燕隼数学教育测量与评价

2020年11月29日发(作者：莫君陈)
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数学教育测量与评价

专题讲座 第一章 均
值和方差的检验题 一、参数假设检
验的几个基本因素 关 于什么是参
数假设检验，我们先看一个实际例子。
“某班语文课教学采用研讨式方法后,对其中10名同学测验,平均成绩为85分。
已知这个班过去测验成绩服从正态分布,
其均值 保持在82分左右,这意味着总体
平均分 是给定的,那么现在问采用研
讨式方法后,其 平均成绩是否和原来
一致?” 如果我们假设采用研讨式方法
后的平均成绩和采用研讨式方法前 的平
均成绩一致,则需要判断这种假设对不对?
如果对,对的把握性有多大? 如果不对,
那么平均成绩比原来是增加还是减少?
当然,我们不能只看到85分高于82分就
认为比原来高了,这是因为抽取样本时受
到随机因素的干扰,我们不能以样本参数
对总 体参数进行单纯比较而简单地下结
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论。 这个例子所反映问题的是: 总
体分布已知,对总体参数作假设,用统计
理论来判断这一假设正 确与否,统计学上
称为参数假设检验。 一般说来，
进行假设检验应重点关注以下几个基本
因素： 其一，假设。 假设< br>分为参数假设和非参数假设.参数假设指
总体分布已知,关于未知参数的假设,教
育研究 中用的最多的是已知总体服从正
态分布,对总体均值某校五年级学生期末
语文成绩 ,方差 ,总体方差
做出假设。例如, 在过 在原有状
况下不变,而均值 去常规教学下为
82分。为了提高教学质量,采用新的教学
法后抽测10名同学,其平均成绩为85分,
这时我们提出采用新教学法后总体均值
称 为原假设或零假设,相对于 为
82分的假设,记为 ,还要给出一个备
选假设,记为 对这个例子我们不提
本均值85大于82。 小于82这样
的假设,这是因为这样的假设是没有根据
的,原因在于样 其二，假设检验。
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对于一个假设,我们关心 的是“假设”是否
成立。判断假设成立与否的方法叫假设
检验，最简单的检验是显著性检验。 例
如，已知 ，对 进行检验。
其三，检验水平。 当原假设正确
时，若否定原假设犯错误的概率为
＝。 ，称为检验水平。一般地，
取值为, 和，但常用的是其四，两类错误。
统计学上有两类错误: 第一类错误和第
二类错误。 第一类错误是,
实际上,显著性水平 是正确的,但检
验的结论却是否定,记其概率为 就
是犯第一类错误的概率,取的越大,否定
的可能性就越大。 第二类错误是,
是不对的,但检验结论却认为 是正
确的,记其概率为 犯这两类错误的
后果通常是不一样的,如检验某人是否患
某种疾病,设:该人患有此 种疾病 ，则
第二类错误是无病当作有病，但第一类
错误却是有病当作无病，有可能使该人
延误 病情而发生意外。可见犯第一类错
误的后果较第二类错误的后果严重。最
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理想的情况是找到一种检验方法使得两
类错误的概 率都为0，但实际情况是当样
本量事先给定的情况下，第一类错误小，
第二类错误就大；第二类 错误小，第一
类错误就大。也就是说不可能找到一个
方法能同时控制两类错误，退而求其次，< br>在样本量给定的情况下，把第一类错误
控制在检验水平 以内，尽量使第二
类小一些。 其五，检验的一般步
骤。 第一步：建立原假设 备选
假设＝not 。 第二步：构造一个检
验统计量布。 ，在原假设正确的
条件下得到的分 第三步：观测到的
数据可以得到统计量 p=P(| |≥|t|)
的观测值t，计算p值 若p值小于
检验水平平 ，则得出的结论是：原
假设是不成立的；若p大于检验水 ，
则需要进一步采取别 ，则得出的结
论是：原假设是成立的；若p等于检验
水平 的方法来处理一下。 二、
总体均值、方差和概率的检验问题 总体
均值的检验 总体均值的检验方法
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有两种:检验和检验，这里我们主要介 绍
常用的t检验。利用服从分布的统计量进
行的检验叫做检验.检验根据处理问题的
不 同主要涉及下面的三类检验问题。
第一，单正态总体，总体方差 未知，
对总体均值 进行检验。 在实
际应用中往往只知道总体服从正态分
布，参数本方差 作为 的一个估
计，从而构造t检验。设未知,设假设问
题为 是未知的，常用的方法就是用
样 为来自正态总体＝not .
