厄运缠身有趣的初中数学题及解答 .

2020年11月28日发(作者：武道光)
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2
1、在平面直角坐标系内,有两直线,其解析式分别是y
1
=2x+1 和y
2
= -
3
x + 2 ,
(1) 如果在 y
1
和 y
2
之间（不包括y
1
和 y
2
）有且只有一个整数,求x的取值
范围；(2) 如果在 y
1
和 y
2
之间（不包括y
1
和 y
2
）有且只有两个整数，x的
取值范围又是什么呢？
解：（1） ①、 在 y
1
和 y
2
之间
（不包括y
1
和 y
2
）有且只有一个
2
整数，y
1
=2x+1 ≠y
2
= - x + 2 ,
3
3
x≠ ，易求y
1
和y
2
的交点的坐标
8
33
为（ ，1 ）， 自图中可以观察
84
到，要找出y
1
和 y
2
之间（不包括


3
y
1
和 y
2
）有且只有的一个整数，则应从选取与 1 相邻的整数入手（因为
4
33
距1 越远，y
1
与y
2
之间的差值越大，它们之间包括的整数越多），1 < 1
44
< 2 ；
3331
②
当
x >
8

时
, y
1
> 1 , y
2
< 1 ，当y
1
=2x+1 ＝2，x＝ ,
442
23313
y
2
= - x + 2 =1, x＝ , < < , 所以整数2就是y
1
和 y
2
之间的唯
32822
23
一整数（ y
1
=2x+1 ＝2和y
2
= - x + 2 =1哪个所对应的X值与 的差值越
38
小，则哪个y值就是y
1
和 y
2
之间的唯一整数；如图，X值相同时，y
1
和 y
2

33
的连线与y轴平行，这条平行于y轴的直线自点（ ，1 ）向右移动，则线
84
段 y
1
y
2
首先与y=2相交），
122
A 、当x＝ 时，显然y
1
=2x+1＝2，y
2
= - x + 2＝1 ， y
1
和 y
2
之间不
233
含有整数（此时y
1
＝2，而y
1
和y
2
之间包括的唯一整数不包括y
1和 y
2
）；
3123
B、当 < x < 时，1 < y
2
< 1 < y
1
< 2
，
y
1
和 y
2
之间不含有整数；
8234
1
C、当x > 时，而y
1
和 y
2
之间开始包括整数2，与2相邻的整数是1和3，
2
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3
2
y
1
=2x+1 ≦3（解得X≦1） y
2
= - x + 2 ≥1（解得X≦ ）
3
2
112
综合A、B和C，当 < x ≦ 1时，1 ≦y
2
<1 < 2 < y
1
≦3，y
1
和 y
2

233
之间（不包括y
1
和 y
2
）有且只有一个整数2 ；
33
③
当
x <
8

时
, y
1
< 1 ， y
1
=2x+1 =1 (解得X=0),
4
32
y
2
> 1 ， y
2
= - x + 2 =2 (解得X=0),
43
A 、当X=0时, y
1
=1和 y
2
=2之间不含整数；
33
B、当0 < x < 时， 11
<1 2
<2，y
1
和 y
2
之间不含整数；
84
C、当X<0时, y
2
< 1 < 2 < y
1
，y
1
和y
2
之间至少含有两个整数(1和2),
3
综合当A、B和C，当x < 时, y
1
和 y
2
之间不可能只包括一个整数.
8
1
综合①、② 和③,X的取值范围是 < x ≦ 1
2
3
1
（2） 通过观察和计算可得1< x ≦ 或 - ≦x < 0, 在 y
1
和 y
2
之间（不
2
2
3
包括y
1
和 y
2
）有且只有两个整数 ( 其中,1< x ≦ 时, y
1
和 y
2
之间包括
2
1
的两个整数是2和3, - < x ≦ 0时, y
1
和 y
2
之间包括的两个整数是1和
2
2 ).

