×6=130×6=780(米)
答:A、B间的距离为780米。
【方法二】设甲的速度是x米/分钟
那么有(x-50)×26=(x+50)×6
解得x=80
所以两地距离为(80+50)×6=780米
20.甲、乙两人同 时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.
5倍,而且甲 比乙速度快,两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好
下到半山腰 。那么甲回到出发点共用多少小时?
解析:由甲、乙两人下山的速度是上山的1.5倍,有:
⑴甲、乙相遇时,甲下山600米路程所需时间,相当于甲上山走600÷1.5=400米的时间。所以甲、 乙以上
山的速度走一小时,甲比乙多走600+400=1000米。
⑵乙到山顶时,甲走到半山腰,也就是甲下山走了 的路程。而走这 路程所需时间,相当于甲上山走山坡
长度 ÷1.5= 的时间。所以在这段时间内,如
保持上山的速度,乙走了一个山坡的长度,甲走了1+ = 个山坡的长度。所以,甲上山的速度是乙的 倍。
用差倍问题求解甲的速度,甲每小时走:1000÷( -1)× =4000米。
根据⑴的结论,甲以上山的速度走1小时的路程比山坡长度多400,所以山坡长3600米。
1小时后,甲已下坡600米,还有3600-600=3000米。所以,甲再用3000÷6000=0. 5小时。
总上所述,甲一共用了1+0.5=1.5小
时。
评注: 本题关键在转化,把下山的距离再转化为上山的距离,这种转化是在保证时间相等 的情况下。
通过转化,可以理清思路。但是也要分清哪些距离是上山走的,哪些是下山走的。
21.某人沿电车线路行走,没12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔?
解析:设两车的距离为单位1。在车追人时,一辆车 用12分钟追上距离为1的人。所以车与人的速度差为
每分钟1÷12= 。 在车与人迎面相遇时,人与车4分钟由相距1变为相遇,所以车与人的速度和为每分
钟1÷4= 。 根据和差问题公式,车的速度为每分钟( + )÷2= 。 则发车间隔为1÷ =6分钟。
2 2.龟兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米,乌龟不停的跑;兔子边跑边玩,它先跑了1分钟后玩了15分钟,又跑了2分钟后玩15分钟,再跑3分钟后玩15分钟,...... 。那么
先到达终点比后到达终点的快多少分钟?
解析:乌龟用时:5.2÷3×60=104 分钟;兔子总共跑了:5.2÷20×60=15.6分钟。而我们有:15.6=1+2+3+
4+5 +0.6 按照题目条件,从上式中我们可以知道兔子一共休息了5次,共15×5=75分钟。所以兔子共 用
时:15.6+75=90.6分钟。 兔子先到达终点,比后到达终点的乌龟快:104-90.6=13.4分钟。
23.A、C两地相距 2千米,C、B两地相距5千米。甲、乙两人同时从C地出发,甲向B地走,到达B地
后立即返回;乙向 A地走,到达A地后立即返回。如果甲速度是乙速度的1.5倍,那么在乙到达D地时,
还未能与甲相遇 ,他们还相距0.5千米,这时甲距C地多少千米?
解析:由甲速是乙速的1.5倍的条件,可知甲路 程是乙路程的1.5倍。设CD距离为x千米,则乙走的路
程是(4+x)千米,甲路程为(4+x)× 1.5千米或(5×2-x-0.5)千米。
列方程得: (4+x)×1.5=5×2-x-0.5
x=1.4 这时甲距C地:1.4+0.5=1.9千米。
24.张明和 李军分别从甲、乙两地同时想向而行。张明平均每小时行5千米;而李军第一小时行1千米,
第二小时行 3千米,第三小时行5千米,……(连续奇数)。两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙
两地相距多 少千米?
解析:解答此题的关键是去相遇时间。由于两人在中点相遇,因此李军的平均速度也是5千米 /小时。“5”
就是几个连续奇数的中间数。因为5是1、3、5、7、9这五个连续奇数的中间数,所 以,从出发到相遇经
过了5个小时。甲、乙两地距离为5×5×2=50千米。
25.甲、乙 、丙三人进行200米赛跑,当甲到达终点时,乙离终点还有20米,丙离终点还有25米,如果
甲、乙 、丙赛跑的速度都不变,那么当乙到达终点时,丙离终点还有多少米?
分析: 在相同的时间内,乙 行了(200-20)=180(米),丙行了200-25=75(米),则丙的速度是乙的
速度的1 75÷180= ,那么,在乙走20米的时间内,丙只能走:20× =19 (米),因此,当乙到达终点时,
丙离终点还有25-19 =5 (米)。
解:25-20× =25-20 =25-19 =5 (米)。
26.老师教同学们做游 戏:在一个周长为114米的圆形跑道上,两个同学从一条直径的两端同时出发沿圆周
开始跑,1秒钟后 他们都调头跑,再过3秒他们又调头跑,依次照1、3、5……分别都调头而跑,每秒两
人分别跑5.5 米和3.5米,那么经过几秒,他们初次相遇?

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