古神兽最新人教版八年级数学下册测试题及答案全套

2020年11月29日发(作者：成彦雄)
最新人教版八年级数学下册测试题及答案全套
《二次根式》单元测试

考试 范围：
xxx
；考试时间：
100
分钟；命题人：
xxx
学校：
___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
题号

得分




评卷人



得

分

一


二


三


总分


一．选择题（共
10
小题）

1
．若
A
．
x
≥

2
．若代数式
++
1
在实数范围内有意义，则
x
满足的条件是（ ）

B
．
x
≤
C
．
x= D
．
x
≠

有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）

A
．
x
≥
1 B
．
x
≥
2 C
．
x
＞
1 D
．
x
＞
2
3
．若代数式有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）

A
．
x
≠
2 B
．
x
≥
0 C
．
x
＞
0 D
．
x
≥
0
且
x
≠
2
4
．下列根式是最简二次根式的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

5
．下列计算正确的是（ ）

222
A
．
a< br>2
+
a
2
=2a
4
B
．（
a
﹣
b
）
=a
﹣
b C
．
=a
+
b
5210
D
．（
a
）
=a
6
．计算
A
．
B
．
C
．
的结果是（ ）

D
．

7
．下列运算中，正确的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
=
﹣
3
8
．下列计算正确的是（ ）

A
．
3
C
．﹣
3
×
4
=
=12 B
．
=6 D
．
=5

9
．如果一个三角形的三边长分别为
1，
k
，
3
，则化简
A
．﹣
5 B
．
1
10
．
A
．
3



评卷人



得

分

+
B
．
5 C
．
9
C
．
13 D
．
19
﹣
4k
的整数部分是（ ）

的结果是（ ）

+
…
+
D
．
6
二．填空题（共
4
小题）

11
．若二次根式
12
．使
有意义，则实数
x
的取值范围是

．

有意义的
x
的取值范围是

．

有意义，则
x
的取值范围是

．
13
． 要使代数式
14
．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦 九韶公式，也叫三斜求
积公式，即如果一个三角形的三边长分别为
a
，
b，
c
，则该三角形的面积为
S=
．现已知△
ABC
的三 边长分别为
1
，
2
，

，则△
ABC
的面积为

．



评卷人



得

分

三．解答题（共
6
小题）

15
．计算：

（
1
）
（
2
）
（
3
）（
2（
4
）
+
+
10
+
3
；

+
2
；

）；

﹣+．

16< br>．（
1
）计算：（
（
2
）解方程组：
2
+< br>1
）﹣
6
；

．

17
．已知x=
，
y=
，且
19x
2
+
123xy
+
19y
2
=1985
．试求正整数
n
．
18
．已知：
a
、
b
、
c
为正实数，且
a
+
b
+
c=1
．

（
1
）比较大小：
a
2



a
；

（
2
）试判断与
4
的大小关系，并说明理由．

19
．阅读下列材料，然后回答问题：

在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

方法一：
==
方法二：
===
（
1
）请用两种不同的方法化简：；

（
2
）化简：+．

20
．观察下列计算：

==
；
==
；
=
；
…
则：

（
1
）
=


，
=


；

（
2
）从计算结果找出规律：

；

（
3
）利用这一规律计算：

（+++
…
+）（）的值．




=
参考答案与试题解析



一．选择题（共
10
小题）

1
．若
A
．
x
≥

++
1
在实数范围内有意义，则
x
满足的条件是（ ）

B
．
x
≤
C
．
x= D
．
x
≠

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出
x
的值．

【解答】解：由题意可知：
解得：
x=
故选（
C
）



2
．若代数式有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）


A
．
x
≥
1 B
．
x
≥
2 C
．
x
＞
1 D
．
x
＞
2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出
x
的范围；

【解答】解：由题意可知：
∴解得：
x
≥
2
故选（
B
）



3
．若代数式有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）


A
．
x
≠
2 B
．
x
≥
0 C
．
x
＞
0 D
．
x
≥
0
且
x
≠
2
【分析】 根据二次根式有意义的条件可得
x
≥
0
，根据分式有意义的条件可得
x
﹣
2
≠
0
，再解即可．

【解答】解：由题意得
x
≥
0
，且
x
﹣
2
≠
0
，

解得：
x
≥
0
，且
x
≠
2< br>，

故选：
D
．



4
．下列根式是最简二次根式的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【分析】判定一个二次根式是 不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时
满足，同时满足的就是最简二 次根式，否则就不是．

【解答】解：
A
、
B
、
C
、
D
、
故选
A
．



符合最简二次根式的两个条件，故本选项正确；

被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；

被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；

被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误．

5
．下列计算正确的是（ ）

222
A
．
a< br>2
+
a
2
=2a
4
B
．（
a
﹣
b
）
=a
﹣
b C
．
=a
+
b
5210
D
．（
a
）
=a
【分析】根据整式的运算以及二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（< br>A
）原式
=2a
，故
A
错误；

