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载荷的单位:弹簧类问题的几种模型及其处理方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-28 23:45
tags:弹力做功的公式

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2020年11月28日发(作者:鱼翼)





弹簧类问题的几种模
型及其处理方法
Revised on November 25, 2020


弹簧类问题的几种模型及其处理方法
学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方 面:首先,由于弹簧不断发生形变,导致物体的
受力随之不断变化,加速度不断变化,从而使物体的运动 状态和运动过程较复杂。其次,这些复杂的运动
过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。还有,学生们很难 找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及
处理方法。根据近几年高考的命题特点和知识的考查,笔 者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析,供
读者参考。
一、弹簧类命题突破要点
1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时,首先要注意弹力的大小
与 方向时刻要与当时的形变相对应,在题目中一般应从弹簧的形变分析入手,先确定弹簧原长位置、现长
位 置、平衡位置等,找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系,分析形变所对应的弹力大小、方向,
结 合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。
2.因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间,在瞬 间内形变量可以认为不变,因此,在分析瞬
时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变。
3.在求弹簧的弹力做功时,因该变力为线性变化,可以先求平均力,再用功的定义进行计算,也可据动
能定理和功能关系:能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点:弹力做功等于弹性势能增量
的负值。弹性势能的公式,高考不作定量要求,可作定性讨论,因此在求弹力的功或弹性
势能的 改变时,一般以能量的转化与守恒的角度来求解。
二、弹簧类问题的几种模型
1.平衡类问题
例1.如图1所示,劲度系数为
k
1
的轻质弹簧两 端分别与质量为
m
1

m
2
的物块拴接,劲度系数为
k
2
的轻质弹簧上端与物块
m
2
拴接,下端压在桌面上(不拴接) ,整个系统处于平衡状态。现施力将
m
1
缓慢
竖直上提,直到下面那个弹簧的 下端刚脱离桌面。在此过程中,
m
2
的重力势能增加了______,
m1
的重力势
能增加了________。
分析:上提
m
1之前,两物块处于静止的平衡状态,所以有:
,其中,、分别是弹簧k
1
、k2
的压缩量。

当用力缓慢上提
m
1
,使k
2
下端刚脱离桌面时,
此时弹簧k
1
的伸长量。
,弹簧k
2
最终恢复原长,其中,为


答案:
m
2
上升的高度为,增加的重力势能为,
m
1
上升的高度为
, 增加的重力势能为。
点评:此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题,题中空间距离的变化,要通 过弹簧形变量的
计算求出。注意缓慢上提,说明整个系统处于动态平衡过程。
例2.如上图2 所示,A物体重2N,B物体重4N,中间用弹簧连接,弹力大小为2N,此时吊A物体
的绳的拉力为T ,B对地的压力为F,则T、F的数值可能是
A.7N,0 B.4N,2N C.1N,6N D.0,6N
分析:对于轻质弹簧来说,既可处于拉伸状态,也可处于压缩状态。所以,此问题要分两 种情况进
行分析。
(1)若弹簧处于压缩状态,则通过对A、B受力分析可得:,
(2)若弹簧处于拉伸状态,则通过对A、B受力分析可得:,
答案:B、D。
点 评:此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点,考查学生对问题进行全面分析的能
力。有时, 表面上两种情况都有可能,但必须经过判断,若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不
符,必须排除 。所以,对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后作出判断。
平衡类问题总结:这类问题一 般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来,考查学生对弹
簧模型基本知识的掌握情况。只要学 生静力学基础知识扎实,学习习惯较好,这类问题一般都会迎刃而
解,此类问题相对较简单。
2.突变类问题
例3.(2001年上海)如图3所示,一质量为
m
的小球 系于长度分别为
l
1

l
2
的两根细线上,
l1
的一
端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为
θ

l
2
水平拉直,小球处于平衡状态。现将
l
2
线剪断,求剪断瞬时
小球的 加速度。若将图3中的细线
l
1
改为长度相同、质量不计的轻弹簧,如图4所示,其他 条件不变,求
剪断细线
l
2
瞬时小球的加速度。
分析:(1)当剪 断细线
l
2
瞬间,不仅
l
2
对小球拉力瞬间消失,
l
1
的拉力也同时消失,此时,小球只
受重力作用,所以此时小球的加速度为重力加速 度g。


