季度怎么分：简单任意四边形的求积公式

2020年11月29日发(作者：樊先质)
简单任意四边形的求积公式
----扩展后的婆罗摩笈多公式和海伦公式
设四边形 的的边长分别为a、b、c、d，两对角线长分别为e、f，其夹角θ，四边形的
四顶点分别为A、B、 C、D (如图所示) ，求此任意四边形的面积表达式。
1、〖扩展的婆罗摩笈多公式〗
由三角形面积公式得：S
四边形
＝(12)adsinA+(12)bcsinC
S
2
＝(14)(adsinA)
2
+(14)(bcsinC)
2
+(12)abcdsinAsinC
＝(14)(ad+bc)+(14)(adcosA) +(14)(bccosC)+(12)abcdsinAsinC
＝(14)(ad+bc)
2
-(14)2abcd +(14)(a
2
d
2
cos
2
A)
+(14)(b
2
c
2
cos
2
C)+ (12)abcdsinAsinC
其中：因f
2
=a
2
+d2
-2adcosA=b
2
+c
2
-2bccosC
有：a
2
+d
2
-b
2
-c
2
=2ad cosA -2bccosC
(a
2
+d
2
-b
2
-c
2
)
2
=(2adcosA)
2
+(2bccosC )
2
-8abcdcosAcosC
得：4(adcos A)
2
+4(bccosC)
2
=(a
2
+d
2< br>-b
2
-c
2
)
2
-8abcdcosAcosC
代入时有: S
2
＝(14)(ad+bc)
2
-(116)(a< br>2
+d
2
-b
2
-c
2
)
2
-(14)2abcd
-(12)abcdcosAcosC+(12)abcdsinAsinC
S
2＝(14)(ad+bc)
2
-(116)(a
2
+d
2
-b
2
-c
2
)
2
-(14)2abcd-(12)ab cdcos(A+C)
＝(116)｛〔4(ad+bc)
2
+(a2
+d
2
-b
2
-c
2
)
2
〕｝-(12)abcd-(12)abcdcos(A+C)
＝(116)｛〔4(ad+bc)< br>2
+(a
2
+d
2
-b
2
-c
2< br>)
2
〕｝-(12)abcd｛1- cos(A+C)｝
＝(1 16)｛〔2(ad+bc)+(a
2
+d
2
-b
2
-c< br>2
)〕〔2(ad+bc)-(a
2
+d
2
-b
2< br>-c
2
)〕｝
- abcd cos
2
〔(A+C)2〕
＝(116)｛〔(a+d)
2-(b-c)
2
〕〔(b+c)
2
-(a-d)
2
〕｝ - abcd cos
2
〔(A+C)2〕
＝(116)｛〔(a+d)+(b-c)〕〔(a+d)-(b-c)〕〔(b+c)+(a-d)〕〔 (b+c) -(a-d)〕｝
- abcd cos
2
〔(A+C)2〕
令2p＝a+b+c+d，代入后化简:
S
2
＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd cos
2
〔(A+C)2〕
S

＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd cos
2
〔(A+C)2〕｝
此为著名的扩展后的婆罗摩笈多公式。
2、〖婆罗摩笈多公式的基本形式〗

=1=
222222
婆罗 摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若四边形ABCD为园
内接四边形时，则有 cos〔(A+C)2〕=0，则上面推导的面积公式为：
S

＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)- abcdcos〔(A+C)2〕｝
＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)｝ 就是著名的婆罗摩笈多公式。
3、〖更特殊的情况〗
若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：
证明：由于四边形内接于圆O，所以：