（
B
）原式
=a
﹣
2ab
+
b
，故
B
错误；

（
C
）
故选（
D
）



6
．计算
A
．
B
．
C
．
的结果是（ ）

D
．

已是最简二次根式，故
C
错误；

22
2
【分析】根据二次根式的除法法则求解．

【解答】解：原式
=
故选
A
．



7
．下列运算中，正确的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
=
﹣
3
=
．

【分析】根据二次根式的性质对
A
、
B、
C
、
D
四个选项进行一一计算判断．

【解答】解：
A
、
B
、
=
=
，故
A
错误；
=4
，故
B
错误；

C
、∵根号里面不能为负，故
C
错误；

D
、
=
﹣
3
，故
D
正确；

故选
D
．



8
．下列计算正确的是（ ）

A
．
3
C
．﹣
3
×
4
=
=12 B
．
=6 D
．
=5

【分析】根据二次根式乘除运算法则和平方差公式对各个选项进行计算，即可判断．

【解答】解：
3
=
﹣
3=
﹣
=
故选：
D< br>．



9
．如果一个三角形的三边长分别为
1，
k
，
3
，则化简
A
．﹣
5 B
．
1 C
．
13 D
．
19
﹣
4k
的结果是（ ）

=
﹣
×
4=24
，
A
错误；

=3
×
5=15
，
B
错误；

，
C
错误；

=5
，
D
正确．

【分析】首先根据三角形的三边关系确定
k
的取值范围，由此即可求出二次根式的值与 绝对值的值，再计
算即可解答．

【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为
1
，
k
，
3
，

∴
2
＜
k
＜
4
，

22
又∵
4k
﹣
36k
+
81=
（
2k
﹣9
），

∴
2k
﹣
9
＜
0
，
2k
﹣
3
＞
0
，

∴原式
=7< br>﹣（
9
﹣
2k
）﹣（
2k
﹣
3
）< br>=1
．

故选
B
．



10
．
A
．
3
+
B
．
5 C
．
9
+
…
+
D
．
6
的整数部分是（ ）

【分析】这是一比较繁琐的有关于二次根式的加减法，针对这 样的题型，可以先分母有理化，再寻找抵消
规律．

【解答】解：原式
=
+
…
+

=
++
…
+

=
=
=
﹣
1
+
+

+
…
+
+
…
+


=
﹣
1
+
10
=9
．故选
C
．



二．填空题（共
4
小题）

11
．若二次根式有意义，则实数
x
的取值范围是
x
≥
2
．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x
﹣
2
≥
0
，再解即可．

【解答】解：由题意得：
x
﹣
2
≥
0
，

解得：
x
≥
2
，

故答案为：
x
≥
2
．



12
．使有意义的
x
的取值范围是
x
≥
6
．

【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．

【解答】解：∵有意义，

∴
x
的取值范围是：
x
≥
6
．

故答案为：
x
≥
6
．



13
．要使代数式有意义，则
x
的取值范围是
x
≥且
x
≠
1
．

【分析】直接利用二次根式的定义、分式的有意义的条件分析得出答案．

【解答】解 ：由题意可得：
2x
﹣
1
≥
0
，
x
﹣1
≠
0
，

解得：
x
≥且
x
≠
1
．

故答案为：
x
≥且
x
≠
1
．



14
．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦 九韶公式，也叫三斜求
积公式，即如果一个三角形的三边长分别为
a
，
b，
c
，则该三角形的面积为
S=
．现已知△
ABC
的三 边长分别为
1
，
2
，，则△
ABC
的面积为
1
．


【分析】根据题目中的面积公式可以求得△
AB C
的三边长分别为
1
，
2
，
【解答】解：∵
S=< br>∴△
ABC
的三边长分别为
1
，
2
，
S=< br>故答案为：
1
．



