一旬是多少年：(完整版)导数中的二次求导问题

2020年11月29日发(作者：郗照明)

2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：
导数中的二次求导问题
【知识要点】
1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应 用，既是高
考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考
考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括
抽 象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思
想的渗透和综合 运用，难度较大.
2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有 些问题
“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找
到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综
合问题的 有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途
径.
【方法讲评】
方法 二次求导
使用情景
对函数一次求导得到

之后，解不等式
难度较大甚至根本解不出.

设
解题步骤
，再求
，求出

的解，即得到函数
的单调性，得到函数

的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数

的单调性.
【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数.
（Ⅰ）若，求

的取值范围；（


Ⅱ）证明：

化简得
所以两边乘
，
，所
可得
有
同
以

，
求导有
，
在对
即当

时
＜
＜
，

＞
在
上为增
0
区
函数
，
间
当；< br>
时
；
，
当
＜

时
＜
在
，
0，
区间

所以
上为减函数.
时有最大
在
值，即

.
.
又
，
因为
所以

时，理
当
当
，
同，
时

，
在
＞
即
区间

上为
，
为增
增函
此
函数
数，
时
， 所
则
，
以

综上，
，
也成立.
得证.
易得

方法二
题设
（Ⅰ

，
等价
则
于
：）

.
. 令
则，

当＜
＜
，时

；
时
＞
当
，

的最大值点，所
，
是
以

综上，
.
.
的取值范围是

（Ⅱ）
当
（Ⅰ知，
.
，即
＜
由）

时
＜
，

因为

＜
.
0，所以此时

当

时
. 所
，
以

【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得
自 然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一
些代数变形的技 巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次求导的使
用情景，是一次求导得到< br>解答难度较大甚至解不出来.
之后，
3）二次求导（

之后设
，
的解，
，
求
得到
再求
出
函数
，
即

的单调性，得到函数
的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数

2】设函数
Ⅰ）若
的单调性.

在点
【例
（

处
的值
的切
，
；（
线为
求
Ⅱ）求

Ⅲ）若
的单调区间；
，求证：在
，
（
时

解析（Ⅰ
．
∵
＞
∴【】）

，
处
在
的切
点
线为
∵

的切
，
在
线的斜率
即
点
为

，
，∴
，
切点
∴
为
∴

将切点代入切线方程
，
，
，
所
得
以

；

，

Ⅲ
要证
∵
：当
，
，
时，
（）
∴

，
，
证
＞
：即

令
由于
，
，
，
则只
（由
需证
于不等
：
式
设

是超越不等式,所以此处解不等式
解答不出，所以要构造函数二次求导.）


所以数
单调
.
递增，又因
在
为
函

所以
内存在一的零点，
在
即
在
唯

内存在唯一的零点，
.
【点评】（1）
设这个零点为
于不等式由
二次求导的起因. 2）仅得到函数

是超越不等式,所以不等式
解答不出，所以要构造函数二次求导.这是要
在（

单调递增是不够的，
，所
，所
因为此时
以
以

的单调性还是不知道，所以无法求
.所以必须找到这个零点和零点所在区间，
这个零点 和零点的区间找到很关键很重要，直接关系到

1】【2017课标II，理】已知函数
的
.
单调性和
，【反馈检测

且
(1)求
.
存在唯
(2)证明
一的极大值
：
点
；

反馈检
.
测2】已知函
且
数
，
【

处的
在
切线方程
R
点
为

1）求
.
的值；
时
2）当
，
（（

3
恒成
的取值范围；
证明
立，求
：
实数
当

（）

，
时
N
且
，

.

高考数学热点难点突破技巧第03讲：
导数中二次求导问题参考答案
1答案】（1）
1详细解析】（1）
（2）证明略.
的定义域为
【反馈检测；
【反馈检测


设，
等价
则
于


因为
若，则

单调
.
时
递减
当
，
当；

＞
单调
时
0
递增.
，
，
所以

的极
，
小值
综
是
点，故
上，

.
，
又
所以

有唯一零
在
点
在，

有唯一零点1
时
；
，且当
，
当

时
，
时
，
当
，

因为
.
，所以
是

的唯一极大值点.
，由
得
由

因为
.
在（0,1）的最大值点，
是
由

得
，
.
所以

反馈检测2答案】（1）
2详细解析】（1）解：∵
；（3）见解析.
；（2）
， ∴
【
【反馈检测

直线
.
，
的斜
且过
率为
点
∵

，
解
即
得
∴

令
.

，则

当
.
，
时，
函数

上单调递
在
增，故


从而当
即
时，
数
在
，
，函

因此当
上单
.
调递增，故
时，，

所求
恒
.
成立
的取值
，则
范围是∴

解法2：由（1）得
当
.
.
时，

令
恒
恒成立.
成立
，
，即
则

方程
.
（
.
）的判别式﹡

ⅰ当
时
时
，
，
即
则
，
（）

故函数
，
得
在
，

由于
则当
上单调递减.
，
时，

ⅱ当
，与题设矛盾.
，
即
即
，
（）

时
.
，则
，时

故函数
上单
，符合题意.
调递
在
减，则


而


（ⅱ知，当
，
，
时
从
，
得
而
由）

故当
.
，符合题意.
时，

综上所述，
（3）证明：由2）得，
.
当
取值范围是
时，
的
（

又
，
，
可
，
化
从而
为
，
把

.
分别代入上面不等式，并相加得，



.