接触中国古典数学题

2020年11月28日发(作者：赵翥)自己收集整理的

错误在所难免

仅供参考交流

如有错误

请指正！谢谢

中国古典数学题



（1）：两鼠穿垣

今有垣厚五尺

两鼠对穿

大鼠日一尺

小鼠亦 一尺

大鼠日自倍

小鼠日自半

问：何日相逢？各穿几何？
题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位

1尺=10寸）的墙壁

大小 两只老鼠同时从墙的两面

沿一直线相对打洞

大鼠第一天打进1尺
以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺

以后每天的进度是前一天的一半< br>
它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？

此题刊于我国著名的古典数学名著《 九章算术》一书的"盈不足"一章中

《九章算术》成书大约在公元一世纪

由于 年代久远

它的作者以及准确的成书年代

至今尚未能考证出来

该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的

全书共收集了246道数学题

分 成九大类

即九章

所以称为《九章算术》



解 答本题并不十分繁难

请你试一试





（2）韩 信点兵

传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数

他的方法是：让士兵 先列成三列纵队（每行三人）

再列成五列纵队（每行五人）

最后列成七列纵队 （每行七人）

他只要知道这队士兵大约的人数

就可以根据这三次列队排在最后 一行的士兵是几个人

而推算出这队士兵的准确人数

如果韩信当时看到的三次列 队

最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人

并知道这队士兵约在三四百人 之间

你能很快推算出这队士兵的人数吗？



（3）和尚分馒头

我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：

一百馒 头一百僧



大僧三个更无争



小僧三人分一个



大小和尚各几丁？"

如果译成白话文

其意 思是：有100个和尚分100只馒头

正好分完

如果大和尚一人分3只

小和尚3人分一只

试问大、小和尚各有几人？

方法一
用方程解：

解：设大和尚有x人

则小和尚有(100－x)人
< br>根据题意列得方程：

u3000u30003x+1/3(100－x)=100

u3000u3000解方程得：x=25

u3000u3000小和尚：100－ 25＝75人

方法二

鸡兔同笼法：

(1)假设100人全是 大和尚

应吃馒头多少个？

u3000u30003×100=300(个)．

(2)这样多吃了几个呢？

u3000u3000300－100=200( 个)．

(3)为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚

那么把 小和尚当成大和尚时

每个小和尚多算了几个馒头？

u3000u30003－ 1/3=8/3

(4)每个小和尚多算了8/3个馒头

一共多算了200个< br>
所以小和尚有：

u3000u3000200÷8/3＝75（人）
< br>u3000u3000大和尚：100－75＝25（人）

方法三

分组 法：

由于大和尚一人分3只馒头

小和尚3人分一只馒头

我们 可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组

这样每组4

个和尚刚好分4个馒头< br>
那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组

因为每组有1个大和尚

所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚

所以有25×3＝75个小和 尚这是《直指算法统宗》里的解法

原话是："置僧一百为实

以三一并得四为法 除之

得大僧二十五个

"所谓"实"便是"被除数"

"法"便 是"除数"

列式就是：

u3000u3000100÷（3+1）=25
100-25=75

u3000我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑
< br>



（4）. 以碗知僧

有一位妇女在河边洗碗

过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人

他们每两人合用一只饭碗

每三人合用一只汤碗

每四人合用一只菜碗

共用了碗65只< br>
你能从她家的用碗情况

算出她家来了多少客人吗？


< br>

（5）. 百钱问题

今有鸡翁一

值钱五；鸡母一
值钱三；鸡雏三

值钱一

凡百钱买鸡百只

问鸡翁 母雏各几何？

相传在南北朝时期（公元 386 年--公元 589 年）

我国北方出了一个"神童"

他反映敏捷

计算能力超群

许多连 大人一时也难以解答的问题

他一下子就给算出来了

远远近近的人都喜欢找他计 算数学问题





"神童"的名气越来越大

传到 当时宰相的耳中

有一天

宰相为了弄清"神童"是真是假

特地 把"神童"的父亲叫了去

给了他 100 文钱

让第二天带 100 只鸡来

并规定 100 只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有

而且不准多

也不准少

一定要刚好百钱百鸡



当时

买 1 只公鸡 5 文钱

买 1 只母鸡 3 文钱

买 3 只小鸡才 1 文钱

怎样才能凑成百钱百鸡呢？"神童"想了一会

告诉父亲说
< br>只要送 4 只公鸡、 18 只母鸡和 78 只小鸡就行了



第二天

宰相见到送来的鸡正好满足百钱百鸡

大为惊奇

他想了一下< br>
又给了 100 文钱

让明天再送 100 只鸡来

还规定不准只有 4 只公鸡



这个问题也没有难住" 神童"

他想了一会

叫父亲送 8 只公鸡、 11 只母鸡和 81 只小鸡 去

还告诉父亲说

遇到类似问题

只要怎样怎样就行了

第二天

宰相见到了送来的 100 只鸡

赞叹不已

他又给了 100 文钱

要求下次再送 100 只鸡来



岂料才一会儿

"神童"的父亲就送来了 100 只鸡

宰相一数：公鸡 12 只、母鸡 4 只、小鸡 84 只

正 好又满足百钱百鸡......