三．解答题（共
6
小题）

15
．计算：

（
1
）
（
2
）
（
3
）（
2（
4
）
+
+
10
+
3
；

+
2
的面积，从而可以解答本题．

，

，则△
ABC
的面积为：

=1
，

；

）；

﹣+．

【分析】（
1
）先把化为最简二次根式，然后合并即可；

（
2
）根据二次根式的除法法则运算；

（
3
）利用完全平方公式计算；

（
4
）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．

【解答】解：（
1
）原式
=2
=5
；

﹣

+

+
3
（
2
）原式
=
=3
﹣
=3
；
< br>+
（
3
）原式
=12
+
12
=18
+
12
；

+
2
+
6
（
4
）原式
=3
=


+
3
．

﹣
2
+

16
．（
1
）计算：（
（
2
）解方程组：
2
+
1
）﹣
6
；

．

【分析】（
1
）先利用完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；

（
2
）利用加减消元法解方程组．

【解答】解：（
1）原式
=3
+
2
=4
；

（
2
）①+②得
4x=5
，解得
x=1
，

把
x=1
代入①得
1
+
2y=5
，解得
y =2
，

所以方程组的解为


17
．已知
x=
，
y=
22
，且
19x
+
123xy
+
19y=1985
．试求正整数
n
．

2
）< br>=2n
+
1
﹣
2
+
1
﹣
2
．

x=
【分析】首先化简
x
与
y
，可得 ：（
y=2n
+
1
+
2
，，所以
x
+y=4n
+
2
，
xy=1
；将所得结果看作整体代入方程，化简 即可求得．

【解答】解：化简
x
与
y
得：
x=< br>∴
x
+
y=4n
+
2
，
xy=1
，

22
∴将
xy=1
代入方程，化简得：
x
+y=98
，

222
∴（
x
+
y
）< br>=x
+
y
+
2xy=98
+
2
×
1 =100
，

，
y=
，

∴
x
+
y=10
．

∴
4n
+
2=10
，

解得
n=2
．



18
．已知：
a
、
b
、
c
为正实数，且
a
+
b
+
c=1
．

2
（
1
）比较大小：
a
＜
a
；

（
2
）试判断与
4
的大小关系，并说明理由．

【 分析】（
1
）根据
a
、
b
、
c
为正实数， 且
a
+
b
+
c=1
，可以得到
a
、
b
、
c
的取值范围，因为正的真分数的平
方小于它本身，本题得以解决；< br>
（
2
）首先判断与
4
的大小关系，然后对所求的式子进行变 形，即可证得结论成立．

【解答】解：（
1
）∵
a
、b
、
c
为正实数，且
a
+
b
+
c=1
，

∴
0
＜
a
＜
1
，
0
＜
b
＜
1
，
0
＜
c
＜
1
，

∴
a
＜
a
，

故答案为：＜；

（
2
）
理由：方法一：∵
=3a
+
1
+
3b
+
1
+
2
=3
（
a
+
b
）+
2
＞[
3
（
a< br>+
b
）+
1
]+
2
=
∴
同理可证，
∴
∵
a
+
b
+
c=1
，

∴
即
=
＞
4
．

，

＞
＞

，

，

＞，


+
2

＞
4
，


2
222
方法二：由（
1
）知
a
＜
a
，则
b
＜
b
，
c
＜
c
，

∴
= a
+
1
+
b
+
1
+
c
+
1=a
+
b
+
c
+
3
，

∵
a
+
b
+
c=1
，

∴
a
+
b
+
c
+
3=4
，

即


=
＞
＞
4
．

19
．阅读下列材料，然后回答问题：

在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

方法一：
==
方法二：
===
（
1
）请用 两种不同的方法化简：
（
2
）化简：
；

+．
< br>【分析】（
1
）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案 ；

（
2
）结合题意，可将原式化为（﹣+﹣+﹣+
…
+﹣ ），继而求得答案．

【解答】解：（
1
）方法一：
===
﹣；

方法二：

（
2
）原式
=
（


===
﹣；

﹣+﹣+﹣+
…
+﹣）
=
（﹣）
=
﹣．

20
．观察下列计算：

=
=
则：

（
1
）
=
，
=
=
；

（
n
是正整数） ；

=
；
…
；
==
；
=
（
2
）从计算结果找出规律：
（
3
）利用这一规律计算：

（+++
…
+）（）的值．

【分析】将分子、分母同时乘以分母的 有理化因式，使用平方差公式，分母变为
1
．

【解答】解：（
1
）
=
=
=

；




=
=
=
．

（
2
）
=
（
n
是正整数）

（
3
）（+++
…
+）（）

=
[（）+（）++
…
+（）]（）

=
（+++）（）

=
（﹣
1
）（）

=2006
﹣
1
=2005


《勾股定理》单元测试

考试范围：
xxx
；考试时间：
1 00
分钟；命题人：
xxx
学校：
___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
__ _________
题号

一

二

三

总分

得分




评卷人

得

分


一．选择题（共
10
小题）

1
．直角三角形的三边为a
﹣
b
，
a
，
a
+
b
且a
、
b
都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）

A
．
61 B
．
71 C
．
81 D
．
91
2
．如图，在
4
×
4
方格中作 以
AB
为一边的
Rt
△
ABC
，要求点
C
也在格点上，这样的
Rt
△
ABC
能作出（