解:
(1) ∵B(-1,5)在函数y
2
= 上,∴c=-5, C( ,d)在函数
2
= - 上,
x2x
c5
y
5
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5
d = - 2; B(-1,5), C( ,-2)在函数
2
5=-k+b
y
1
=kx+b 上,可得方程组
k= -2
解得

b=3

(2) 根据(1)可得
y
1
=-2x+3 ,P(m,n)
，
5
-2=
2
k+b
3
(-1< m< )在函数
y
1
=-2x+3 的图象上, 则
n
=-2 m +3 ,PD平行于x轴, 设
2
5
点D的坐标为(
x
D
,
y
D
),则
y
D
=-2m+3,点 D在函数
y
2
= - 的图象上,
x
511
则
x
D
= ,
S
△
PAD
=
×DP×
y
D
= (m -
x
D
)
y
D

2 m - 322
15353
2
49
2
= (m - )(-2m+3)=- m + m + =- (m - ) + ,
22 m - 322416
3333
m = (-1< < )时, n = -2 m + 3 =
4422
故当m =
时,
△
PAD有最大面积

3
4
4933
,此时点P的坐标为( , ).
1642
(3) ① m = 1- a, n= -2m -3=-2(1-a)+3=2a+1
∵m和n之间有且只有一个整数(不包括m和n),∴m
≠n
1- a
≠
2a+1 , a
≠0
② 当a>0时, m<1∵m和n之间有且只有一个整数1(不包括m和n), ∴0≦m<1a>0
1-a
≥0
解得01
2
2a+1≦2
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③ 当
a
<
0时
, n <1< m ,

∵m和n之间有且只有一个整数1
(不包括m和n),
∴0≦n<1<≦2,
a<0
1-a
≦2
解得 - ≦ a <0
1
2
2a+1≥0
11
综合①,②和③ ∴ - ≦ a <0 或0 < a ≦
22

解：连结OB，过圆心O作线段OD⊥BP交BP
于点D,作线段AC的中垂线EQ,交AC于点E,
交⊙O于点Q，过点O作OF∥ AC交直线EQ
于点F。
(1) AB=AC
证明：AB与⊙O相切，切点为B,OB为⊙O
的半径，OB⊥AB，∠OBA=90°，
∠ABC=90°-∠OBP

OB和OP是⊙O 的半径, OB=OP，
∠OBP=∠OPB=∠APC（等腰三角形底角相等,对顶角相等）;
OA⊥直线l, OA⊥AC, ∠PAC=90°, 在RTPAC中, ∠PCA=90°-∠APC
∠ABC=∠PCA ( 等角减等角,其差相等 ) , 在△ABC中 AB=AC
(2) 设OB = OP = r ,则 PA=5- r
在RT△OBA中, AB=AO
2
-OB
2
= 5
2
- r
2

