错别字的危害：导数中的二次求导问题

2020年11月29日发(作者：阮玉芬)

2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：
导数中的二次求导问题
【知识要点】
1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应 用，既是高
考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考
考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括
抽 象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思
想的渗透和综合 运用，难度较大.
2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有 些问题
“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找
到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综
合问题的 有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途
径.
【方法讲评】
方法 二次求导
对函数一次求导得到之后，解不等式难度较
使用情景
大甚至根本解不出.
设
解题步骤
，再求
的单调性，得到函数
到函数的单调性.
.

，求出
的最值，即可得到
的解，即得到函数
的正负情 况，即可得
【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数
（Ⅰ）若，求的取值范围；（ Ⅱ）证明：


化简得，
所以两边同乘可得，所以有，在对求导有
，即当＜＜时，
；当＜时，
所以
.
在
＜0，
＞0 ，
在区间
在区间上为增函数；当时，
上为减函数.
.又因为，所以时有最大 值，即
当时，同理，当
，此时，
时，＞，即在区间上为增函数，则
，易得为增 函数，所以
也成立.
综上，得证.
方法二：（Ⅰ），则
题设
当＜＜时，
.
综上，的取值范围是
等价于
＞；当
. 令
时，，
，则
是
.
的最大值点，所以
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即.
当＜＜时，

因为＜0，所以此时.
当时，

. 所以
【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的 方法解题过程简便易懂，思路来得
自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的 结论，而且运用了一
些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次 求导的使
用情景，是一次求导得到
二次求导之后，设
数的单调性，得到函数
之 后，
，再求，求出
解答难度较大甚至解不出来. （3）
的解，即得到函
的正负情况，即可得到函数的最值，即可得到
的单调性.
【例2】设函数
（Ⅰ）若
调区间；
（Ⅲ）若，求证：在时，＞．
在点处的切线为

，求的值；（Ⅱ）求的单
【解析】（Ⅰ）∵
∵在 点处的切线为
∴
，即在点
，
的切线的斜率
为，

∴，∴，∴切点为，
将切点代入切线方程，得，所以，；

（Ⅲ）∵
∴要证：当
令
时，＞
，
，即证：
，
，
，
，则只需证：
由于，（由于不等式是超越不等式,所以此处解不等式 解
答不出，所以要构造函数二次求导.）
设
所以函数在

单调递增，又因为
.
所以在内存在唯一的零点，即在内存在唯一的零点，设这个零点为
.

【点评】（1）由于不等式是超越不等式,所以不等式
在
解答不出，
单调递所 以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因. （2）仅得到函数
增是不够的，因为此时
所 以无法求
，所以，所以的单调性还是不知道，
.所以必须找到这个零点和零点所在区间，这个零 点和零点的区间找到很
的单调性和.
，且
，且
R在点
.
处的切线方程为
.
关键很重要，直接关系到
【反馈检测1】【2017课标 II，理】已知函数
(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点
【反馈检测2】已知函数.
（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当N，且时，.

高考数学热点难点突破技巧第03讲：
导数中二次求导问题参考答案
【反馈检测1 答案】（1）
【反馈检测1详细解析】（1）
设
因为
若
0，
，则
单调递增.所以
.当
是
时，
的极小值点，故
单调递减； 当
，则
；（2）证明略.
的定义域为
等价于

时，
.
＞
，综上，
又
点1，且当
因为
由
因为是
时，
，所以
，所以
；当
是
在
时，< br>有唯一零点
，当
，在有唯一零
时，.
的唯一极大值点.
，由得
得
.
在（0,1）的最大值点，由
，所以.
【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【反馈检测2详细解析】（1）解：∵， ∴.
∵直线的斜率为，且过点，

∴即解得.

令
当时，
，则
，函数在
.
上单调递增，故
从而，当时，，即函数在上单调递增，故.
因此，当时，恒成立，则.
∴所求的取值范围是.
解法2：由（1）得.
当时，恒成立，即恒成立.
令
方程
，则
（﹡）的判别式.
.
（ⅰ）当
故函数在
，即时，则
上单调递减.
时，，得，

由于，
则当时，，即，与题设矛盾.
（ⅱ）当
故函数在
，即时， 则
上单调递减，则
时，
，符合题意.
.

而
由（ⅱ）知，当
故当时，
时，，得
，符合题意.
，从而.
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：由（2）得，当时，，可化为，
又
把
， 从而，.
分别代入上面不等式，并相加得，

.