A
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
6
个

）

3
．如图，一个梯子
AB
长
2.5
米，顶端< br>A
靠在墙
AC
上，这时梯子下端
B
与墙角
C
距离为
1.5
米，梯子滑
动后停在
DE
的位置上，测得
BD
长为
0.5
米，则梯子顶端
A
下落了（ ）米．


A
．
0.5 B
．
1 C
．
1.5 D
．
2
4
．下列各组线段中的三个长度：①
9
，
12
，
15
；②
7
，
24
，
25
；③
3
2
，
4
2
，
5
2
；④3a
，
4a
，
5a
（
a
＞
0
）；⑤
m
2
﹣
n
2
，
2mn
，
m
2
+
n
2
（
m
，
n
为正整数，且
m
＞
n
）其中可以构成直角三角形的有（ ）

A
．
5
组
B
．
4
组
C
．
3
组
D
．
2
组

5
．如图，已知直线
a
∥
b
，且
a
与
b
之 间的距离为
4
，点
A
到直线
a
的距离为
2
，点
B
到直线
b
的距离为
3
，
AB=
．试 在直线
a
上找一点
M
，在直线
b
上找一点
N
，满足
MN
⊥
a
且
AM
+
MN
+
NB
的长度和最短，
则此时
AM
+
NB=
（ ）


A
．
6 B
．
8 C
．
10 D
．
12
6
．一支长为
13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是
4cm
、
3cm
、
16cm
的长方体
水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子．

A
．
13cm B
．
4cm C
．
12cm D
．
cm
7
．若直角三角形的两条直角 边长为
a
，
b
，斜边长为
c
，斜边上的高为
h，则有（ ）

A
．
ab=h
2
B
．

D
．
a
2
+
b
2
=2h
2
C< br>．
8
．如图，在
4
×
5
的方格中，
A
、
B
为两个格点，再选一个格点
C
，使∠
ACB
为直角， 则满足条件的点
C
个
数为

（ ）


A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6
9
．已知
a
，
b
，
c< br>为△
ABC
三边，且满足
a
2
c
2
﹣
b
2
c
2
=a
4
﹣
b
4
，则它 的形状为（ ）

A
．直角三角形
B
．等腰三角形

D
．等腰三角形或直角三角形
C
．等腰直角三角形

10
．如图，小方格的面积是
1
，则图中以格点为端点且长度为
5
的线段 有（ ）


A
．
4
条
B
．
3
条
C
．
2
条
D
．
1
条




评卷人



得

分

二．填空题（共
4
小题）

11
．点
A
、
B
、
C
在格点图中的位置如图
5
所示，格点小正方形的边长 为
1
，则点
C
到线段
AB
所在直线的
距离是

．


12
．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾 股定理，创造了一幅
“
弦图
”
，后人称其为
“
赵爽弦图”
，如图
1
所
示．在图
2
中，若正方形
ABC D
的边长为
14
，正方形
IJKL
的边长为
2
，且
IJ
∥
AB
，则正方形
EFGH
的边长
为

．


13
．如图，在△
ABC
中，
AB=BC=8
，
AO=BO
，点
M
是射线
C O
上的一个动点，∠
AOC=60°
，则当△
ABM
为
直角 三角形时，
AM
的长为

．


14．
AB=AC=5
，
BC=2
，如图，△
ABC
中，以
AC
为边在△
ABC
外作等边三角形
ACD
，连接
BD
，则
BD=


．





评卷人



得

分

三．解答题（共
6
小题）

15
． 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数
a
，
b
，
c
，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数
通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公 式为：
m
，其中
m
＞
n
＞
0
，
n
是互质的奇数．

应用：当
n=1
时，求有一边长为
5的直角三角形的另外两条边长．

16
．如图，某天晚上
8
点时 ，一台风中心位于点
O
正北方向
160km
点
A
处，台风中 心以每小时
20km
的速度向东南方向移动，在距台风中心≤
120km
的范 围内将受到台风影响，同时，在点
O
有一辆汽车以每
小时
40km
的 速度向东行驶．

（
1
）汽车行驶了多少小时后受到台风影响？

（
2
）汽车受到台风影响的时间有多长？


17
．如图，四边形
ABCD
是某新建厂区示意图，∠
A=75°
，∠
B =45°
，
BC
⊥
CD
，
AB=500
现在要在厂 区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？

米，
AD=200
米，

18
．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口
O
出发，甲轮船向南偏东
4 5°
方向航行，乙轮船以每小时
15
海里的
2
小时后两艘轮船之间的 距离为
50
海里，速度向南偏西
45°
方向航行，问甲轮船平均每小时航行多 少海里？


19
．如图，台风中心位于点
P
，并沿东北方 向
PQ
移动，已知台风移动的速度为
50
千米
/
时，受影响 区域的
半径为
260
千米，
B
市位于点
P
的北偏东
75°
方向上，距离点
P480
千米处．