在RT△PAC中, AC=PC
2
-PA
2
=(25)
2
- (5-r )
2

AB=AC , 5
2
- r
2
=(25)
2
- (5-r )
2
, 解得 r = 3
1
OD⊥BP, ∠ODP = 90°=∠PAC, 且PD=BD=
2
PB, ∠OPB =∠APC ,
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5- r5- 3
PCPA2525
△PAC∽△BDO ,
PO
=
PD
,
r
=
PD
,
3
=
PD
,
316
解得 PD=
5
5 , PD =
2
PB , PB= 2 PD =
5
5
(3) △QAC是以AC为底的等腰三角形,则点Q在AC的中垂线上,而点Q在
⊙O上,则 直线EQ与⊙O相切(点Q与点F重合)或相交
EQ与⊙O相切时(点Q与点F重合)，OF为 ⊙O的半径,OF⊥EF⊥AC⊥OA,
11
四边形OFEA为矩形, OF=AE=OB, OF=
2
AC=
2
AB=OB, 在RT△OBA中,
AB
2
= AO
2
- OB
2
,(2OB)
2
=5
2
- OB
2
,OB= -5 (不合题意舍去) ,OB = 5 ,
直线EF与⊙O只有一个交点(相切)时, OB= 5
直线EF与⊙O只有两个交点(相交)时, OB> 5
因为直线l与⊙O相离,所以 OP <5,
⊙O的半径r的取值范围是 5 ≤ r < 5
解：(1) 设抛物线的解析式为y = ax
2
+ bx + c,实数m、n (m2
-2x-3=0
的两根，则m=-1,n=3,点A（-1，- 1）、B（3，-3）和O（0，0）在抛物线y =
a-b+c=-1
ax
2
+ bx + c上，则
9a+3b+c=3
,解得
c=0
1
a＝-
2
1
b=
2
,
c=0
11
所以抛物线的解析式为y = -
2
x
2
+
2
x
(2) ①有点 A（-1，-1）和B（3，-3）,设直线AB的解析式为
y
1
=kx+d,
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13
则有-1 = - k +d, -3 = 3k + d ，解得k=-
2
,d = -
2
，直线AB的解析式为
y
1
=-
2
x -
2
,有点 O（0，0）和B（3，-3）, 则直线OB的解析式为
3
y
2
= - x , 点C(0,e)在直线AB上，则点C的坐标为(0, -
2
)
△OPC是等腰三角形，
若OP = PC, 则点P在线段OC的中垂线上，点P的纵坐标与线段OC中点的纵
3
坐标相等，其值为-
4
，点P在直线OB（
y
2
= - x）上，所以点P的坐标为
33
（
4
，-
4
）；
3
3
若OC＝OP＝
2
,设点P的坐标为（x，- x）（其中x >0），则有2x
2
＝
（
2
）
2
，解得
3 33
x＝
4
2 ,点P的坐标为（
4
2 ，-
4
2 ）；
3
若OC=CP＝
2
, 设点P的坐标为（x，- x）（其中x>0）,则有
33
2
333
22
x+[- x-（-
2
）] ＝（
2
） ，解得x＝
2
，点P的坐标为（
2
，-
2
）；
3333
∴△
OPC
为等腰三角形时，点P的坐标为（
4
，-
4
）、（
4
2 ，-
4
2 ）
33
或（
2
，-
2
）。
② 过点D作直 线DH∥
y
轴，分别
交线段OB和
x
轴
于点H和F,过点B 作直线BG
11
⊥DH, 垂足为G，设D点的坐标为（x，-
2
x
2
+
2
x），
则H点的坐标为（x，- x），
111
S
△BOD
= S
△ODH
+ S
△BDH
=
2
DH×OF+
2
DH×BG=
2
DH×（OF+ BG）
11
2
131
2
3
=
2
[-
2
x+
2
x-（- x）]×3＝
2
（-
2
x+
2
x）
3
33327311
＝-
4
(x
2
–3 x)=-
4
( x-
2
)
2
+
26
, ∴当x＝
2
，-
2
x
2
+
2
x＝- 时，
8
13
S
3
273
△BOD
有最大值 。
16
，点D的坐标为（
2
，-
8
）
1
2
3、抛物线C
1
的解析式为
y
1
=
- x-x-2
,抛物线与y轴交于点A,在平面
4
直角坐标系内有点B(-2,-2),
(1)、求抛物线C
1
的顶点坐标；
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22
（2）、① 连接AB并将其延长与抛物线C
1
交于点E，求证：
AB
+
BE
=2 ，
②在抛物线C
1
上有一动点P(m，n)， -222
C 是否存在
PB
+
BQ
=2，若存在，请证明，若不存在，请说明理由。
1
交于点Q，
1
（3）、将抛物线C 平移后，变化成将抛物线C ：y =- (x+k)
2
,若t≤x<-2,
12
2
4
X < 2
y
2
恒成立，求t的最小值，并
说明抛物线C
1
是如何平移成C
2
的。
1
2
解：（1）、
y
1
=
- x-x-2
4
1
＝
- （x
2
+4x+4）-1
4
1
2
=- (x+2)-1,
4
抛物线C
1
的顶点坐标为（-2，-1）。
（2）、① A是抛物线C
1
与y轴的交点，A(0, -2)，B(-2,-2),则AB∥X轴，
-

1
2
x-x-2＝-2，解得
X＝0或-4，即E（-4，-2），AB=0-(-2)=2,
4
2222
BE=-2-(-4)=2,
AB
+
BE
=
2
+
2
=2 。
22
+
PBBQ
=2
证明： 过点P(m，n)作PC⊥AB于C,过点Q作QD⊥AE交AE的延长线于D.
在RT△PCB中，PB
2
=PC
2
+BC
2,
PB
2
=[ n -(-2)]
2
+
[ m -(-2)]
2
=( n+2)
2
+(
m+2
)
2
,
②
存在
11
222
点P在
y
1
=
- (x+2)-1
上
,n=- (m+2)-1, (m+2)=-4n-4,
44
PB
2
= ( n+2)
2
+(

m+2)
2
=( n+2)
2
-4n-4=n
2
，(-2设点Q的坐标为（t,v）,同理可证QB=-v
（在RT
△
QDB
中，设点
Q
的坐标为（
t,v
）
,
QB
2
=DQ
2
+BQ
2,
QB
2
=[(
-
2)
-
v]
2
+
[(
-
2)
-
t]
2
=( v+ 2 )
2
+( t + 2)
2
,
1
2
点
Q
在
y
1
=
- (x+2)-1
4
1
22
上
,v=- (t+2)-1, (m+2)=-4v-4,

4
QB
2
= ( v+ 2 )
2
+( t + 2)
2
= ( v+ 2 )
2
-4v-4= v
2
，
QB=
-
v
）