的一个样本, 在 成立条件下,T统计
量服从t分布，见如下 ()
其中为样本方差，为样本均值，为自度。
再样本数据计算出T统计量 的观测
值值,在成立条件下计算p值 p＝
P(|T|>|t|)。 若p值小于检验水平检
验水平 ，则得出的结论是：总体均
值 与 与有显著差异；若p值大
于 ， ，则得出的结论是：总体
均值没有显著差异；若p值等于检验水
平 则需要进一步采取别的方 法来处
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理一下。 例1： 已往资料知道某区
6岁女童平均体重为,现从某幼儿园抽测
10名女童其体重数据为，，，,, ,,,,。问该幼
儿园6岁女童平均体重与某区6岁女童
平均体重有无显著差异？。 解：
为样本量，未知，检验问题为 ＝not
则T统计量服从自度为9的t分布。样
本数据计算得 p＝
P(|T|>|t|)＝> . p值大于检
验水平说明该幼儿园6岁女童平均体重
与本区6岁女童平均体重无显著性差异。
第二，方差，未知，但=，比较两总体均
值和。 设样本,记 ,分别来自
正态总体,的两个独
立 ， ， 检验问
题为 ＝not。 在成立条件下,构造
统计量T, () 给定检验水
平值 p＝P(|T|>|t|)。 ,再样本
数据计算出T统计量的观测值值,在成立
条件下计算p 若p值小于检验水平
于检验水平 ，则得出的结论是：总
体均值 和 和有显著差异；若 p
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值大 ， ，则得出的结论是：总
体均值没有显著差异；若p值等于检验
水平 则需要进一步采取别的方法来
处理一下。 特别地，当时，称为
配对数据，统计量为 上一页
1 2 3 4 下一页 () 专
题讲座 第一章 均值和方差的检验题
总体均值的检验 例2：从某中学初三学
生中随机选定两个组(每组10 人)进行语
文教学改革试验。甲组采用讨论式方法,
乙组采用讲授式方法,期末测验甲组平均< br>成绩为78分,方差为15分,乙组平均成绩
为73分, 方差为16分,问两种方法效果
有无差异?(布。) )(设成绩服从正态分解：,
假定两个总体的方差相等。

检验问题为 ＝not 则
T统计量服从自度为18的t分布，样本
数据计算出T统计量的观测值值为
p值为 p＝P(|T|>|t|)＝|t|)＝0 附小三
年级学生采用结构教材前后成绩
使用使用结结构构教材教材 后
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前 70 82 60 62 85 75 74 90 58 72 总和
74 90 68 64 92 75 70 95 62 78 4 8
4 2 7 0 -4 5 4 6 40 0 4 0 2 3 -4 -8 1
0 2 0 16 0 4 9 16 64 1 0 4 130
解：设采用结构教材前成绩样
本 , ,采用结构教材后。 属
同一组对象进行两次实验，故为相关样
本。 而差数 为D的均值，于
服从正态分布，样本均值， 未知，
故 也未知. ，其中为D的方差，
检验问题为 ：=0 ＝not 在成
立条件下，构造T统计量,
则T统计量服从自度为9的t分布， 样
本数据计算出T统计量的观测值值为
其中样本均值为 样本方差为 p值为 p
＝P(|T|>|t|)＝ 差没有显著性变化. 。p值
大于检验水平说明该幼儿园6岁儿童这
项智力测定成绩方检验：利用均值分布
统 计量进行的检验叫做，检验。检验用
来检验当两正态总体和。 未知，方差
未知时比较两正态总体方差设本,记 ,
分别来自正态总体的两个独立样
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我们在检验中进行双正态 总体，未知假
定=，，独立样本比较两总体均值和时，。
因此在进行这类问题的检验前，首检先
要检验两总体方差是否一致，这就要用
到验。 检验问题为 ＝not 在成立
条件下,构造服从自度为和的F分布的统
计量 其中为第一自度，为第二
自度。给定检验水平,再样本数据计算，
则得出的出F统计量的观测值f值,在结
论是：总体 方差方差和和成立条件下计
算p值，若p值小于检验水平有显著差
异；若p值大于检验水平，则 得出的结
论是：总体没有显著差异；若p值等于
检验水平，则需要进一步采取别的方法
来处理一下。 例6：利用例3的数据，
检验问题为 ＝not 在成立条件下,
构造服从自度为＝39和＝29的F分布的
统计量 样本数据计算出F统计量的
观测值f值 在成立条件下计算p
值＝> 。 p值大于检验水平说明男、女
新生体重的方差无显著性差异。 上一
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，单击[OK],执行操作。
单样本t检验实例应用 某学校统一
考试的高等数学的平均成绩为75分，该
校经济学院某班的成绩见下表。请问该
班的成绩与全 校的平均成绩的差异显
著吗？ 编 1 2 3 4 5 6 7 8 9 号
成 97 82 98 87 56 89 60 68 绩 90
编 10 11 12 13 14 15 16 17 号
成 96 97 75 60 92 64 83 76 绩
编 18 19 20 21 22 23 24 25 26 号 成
74 70 55 85 86 56 71 65 77 绩 编
号 27 成绩 56 28 60 29 92
30 54 31 87 32 80 建立
SPSS数据文件。 根据该班的高等数学
的成绩建立SPSS 数据文件。
One-Sample T Test的操作步骤。 ①读取