（
1
）说明本次台风会影响
B
市； （
2
）求这次台风影响
B
市的时间．


20．在△
ABC
中，∠
ABC=90°
，
D
为平面内一动 点，
AD=a
，
AC=b
，其中
a
，
b
为 常数，且
a
＜
b
．将△
ABD
沿射线
BC
方向平移，得到△
FCE
，点
A
、
B
、
D
的对应点分别为点
F
、
C
、
E
．连接
BE
．

（
1
）如图
1
，若
D
在△
A BC
内部，请在图
1
中画出△
FCE
；

（
2
）在（
1
）的条件下，若
AD
⊥
BE
，求BE
的长（用含
a
，
b
的式子表示）；

（< br>3
）若∠
BAC=α
，当线段
BE
的长度最大时，则∠
BAD
的大小为

；当线段
BE
的长度最小时，则∠
BAD
的大小为

（用含
α
的式子表示）．






参考答案与试题解析



一．选择题（共
10
小题）

1
．直角三角形的三边为a
﹣
b
，
a
，
a
+
b
且a
、
b
都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）

A
．
61 B
．
71 C
．
81 D
．
91
【分析】直角三角形的三边为
a
﹣
b
，
a
，
a
+
b
，由他们的大小关系可知，直角边为
a
﹣
b
，
a
，则根据勾股定
222
理可知：（
a
﹣
b
）+
a=
（
a
+
b
）， 解得
a=4b
．∴直角三角形的三边为
3b
、
4b
、
5b
，看给出的答案是不是
3
、
4
、
5
的倍数， 如果是，就可能是边长．如果不是就一定不是．所以题中
81
能整除
3
，所以 可能．

222
【解答】解：由题可知：（
a
﹣
b
）+
a=
（
a
+
b
），解之得：
a=4b
所以直角三角形三边分别为
3b
、
4b
、
5b
．

当
b=27
时，
3b=81
．

故选
C
．



2
．如图，在
4
×
4
方格中作以
AB
为一边的
Rt
△
AB C
，要求点
C
也在格点上，这样的
Rt
△
ABC
能 作出（ ）


A
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
6
个

【分析】可以分
A
、
B
、
C
分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．

【解答】解：当
AB
是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：
C
、
D
，
E
，
H
四个；

当
AB
是直角边，
A
是直角顶点时，第三个顶点是
F
点；

当
AB
是直角边，
B
是直角顶点时，第三个顶点是
G
．

因而共有
6
个满足条件的顶点．

故选
D
．




3
．如图，一 个梯子
AB
长
2.5
米，顶端
A
靠在墙
AC
上，这时梯子下端
B
与墙角
C
距离为
1.5
米，梯子滑< br>动后停在
DE
的位置上，测得
BD
长为
0.5
米，则 梯子顶端
A
下落了（ ）米．


A
．
0.5 B
．
1 C
．
1.5 D
．
2
【分析】在直角三 角形
ABC
中，根据勾股定理，得：
AC=2
米，由于梯子的长度不变，在直 角三角形
CDE
中，根据勾股定理，得
CE=1.5
米，所以
AE= 0.5
米，即梯子的顶端下滑了
0.5
米．

【解答】解：在
Rt
△
ABC
中，
AB=2.5
米，
BC=1.5
米，故
AC==
在
Rt
△
ECD
中，
AB=DE =2.5
米，
CD=
（
1.5
+
0.5
）米，故< br>EC=
故
AE=AC
﹣
CE=2
﹣
1.5=0.5< br>米．

故选
A
．



4
．下列各组线段中的三个长度：①
9
，
12
，
15
；②7
，
24
，
25
；③
3
2
，
4
2
，
5
2
；④
3a
，
4a
，< br>5a
（
a
＞
0
）；⑤
m
2
﹣
n
2
，
2mn
，
m
2
+
n
2< br>（
m
，
n
为正整数，且
m
＞
n
）其 中可以构成直角三角形的有（ ）

A
．
5
组
B
．
4
组
C
．
3
组
D
．
2
组

222
【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三 角形的三边关系为：
a
+
b=c
时，它是直角三角形，由此可解出
= 2
米，

==1.5
米，

本题．

222
【解答】解：①中有
9
+
12=15
；

222
②中有
7
+
24=25
；

222 222
③（
3
）+（
4
）≠（
5
）；
< br>222
④中有（
3a
）+（
4a
）
=
（5a
）；

2222222
⑤中有（
m
﹣
n< br>）+（
2mn
）
=
（
m
+
n
），所 以可以构成
4
组直角三角形．

故选
B
．



5
．如图，已知直线
a
∥
b
，且a
与
b
之间的距离为
4
，点
A
到直线
a
的距离为
2
，点
B
到直线
b
的距离为
3
，
AB=
．试在直线
a
上找一点
M
，在直线
b
上找一点
N
，满足
MN
⊥
a
且
AM< br>+
MN
+
NB
的长度和最短，
则此时
AM
+
NB=
（ ）


