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大一高数试题及答案
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域
为
_________
√１－ ｘ2
_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（ ０，１ ）处的切线方程是
______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ
───────────────
h→o h
＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则
该曲线的方程是
____________。
ｘ
５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4
１
６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ
７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标
下的累次积分为
____________。
0 0
ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ
９．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。
ｄｘ3 ｘ ｄｘ2
∞ ∞
１０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其
码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］
＝ （ ）
ｘ
１ １ １
①１－ ── ②１＋ ── ③
──── ④ｘ
ｘ ｘ １－ ｘ
１
２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ）
ｘ
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变
量 ④无界变量
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ（ｘ）〉０，则在
（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹
弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数
③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
ｄ ｄ
④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
ｄｘ ｄｘ
1
６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ）
-1
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）
①平行于ｘｏｙ面的平面
②平行于ｏｚ轴的平面
③过ｏｚ轴的平面
④直线
ｘ
８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔ
ｙ）＝ （ ）
ｙ
①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）
１
③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）
ｔ2
ａn＋１ ∞
９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａ
n （ ）
n→∞ ａ n=1
①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散
②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散
③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散
④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散
１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ）
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
（二）每小题２分，共２０分
１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）
①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１
③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│
１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点
ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）
①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导
的 （ ）
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
ｄ
１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１，
则ｆ（ｘ）＝ （ ）
ｄｘ
①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎ
ｘ ④１－ｓｉｎｘ
１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ
＝ （ ）
①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋
１ ④ｘ4－１
１ x
１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ）
x→0 ｘ3 0
１
① ０ ② １
── ④ ∞
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
y→0
①
０ ② １ ③
④ ｓｉｎ１
１８．对微分方程 ｙ＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是
① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ＝ｐ'
③
∞
）
（
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ＝ｐ───
ｄｙ
１ ｄｐ
④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ＝── ───
ｐ ｄｙ
∞ ∞
１９．设幂级数 ∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ
│〈│ｘo│（ ）
n=o n=o
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关
ｓｉｎｘ
２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ
＝ （ ）
D ｘ
1 1 ｓｉｎｘ
① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √y ｓｉｎｘ
② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 y ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 x ｘ
三、计算题（每小题５分，共４５分）
___________
／ ｘ－１
１．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。
√ ｘ（ｘ＋３）
ｓｉｎ（９ｘ2－１６）
２．求 ｌｉｍ ───────────
x→4/3 ３ｘ－４
ｄｘ
３．计算 ∫ ─────── 。
（１＋ｅx ）2
t 1
ｄｙ
４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒ
ｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。
0 t
ｄｘ
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。
___
６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。
x asinθ
７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。
0 0
ｙ＋１
８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。
ｘ＋１
３
９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。
（１－ｘ）（２＋ｘ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。
___ １
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－
── 。
ｘ
附：高数（一）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题１分，共１０分）
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
３．５Ａ
４．ｙ＝ｘ2＋１
１
５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ
２
６．１
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
π/2 π
８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ
0 0
９．三阶
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其
码写在题干的
（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１．③ ２．③ ３．④
④ ５．②
６．② ７．② ８．⑤
④ １０．③
（二）每小题２分，共２０分
１１．④ １２．④ １３．⑤
４．③ １５．③
１６．② １７．① １８．③
９．① ２０．②
三、计算题（每小题５分，共４５分）
１
１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋
３）］ （２分）
２
１ １ １ １ １
４．
９．
１
１
──ｙ'＝──（────－──－────） （２分）
ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３
__________
１ ／ ｘ－１ １ １ １
ｙ'＝── ／──────（────－──－────）
分）
２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３
ｓｉｎ（９ｘ2－１６）
２．求 ｌｉｍ ───────────
x→4/3 ３ｘ－４
１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）
２．解：原式＝ｌｉｍ
──────────────── （３分）
x→4/3 ３
１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］
＝ ────────────────────── ＝８
３
（１
（２分）
１＋ｅx－ｅx
３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分）
（１＋ｅx）2
ｄｘ ｄ（１＋ｅx）
＝∫─────－∫─────── （１分）
１＋ｅx （１＋ｅx）2
１＋ｅx－ｅx １
＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分）
１＋ｅx １＋ｅx
１
＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分）
１＋ｅx
４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎ
ｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）
ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇ
ｔ （２分）
ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
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