数据文件，点击[Analysis]/[Compare
Means] /[ One-Sample T Test],打开单样
本t检验对话窗口。 ②将成绩变量移入
[Test Variable]框中。 ③ 在Test Value后
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的参数栏中键入总体均值75. ④点击
[OK],执行操作。 输出结果以及解释 单
样本t检验的结果输出包括样本的基本
描述统计结果与t检验结果。 表1输出
的结果从左至右依次为样本的数量、均
值、标准差和标准误。 表1 One- Sample
Statistics Std. Deviation Std. Error Mean
N Mean 成32 绩 表2输出的结果从
左至右依次为t值、自度、双 尾检验的p
值、样本均值与总体均值的差值和均值
差值的95%臵信区间。均值插值的95%< br>臵信区间=均值差值〒标准误，即Lower
和Upper两项数值的含义。在此实验结
果中，样本均值与总体均值的差值落在
两项数值之间的概率为95%。 表2
One- Sample Test t df Sig. Test Value =
75 Mean 95% Confidence Interval
(2-tailed) 成绩 .466 31 .645
Difference of the Difference Lower -
Upper 结果的报告 T检验结果显示，
这个班的高等数学的成绩与该学校高等
数学平均成绩之间的差异不显著，
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t=,df=31,p＞ 上一页 1 2 3 4 下一页
专题讲座 第一章 均值和方差的检验题
Independent-Sample T Test的操作选项
依次点击[Analysis]/[Compare Means]
/[ Independent-Samples T Test], 打开独
立样本t检验的对话窗口。 选择检验变
量。从左侧变量列表中选定进行差异检
验的变量，单击向右箭头，将其移入[Tes t
Variable(s)]框中。 选择分租变量并定义
组别。从左侧变量列表中选择一 个分组
变量，单击向右箭头按钮，将变量移入
[Group Variable]框中。单击[Define
Groups]按钮，打开定义组别的对话窗口。
如果Grouping Variable是分类变量且只
有两个值，选择[Use Specified Values]选
项栏，在Group后面的参数框中分别键
入两组的分 类变量值；如果Grouping
Variable是分类变量且有多个值，选择
[Use Specified Values]选项栏，并在
Group后面的参数框中分别键入特定两
组的分类变量值，系统只对具有这两个
组进行均值比较；如果Grouping Variable--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅 读下载---------------------
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是连续变量，选择[Cut Point] 选项并在
其后面的参数栏中键入一个值，系统会
将Grouping Variable按大于等于和小于
该值分成两组，然后对它们进行均值比
较。 臵信区间与缺失值处理采用系统
默认方式。 点击[OK]，执行操作。
Independent-Sample T Test应用举例 某
城市中考成绩出来后，有 关教育部门想
知道学校a1重点班和学校a2重点班的
数学考试成绩是否具有显著性差异。请< br>用Independent-Sample T Test来进行分
析。数据参见附件。 建立SPSS文件
将两个学校重点班学生的数学中考成绩
分别输入建立SPSS文件。
Independent-Sample T Test的操作步骤。
①依次点击[Analysis]/[Compare Means]
/[ Independent-Samples T Test], 打开独
立样本t检验的对话窗口。 ②将成绩变
量输入[Test Variable]中。 ③将学校变
量移入[Grouping Variable]框中。单击
[Define Gr oup]按钮，在Group后面的参
数框中分别键入两组的分类变量值1和
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2.点击[Continue]按钮。 ④点击[OK]，
执行操作。 输出的结果及解释 独立
样本t检验的结果输出包括两个独 立样
本的基本表述统计量和t检验结果，见下
表。 表1的输出结果从左到右依次为两
个样本的人数、均值、标准差和标准误。
表1

Group Statistics 学
校 成绩 8 0 2N 3
Mean Mean 表2输出的结果包
括方差齐性检验结果和t 检验结果。方
差齐性包括两个假设：假设方差是齐 的
以及假设方差是不齐的。如果方差齐性
检验的结果是不显著的，选择Equal
Variances Assumed，报告上面一行的t
检验结果：如果方差齐性检验的结果 是
显著的，选择Equal Variances not
Assumed，报告上面的 一行的t检验
结果。 表2 Independent
Samples Test Levene’s Test
t-test for Equality of Means 95%
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