A
．
6 B
．
8 C
．
10 D
．
12
【分析】
MN
表示直线
a
与直线
b
之间的距离，是定值，只要满足
A M
+
NB
的值最小即可．过
A
作直线
a
的垂线，并 在此垂线上取点
A′
，使得
AA′=MN
，连接
A'B
，则
A'B
与直线
b
的交点即为
N
，过
N
作< br>MN
⊥
a
于点
M
．则
A'B
为所求，利用勾 股定理可求得其值．

【解答】解：过
A
作直线
a
的垂线， 并在此垂线上取点
A′
，使得
AA′=4
，连接
A′B
，与 直线
b
交于点
N
，过
N
作直线
a
的垂线， 交直线
a
于点
M
，连接
AM
，过点
B
作< br>BE
⊥
AA′
，交射线
AA′
于点
E
，如图 ．

∵
AA′
⊥
a
，
MN
⊥
a< br>，

∴
AA′
∥
MN
．

又∵
AA′=MN=4
，

∴四边形
AA′NM
是平行四边形，

∴
AM=A′N
．

由于
AM
+
MN+
NB
要最小，且
MN
固定为
4
，所以
AM< br>+
NB
最小．

由两点之间线段最短，可知
AM
+< br>NB
的最小值为
A′B
．

∵
AE=2
+< br>3
+
4=9
，
AB=
∴
BE==
，

，

∵
A′E=AE
﹣
AA′=9
﹣
4=5
，

∴
A′B==8
所以
AM
+
NB
的最小值为
8
．

故选：
B
．




6
．一支长 为
13cm
的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是
4cm
、
3cm
、
16cm
的长方体
水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子．

A
．
13cm B
．
4cm C
．
12cm D
．
cm
【分析】依据题中条件构建直角三角形，利用勾股定理即可求解．

【解答】解：如图 ：由题意可知
FH=4cm
、
EF=3cm
、
CH=16cm
．

在
Rt
△
EFH
中，由勾股定理得

EH===5cm
，

EL
为筷子，即
EL=13cm < br>设
HL=h
，则在
Rt
△
EHL
中，
HL=
故选
C
．

==12cm
．




7
．若直角三角形的两条直角边长为
a
，
b
，斜 边长为
c
，斜边上的高为
h
，则有（ ）

A
．
ab=h
2
B
．

D
．
a
2
+
b
2
=2h
2
C< br>．
【分析】根据三角形的面积求法，可将斜边的高
h
用两直角边表示出来．
【解答】解：∵
ab=ch
∴
h=
∴
=


∴


===
．故选
C
．
< br>8
．如图，在
4
×
5
的方格中，
A
、
B
为两个格点，再选一个格点
C
，使∠
ACB
为直角，则满足条件 的点
C
个
数为

（ ）


A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6
【分析】如图，点
C
在以
AB
为对角线的 矩形的顶点上．利用勾股定理可以找到点
C
．

222
【解答】解： 如图，根据勾股定理知
AB=1
+
3=10
．

22
∵
1
+
3=10
， +
=10
， +
=10
，

∴符合条件的点
C
有
6
个．

故选
D
．




9
．已知a
，
b
，
c
为△
ABC
三边，且满足
a
2
c
2
﹣
b
2
c
2
=a
4
﹣
b
4
，则它的形状为（ ）

A
．直角三角形
B
．等腰三角形

D
．等腰三角形或直角三角形
C
．等腰直角三角形

22 2244
【分析】把式子
ac
﹣
bc=a
﹣
b
变形 化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，
那么这个是直角三角形判定则可．如果 没有这种关系，这个就不是直角三角形．