其中p为半周长：
又因为四边形外切圆C，所以：
则：
同理:
综上：
， ，




证毕。
4、〖三角形面积的海伦公式〗
海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取
S

＝√｛p (p-a)(p-b)(p-c)｝
5、〖若四边形的对角线夹角为θ时〗
若四边形的对角线夹角为θ时，四边形的面积 S＝(14) │(a
2
-b
2
+c
2
-d
2
) tanθ│
证明：因：a
2
＝e
1
2
+f
12
-2 e
1
f
1
cos (180-θ〕
b
2
＝f
1
2
+ e
2
2
-2 f
1
e
2
cosθ
c
2
＝e
2
2
+f
2
2
-2 e
2
f
2
cos (180-θ〕
d
2
＝f
2
2
+ e
1
2
-2 f
2
e
1
cosθ
得：a
2
- b
2
+ b
2
-d
2
＝-2(e
1
f
1
+ f
1
e
2
+ e
2
f
2
+ f
2
e
1
) cosθ
又因：(12) (e
1
f
1
+ f
1
e
2
+ e
2
f
2
+ f
2
e
1
) sinθ＝S
四边形
所以：S＝(14) │(a
2
-b
2
+c
2
-d
2
) tanθ│ 证毕。
6、〖若四边形的两对角线长为e、f时〗
。
。
的特殊情形。

=2=
若四边形的两对角线为e、f时， S＝(14) √｛4ef- (a-b+c-d)｝
证 明：因：a
2
＝e
1
2
+f
1
2
-2 e
1
f
1
cos (180-θ〕
b
2
＝f
1
2
+ e
2
2
-2 f
1
e
2
cosθ
c＝e
2
+f
2
-2 e
2
f
2
cos (180-θ〕
d
2
＝f
2
2
+ e
1
2
-2 f
2
e
1
cosθ
得：a
2
- b
2
+ b
2
-d
2
＝-2(e
1
f
1
+ f
1
e
2
+ e
2
f
2
+ f
2
e
1
) cosθ
(a
2
- b
2
+ b
2
-d
2
)
2
＝4(e
1
f
1
+ f
1
e
2
+ e
2
f
2
+ f
2
e
1
)
2
cos
2
θ
(a
2
- b
2
+ b
2
-d
2
)
2
＝4(ef)
2
cos
2
θ
(其中：因e+ e＝e， f+ f＝f)
1212
2222222
。
222
。
又因：S＝(12) ef sinθ，S
2
＝(14) (ef)
2
sin
2
θ＝(14) (ef)
2
(1+cos
2
θ)
得：S
2
＝(14) e
2
f
2
-(14) (ef)
2
cos
2
θ＝(14) e
2
f
2
-(14)
2
(a
2
- b
2
+ b
2
-d
2
)
2

所以：S＝(14) √｛4ef- (a-b+c-d)｝ 证毕。
7、〖若四边形为平行四边形时〗
若四边形为平行四边形时，且平行四边形的边长分别为a、 b(a≥b)，两对角线的夹角
为θ(θ＜90)，则平行四边形的面积S＝(12) (a
2
-b
2
) tanθ，且tan(θ2)≤(ba)。
证明：因：四边形为平行四边形，则在上题中有c=a，d=b，
所以：S＝(14) │(a
2
-b
2
+a
2
-b
2
) tanθ│＝(12) │(a
2
-b
2
│tanθ
同时：由题意设两对角线分别为2x、2y，
有：a
2
＝e
2＋f
2
＋2efcosθ，b
2
＝x
2
＋y
2
－2xycosθ，
xy＝(a
2
－b
2
)(4 cosθ)，x
2
＋y
2
＝(a
2
＋b
2
)2

得：x
4
－[(a
2
＋b
2
)2] x
2
＋[(a
2
－b
2
)(4cosθ)]
2＝0
依题意，方程的根判别式应大于等于零，即B
2
－4AC≥0
故 有：{－[(a
2
＋b
2
)2]}
2
－4[(a
2
－b
2
)(4cosθ)]
2
≥0，
[(a
2< br>＋b
2
)
2
－[(a
2
－b
2
)< br>2
cos
2
θ≥0
（因a≥b， 0＜α＜90
。
，有a
2
≥b
2
，cosθ＞0)
进而得：(a
2
＋b
2
)≥(a
2
－b
2
)cosθ，(1－cosθ)(1＋cosθ)≤b
2
a
2
，
tan
2
(θ2) ≤b
2
a
2
， tan(θ2)≤ba。 证毕。
20141012於上海松江
。
2222222

=3=