(2)当把细线
l
1
改为长度相同、质量不计 的轻弹簧时,在当剪断细线
l
2
瞬间,只有
l
2
对小球拉力
瞬间消失,弹簧对小球的弹力和剪断
l
2
之前没变化,因为弹簧恢复形变需要 一个过程。如图5所示,剪断
l
2
瞬间,小球受重力G和弹簧弹力,所以有:
,方向水平向右。
点评:此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题,学生不仅要对细线 和弹簧弹力变化特点熟
悉,还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用,此类问题才能得以解决。
突变类问题总结:不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计,因此可以称为“突变弹力”,轻质弹< br>簧的弹力变化需要一定时间,弹力逐渐减小,称为“渐变弹力”。所以,对于细线、弹簧类问题,当外界情
况发生变化时(如撤力、变力、剪断),要重新对物体的受力和运动情况进行分析,细线上的弹力可以突
变,轻弹簧弹力不能突变,这是处理此类问题的关键。
3.碰撞型弹簧问题
此类弹 簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类,而其主要特点是与碰撞问题类似,但是,它与碰撞
类问题 的一个明显差别就是它的作用过程相对较长,而碰撞类问题的作用时间极短。
例4.如图6所示,物体 B静止在光滑的水平面上,B的左边固定有轻质的弹簧,与B质量相等的物
体A以速度v向B运动并与弹 簧发生碰撞,A、B始终沿统一直线,则A,B组成的系统动能损失最大的时
刻是
A.A开始运动时 B.A的速度等于v时
C.B的速度等于零时 D.A和B的速度相等时
分析:解决这样的问题,最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化,明确两个物体在相互作
用的过程中,其详细的运动特点。具体分析如下:
(1)弹簧的压缩过程:A物体向B运动,使得弹 簧处于压缩状态,压缩的弹簧分别对A、B物体产生
如右中图的作用力,使A向右减速运动,使B向右加 速运动。由于在开始的时候,A的速度比B的大,故
两者之间的距离在减小,弹簧不断压缩,弹簧产生的 弹力越来越大,直到某个瞬间两个物体的速度相等,
弹簧压缩到最短。
(2)弹簧压缩形变恢 复过程:过了两物体速度相等这个瞬间,由于弹簧仍然处于压缩状态,A继续
减速,B继续加速,这就会 使得B的速度变的比A的速度大,于是A、B物体之间的距离开始变大,弹簧
逐渐恢复形变直至原长。
(3)弹簧的拉伸过程:由于B的速度比A的速度大,弹簧由原长变为拉伸状态。此时,弹簧对两物体的弹力方向向内,使A向右加速运动,B向右减速运动,直到A、B速度相等时弹簧拉伸到最长状态。


(4)弹簧拉伸形变恢复过程:过了两物体速度相等这个瞬间,由于弹簧仍然处于 拉伸状态,A继续
加速,B继续减速,这就会使得A的速度变的比B的速度大,于是A、B物体之间的距 离开始变小,弹簧
逐渐恢复形变直至原长。
就这样,弹簧不断地压缩、拉伸、恢复形变。当外 界用力压弹簧时,弹簧会被压缩,从而获得弹性势能,
当弹簧开始恢复形变之后,它又会将所蓄积的弹性 势能释放出去,这个蓄积和释放的过程,弹簧自身并不
会耗费能量。能量在两个物体和弹簧之间进行传递 。
点评:在由两个物体和弹簧组成的系统的运动中,具有下面的特点:
(1)两个物体速度 相等时,弹簧处于形变量(压缩或拉伸)最大的状态,弹簧的弹性势能达到最
大。
(2)两个 物体不停地进行着加速和减速运动,但加速度时刻在变化,所以有关两个物体运动的问题
不能采用运动学 公式来解决。但此模型属于弹性碰撞模型,所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统
机械能守恒。
4:机械能守恒型弹簧问题
对于弹性势能,高中阶段并不需要定量计算,但是需要定性的了解 ,即知道弹性势能的大小与弹簧的形变
之间存在直接的关系,对于相同的弹簧,形变量一样的时候,弹性 势能就是一样的,不管是压缩状态还是
拉伸状态。
例5.一劲度系数k=800Nm的轻质弹 簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B,它们竖直静
止在水平面上,如图7所示。现将一 竖直向上的变力F作用在A上,使A开始向上做匀加速运动,经物体
B刚要离开地面。求:
⑴此过程中所加外力F的最大值和最小值。
⑵此过程中力F所做的功。(设整个过程弹簧都在弹性限度内,取g=10ms)
分析:此题 考查学生对A物体上升过程中详细运动过程的理解。在力F刚刚作用在A上时,A物体受
到重力mg,弹 簧向上的弹力T,竖直向上的拉力F。随着弹簧压缩量逐渐减小,弹簧对A的向上的弹力逐
渐减小,则F 必须变大,以满足F+T-mg=ma。当弹簧恢复原长时,弹簧弹力消失,只有F-mg=ma;随着A
物体继续向上运动,弹簧开始处于拉伸状态,则物体A的受到重力mg,弹簧向下的弹力T,竖直向上的拉力F,满足F-T-mg=ma。随着弹簧弹力的增大,拉力F也逐渐增大,以保持加速度不变。等到弹簧拉 伸到
足够长,使得B物体恰好离开地面时,弹簧弹力大小等于B物体的重力。
2
答案:(1)开始时,对于A物体:,得弹簧压缩量是Δx=
B刚要离开地面时,对于B物体仍有:,得弹簧伸长量Δx=