222244
【解答】解：∵
ac
﹣
bc=a
﹣
b
，

222244
∴（< br>ac
﹣
bc
）﹣（
a
﹣
b
）
=0< br>，

∴
c
（
a
+
b
）（
a
﹣
b
）﹣（
a
+
b
）（
a
﹣b
）（
a
+
b
）
=0
，

2 22
222
∴（
a
+
b
）（
a
﹣
b
）（
c
﹣
a
﹣
b
）
=0
，
∵
a
+
b
≠
0
，

222 222
∴
a
﹣
b=0
或
c
﹣
a
﹣
b=0
，所以
a=b
或
c=a
+
b
即它是 等腰三角形或直角三角形．

故选
D
．


10
．如图，小方格的面积是
1
，则图中以格点为端点且长度为
5
的线段有（ ）


A
．
4
条
B
．
3
条
C
．
2
条
D
．
1
条

【分析】此题只需根据常见的勾股数
3
、
4
、
5
，构造以
3
、
4
为直角边的直角 三角形即可．

【解答】解：如图所示，共
4
条．


故选：
A
．



二．填空题（共
4
小题）

11
．点
A
、
B
、
C
在格点图中的位置如图
5
所示，格点小正方形的边长 为
1
，则点
C
到线段
AB
所在直线的
距离是 ．


【分析】连接
AC
，
BC
，设点
C
到线段
AB
所在直线的距离是
h
，利用勾股定理求出
AB< br>的长，利用三角形
的面积公式即可得出结论．

【解答】解：连接
AC
，
BC
，设点
C
到线段
AB
所在直线的距离是h
，

∵
S
△
ABC
=3
×
3
﹣×
2
×
1
﹣×
2
×
1
﹣×< br>3
×
3
﹣
1=9
﹣
1
﹣
1
﹣﹣
1=
，
AB=
∴×
h=
，

=
，

∴
h=
．

．

故答案为：



12
．我国三国时期数学家赵爽为了证明 勾股定理，创造了一幅
“
弦图
”
，后人称其为
“
赵爽弦图< br>”
，如图
1
所
示．在图
2
中，若正方形
AB CD
的边长为
14
，正方形
IJKL
的边长为
2
， 且
IJ
∥
AB
，则正方形
EFGH
的边长
为
10
．


【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得
8
个直角三角形的面积，进一步得到
1
个直角三角
形的面积，再由面 积的和差关系可得正方形
EFGH
的面积，进一步求出正方形
EFGH
的边长 ．

【解答】解：（
14
×
14
﹣
2
×< br>2
）÷
8
=
（
196
﹣
4
）÷
8
=192
÷
8
=24
，

24
×
4
+
2
×
2
=96
+
4
=100
，

=10
．

答：正方形
EFGH
的边长为
10
．

故答案为：
10
．



13
．如图，在 △
ABC
中，
AB=BC=8
，
AO=BO
，点
M
是射线
CO
上的一个动点，∠
AOC=60°
，则当△
AB M
为
直角三角形时，
AM
的长为
4
或
4
或
4
．


【分析】分 三种情况讨论：①当
M
在
AB
下方且∠
AMB=90°
时， ②当
M
在
AB
上方且∠
AMB=90°
时，③当
∠
ABM=90°
时，分别根据含
30°
直角三角形的性质、直角三角形斜边的 中线的性质或勾股定理，进行计算
求解即可．

【解答】解：如图
1
，当∠
AMB=90°
时，


∵
O
是
AB
的中点，
AB=8
，

∴
OM=OB=4
，

又∵∠
AOC=
∠
BOM=60°
，

∴△
BOM
是等边三角形，

∴
BM=BO=4
，

∴
Rt
△
ABM
中，
AM=

如图
2
，当∠
AMB=90°
时，

=4
；


∵
O
是
AB
的中点，
AB=8
，

∴
OM=OA=4
，

又∵∠
AOC=60°
，

∴△
AOM
是等边三角形，

∴
AM=AO=4
；


如图
3
，当∠
ABM=90°
时，


∵∠
BOM=
∠
AOC=60°
，

∴∠
BMO=30°
，

∴
MO=2BO=2
×
4=8
，

∴
Rt
△
BOM
中，
BM=
∴
Rt
△
ABM中，
AM=
=4
=4
，

，

或
4
或
4
．

综上所述，当△
ABM为直角三角形时，
AM
的长为
4
故答案为：
4


或
4
或
4
．

14
．如图，△
ABC
中，
AB=AC=5
，
BC=2
，以
AC< br>为边在△
ABC
外作等边三角形
ACD
，连接
BD
， 则
BD=

+
2
．


【分析】根据已 知条件得到
AB=AC=AD
，于是得到点
B
，
C
，
D
在以
A
为圆心，
AB
为半径的圆上，根据圆周
角定理得 到∠
CBD=
∠
CAD=30°
，∠
BDC=BAC
，过< br>A
作
AE
⊥
BC
于
E
，过
C
作
CF
⊥
BD
于
F
，得到∠
CAE=
∠
BCD
，根据全等三角形的性质得到
DF=AE
，
CF=CE=1< br>，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵
AB=AC=5
，△
ABC
是等边三角形，