这个"神童"就是张丘建

他 继续勤奋学习

终于成为一个著名的数学家

他的名著《张丘建算经》里

最后一个题目就是这个有趣的"百鸡问题"





"百鸡 问题"是一个不定方程问题

X+y+z=100

设买公鸡、母鸡和小鸡分别为 x 、 y 、 z 只

依题意可得方程组： 5x+3y+ 1/3z=100

另外再设一个整数参数 k

就有： x=4k , y=25 － 7k , z=75+3k



因为鸡数 x 、 y 、 z 都只能是正数

所以满足这组式子的 k 值只能是 1 、 2 、 3



分别用 1 、 2 、 3 去替代式子中的 k

算出 的答案正好与张丘建的一模一样



在张丘建生活的那个年代

人 们还不会列出方程组

那么

他又是怎样算出题目的几个答案的呢？

原来

张丘建发现了一个秘密： 4 只公鸡值 20 文钱

3 只小鸡值 1 文钱

合起来鸡数是 7

钱数是 21 ；而 7 只母鸡呢

鸡数是 7

钱数也是 21

如果少买 7 只母鸡

就可以用这笔钱多买 4 只公鸡和 3 只小鸡
这样

百鸡仍是百鸡

百钱仍是百钱

所以

只要只有求出一个答案

根据这种法则

马上就可以求出其它的答案来< br>


这就是驰名中外的"百鸡术"




（6）.元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：



九百九十九文钱

及时梨果买一千





一十一文梨九个

七枚果子四文钱





问：梨果 多少价几何？



答案：梨有657个

共803文钱
< br>果有343个

共196文钱





（7） . 百羊问题

《算法统宗》里的问题《算法统宗》是中国古代数学著作之一

书 里有这样一题：

甲牵一只肥羊走过来问牧羊人："你赶的这群羊大概有100只吧"
< br>牧羊人答："如果这群羊加上一倍

再加上原来这群羊的一半

又加上原来 这群羊的1/4

连你牵着的这只肥羊也算进去

才刚好凑满一百只
"请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？



（8）李白买酒

我国唐代的天文学家、数学家张逐曾以"李白喝酒"为题材编了一道算题："李白街上走

提壶去买酒

遇店加一倍

见花喝一斗（斗是古代酒具

也可作 计量单位）

三遇店和花

喝光壶中酒

原有多少酒？"

解题方法：壶中原有酒量是要求的

并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添（ 乘以2）定量减（减肥斗）而光

求解这个问题

一般以变化后的结果出发

利用乘与除、加与减的互逆关系

逐步逆推还原

"三遇店和花

喝光壶中酒"

可见三遇花时壶中有酒巴斗

则三遇店时有酒巴1÷2 斗

那么

二遇花时有酒1÷2+1斗

二遇店有酒（1÷2+1 ）÷2斗

于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗

一遇店时有酒

即壶中原有酒的计算式为



[（1÷2+1）÷2+1] ÷2=7/ 8（斗）



故壶中原有7/8斗酒





以上解法的要点在于逆推还原

这种思路也可用示意图或线段图表示出来





当然

若用代数方法来解

这题数量关系更 明确

设壶中原有酒x斗

据题意列方程



2[ 2（2x-1）-1] -1=0



解之

得x=7/8(斗)





（9）浮屠增级

在明朝程大位<<算法统 宗》中

有这样的一首歌谣

叫做浮屠增级歌



远看巍巍塔七层 红光点点倍加倍

共灯三百八十一 请问尖头几盏灯

这首古诗 描述的这个宝塔

其古称浮屠

本题说它一共有七层宝塔

每层悬 挂的红灯数是上一层的2倍

问这个塔顶有

几盏灯

答曰:顶层 三盏浮屠就是佛塔.本题是说,远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂满了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的2倍, 全塔共有381盏,试问顶层有几盏灯?

首先列出各层灯数的比是 1:2:4:8:16:32:64 其总和为了+2+4+8+16+31+64=127 即把总灯数分成127份,一份的灯数是 361/127=3,这就是顶层的灯数.

解：设 一层x

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

127x= 381

x=3

8x=24

答：第四层24红灯


（10）物不知数

我国古代数学名著<孙子算经>中有这样一道有关自然 数的题,

今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?

翻译:一个数被3除于2,被5除3,被7除2.求这个数.

请你解释一下这个数是几 ?

孙子算经>的解决方法大体是这样的,

先求被3/2,同时能被5,7都整 除的数,最小为140.

在求被5/3,同时能被3,7都整除的数,最小为63.
< br>最后求被7/2,同时能被3,5整除的数,最小为30.

于是数140+63+30= 233,就是一个所需求的数,.

它减去或加上3,5,7的最小公倍数的105倍数,比如2 33-210=23.

233+105=388,......也是符合要求的数,所以符合要 求的数有无限个.最小的是23.



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