因此A向上运动的位移是,由公式:求得:加速度是s。
2
所以:开始时刻F=ma=45N为拉力最小值;B刚要离开地面时F'-mg- kΔx=ma,得F'=285N为拉力最大
值。
(2)拉力做的功等于系统增加的机械能, 始末状态弹性势能相同。所以由和
,可得此过程中拉力做的功等于。
点评:此类题的关键是要 分析出最大值和最小值时刻的特点,必须通过受力分析得出物体运动的详
细过程特征,只要把物体做每一 种运动形式的力学原因搞清楚了,这类问题就会迎刃而解。所以,学生在
平时的训练中,必须养成良好的 思维习惯,对于较复杂的物理过程,必须先分段研究,化一个复杂问题为
若干个简单模型,针对若干个简 单的物理情景,逐一分析出现这一物理情景的力学原因,当把每一个物理
情景都分析清楚了,整个问题的 答案就会水到渠成。
例6.如图8所示,物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地静置在水 平面上。将一个物
体A从物体B的正上方距离B的高度为H
0
处由静止释放,下落后与 物体B碰撞,碰撞后A和B粘合在一起
并立刻向下运动,在以后的运动中A、B不再分离。已知物体A、 B、C的质量均为M,重力加速度为g,忽
略物体自身的高度及空气阻力。求:
(1)A与B碰撞后瞬间的速度大小。
(2)A和B一起运动达到最大速度时,物体C对水平地面压力为多大
(3)开始时,物体A从距B多大的高度自由落下时,在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面
分析:过程分析法:
第一阶段:A自由落体;
第二阶段:A、B发生碰撞,作用时间极短,时间忽略;
第三阶段:AB成为一体的瞬间,弹 簧形变来不及发生改变,弹簧的弹力仍为mg,小于AB整体重力
2mg,所以物体AB所受合力仍然为 向下,物体仍然向下加速,做加速度减小的加速运动。当弹簧的弹力增
大到正好为2mg时,物体AB合 力为0,物体继续向下运动。
第四阶段:弹簧继续被压缩,压缩量继续增加,产生的弹力继续增加,大 于2mg,使得物体AB所受
合力变为向上,物体开始向下减速,直至弹簧压缩到最短,AB物体停止运 动。所以,当物体AB所受合力
为0时就是该物体速度最大的时候。


答案:(1)A自由下落由机械能守恒得:,求得
A与B碰撞,由于碰撞时间极短,由A、B 组成的系统动量守恒得:。
所以求得A与B碰撞后瞬间的速度大小
(2)由前面分析知,A和 B一起运动达到最大速度的时刻,即为物体AB受合力为0的时刻:对C受
力分析知地面对C的支持力。 所以物体C对水平地面压力也为3mg。
(3)设物体A从距离B为H的高度自由落下时,在以后的运 动中才能使物体C恰好离开地面。要使
C恰好离开地面,意味着当A上升到最高点时弹簧的弹力为mg, 弹簧的伸长量为,A、B相碰结束时
刻弹簧的压缩量也为。所以,由A、B物体以及弹簧组成的系统,从 A、B相碰结束开始到A、B上升
到最高点的过程中,系统机械能守恒,初状态A、B的动能全部转化为 末状态A、B的重力势能,弹性势能
没有变化。所以有:
,求得:
点评:高中阶段 的机械能守恒等式分为:“守恒式”、“转移式”和“转化式”三种,对于任何研究对象,
无论是单个物 体还是系统,都可以采用“守恒式”列等式,选好零势能面,确定初、末状态的机械能,此方
法思路简单 ,但等式复杂,运算量较大。“转移式”只能针对一个系统,如两个物体A、B组成的系统,
,若A物体 机械能减小,B物体的机械能一定增加,且变化量相等,A减小的机械能转移
到B上导致B物体机械能增 加。“转化式”体现了机械能守恒中机械能从一种形式转化成另外一种形式,在
转化过程中总的机械能不 变。即:
的动能等于减小的势能。
此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒,在这类模型中 ,一般涉及动能、重力势能和弹性势
能,列等式一般采用“转移式”或“转化式”。
5.简谐运动型弹簧问题
弹簧振子是简谐运动的经典模型,有一些弹簧问题,如果从简谐运动 的角度思考,利用简谐运动的
周期性和对称性来处理,问题的难度将大大下降。
,若物体或系统动能增加了,势能必然减小,且增加


例7.如图9所示, 一根轻弹簧竖直直立在水平面上,下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自
由下落到弹簧上端
O
,将弹簧压缩。当弹簧被压缩了
x
0
时,物块的速度减小到零。从物块和 弹簧接触开始
到物块速度减小到零过程中,物块的加速度大小
a
随下降位移大小
x
变化的图像,可能是下图中的
分析:我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力,而弹力 与形变量成正比,所以加速度与位移之
间也应该是线性关系,加速度与位移关系的图像为直线。物体在最 低点的加速度与重力加速度之间的大小
关系应该是本题的难点,借助简谐运动的加速度对称性来处理最方 便。若物块正好是原长处下落的,根据
简谐运动对称性,可知最低点时所受的合力也是mg,方向向上, 所以弹力为2mg,加速度为g。现在,初
始位置比原长处要高,这样最低点的位置比上述情况要低,弹 簧压缩量也要大,产生的弹力必定大于
2mg,加速度必定大于g。
例8.如图10所示,一 质量为m的小球从弹簧的正上方H高处自由下落,接触弹簧后将弹簧压缩,
在压缩的全过程中(忽略空气 阻力且在弹性限度内),以下说法正确的是
A.小球所受弹力的最大值一定大于2mg
B.小球的加速度的最大值一定大于2g
C.小球刚接触弹簧上端时动能最大
D.小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大
解析:本题是一个典型的简谐运动模型问题。可参考例8分析即可。
6.综合类弹簧问题 < br>例9.质量均为m的两个矩形木块A和B用轻弹簧相连接,弹簧的劲度系数为k,将它们竖直叠放在
水平地面上,如图13所示,另一质量也是m的物体C,从距离A为H的高度自由下落,C与A相碰,相碰时间极短,碰后A、C不粘连,当A、C一起回到最高点时,地面对B的支持力恰好等于B的重力。若C从< br>距离A为2H高处自由落下,在A、C一起上升到某一位置,C与A分离,C继续上升,求:
(1)C没有与A相碰之前,弹簧的弹性势能是多少
(2)C上升到最高点与A、C分离时的位置之间距离是多少
解:过程分析法
(1)C由静止下落H高度。即与A相撞前的速度为,则:,得出:

(2)C与A相撞,由动量守恒定律可得:得出:


(3)A、C一起压缩弹簧至A、C上升到最高点,由机械能守恒定律得:
得出
(4)C由静止下落2H高度时的速度为,则:
得出
(5)C与A相撞:得出:
(6)A、C一起压缩弹簧至A、C分离,由机械能守恒定律得:
得出:
(7)C单独上升X高度,由机械能守恒定律得:得出:
例10.如图12所示,质量为m< br>1
的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m
2
的物体B相连,弹
簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一
轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m
3的物体C
并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的
物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少已知重力加速度为
g。
解:过程分析法
(1)开始时,A、B都静止,设弹簧压缩量为,则:得出:
(2)挂上C由静止释放,由B刚好离开地面得:得出:
(3)挂上C直至B刚好离开地面,由系统机械能守恒得:


其中为弹簧弹性势能的增加量
(4)若将C换成D后,当B刚好离开地面时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同,得出:

以上两式联立得出:
综合类弹簧问题总结:综合类弹簧问题一般物理情景复杂,涉及的物理量 较多,思维过程较长,题
目难度较大。处理这类问题最好的办法是前面所述的“肢解法”,即把一个复杂 的问题“肢解”成若干个熟悉
的简单的物理情景,逐一攻破。这就要求学生具有扎实的基础知识,平时善 于积累常见的物理模型及其处
理办法,并具有把一个物理问题还原成物理模型的能力。

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本文更新与2020-11-28 23:45,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/468987.html

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