∴
AC=AD=5
，

∴
AB=AC=AD
，

∴点
B
，
C，
D
在以
A
为圆心，
AB
为半径的圆上，

∵∠
CAD=60°
，

∴∠
CBD=
∠
CAD=30°
，∠
BDC=BAC
，

过
A
作< br>AE
⊥
BC
于
E
，过
C
作
CF⊥
BD
于
F
，

∴∠
CAE=
∴∠
CAE=
∠
BCD
，

在△
ACE
与△
DCF
中，
∴△
AEC
≌ △
DFC
，

∴
DF=AE
，
CF=CE=1
，

∴
B F=
∴
DF=
∴
BD=BF
+
DF=
故答案为：< br>，

=2
+
2
+
2
，

．

．

，

，∠
AEC=
∠
CFD=90°
，




三．解答题（共
6
小题）

15
．阅读：能够成 为直角三角形三条边长的三个正整数
a
，
b
，
c
，称为勾股 数．世界上第一次给出勾股数
通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：
m
，其中
m
＞
n
＞
0
，
n
是互 质的奇数．

应用：当
n=1
时，求有一边长为
5
的直角三 角形的另外两条边长．

22
【分析】由
n=1
，得到
a=
（
m
﹣
1
）①，
b=m
②，
c=
（
m
+
1
）③，根据直角三角形有一边长为
5
，列方
程即可得到结论．

【解答】解：当
n=1
，
a=
（m
﹣
1
）①，
b=m
②，
c=
（
m< br>+
1
）③，

∵直角三角形有一边长为
5
，

2
∴Ⅰ、当
a=5
时，（
m
﹣
1
）
=5
，解得：
m=
22
（舍去），

Ⅱ、当b=5
时，即
m=5
，代入①③得，
a=12
，
c=13
，
Ⅲ、当c=5
时，（
m
2
+
1
）
= 5
，解得：
m=
±
3
，

∵
m
＞
0
，

∴
m=3
，代入① ②得，
a=4
，
b=3
，

综上所述，直角三角形的另外两 条边长分别为
12
，
13
或
3
，
4
．


16
．如图，某天晚上
8
点时，一台风中心位于 点
O
正北方向
160km
点
A
处，台风中心以每小时
20km
的速度向东南方向移动，在距台风中心≤
120km
的范围内将受到台风影 响，同时，在点
O
有一辆汽车以每
小时
40km
的速度向东行驶．< br>
（
1
）汽车行驶了多少小时后受到台风影响？

（
2
）汽车受到台风影响的时间有多长？


【分析】（< br>1
）以
O
为原点，
OA
所在直线为
y
轴，汽 车行驶的路线为
x
轴，作出坐标系，设当台风中心在
M
点，汽车在
N
点开始，汽车受到影响，设运动时间是
t
小时，即可利用
t
表示出< br>M
、
N
的坐标，根据
MN=120
，即可得到一个关于
t
的方程，解方程即可求得
t
的值；

（
2
）将两个
t
的值相减即可求解．

【解答】解 ：（
1
）以
O
为原点，
OA
所在直线为
y
轴，汽车行驶的路线为
x
轴，作出坐标系．

设当台风中心在
M点，汽车在
N
点开始，汽车受到影响，设运动时间是
t
小时，过
M
作
MC
⊥
x
轴与
C
，
作
MD< br>⊥
y
轴．

则△
ADM
是等腰直角三角形，
AM=20
因而
M
的坐标是：（
20t
，
160
﹣
20t
），

N
的坐标是：（
40t
，
0
）．

汽车受到影响，则
MN=120
千米，

222
即（
40t
﹣
20t
）+（
160
﹣
20t
）
=120
，

t
，则
AD=DM=AM=20t
，

即
t
﹣
8t
+
14=0
，

解得
x
1
=4
﹣，
x
2
=4
+．

）小时后受到台风影响．

）
=2
（小时）

小时．

2
答：汽车行驶了（
4
﹣
（
2< br>）（
4
+）﹣（
4
﹣
答：汽车受到台风影响的时间有
2



17
．如图，四边形
ABCD
是某新建厂 区示意图，∠
A=75°
，∠
B=45°
，
BC
⊥
CD
，
AB=500
现在要在厂区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？

米，
AD=200
米，

【分析】过点
A
作
AE
⊥
BC
于点
E
，过点
D
作
DF⊥
AE
于点
F
，根据∠
B=45°
可得出△
A BE
是等腰直角三角形，
故可得出
AE=BE
，∠
BAE=
∠
B=45°
．再由∠
A=75°
可得出∠
DAF
的度数， 进而可得出
AF
及
DF
的长，根据
BC
⊥
CD可得出四边形
CDFE
是矩形，故可得出
CD=EF
，
CE=D F
，据此可得出结论．

【解答】解：如图，过点
A
作
AE
⊥
BC
于点
E
，过点
D
作
DF
⊥
AE
于点
F
，

∵∠
B=45°
，

∴△
ABE
是等腰直角三角形，

∴
AE=BE
， ∠
BAE=
∠
B=45°
．

∵
AB=500
米，

×
=500
米．

∴
AE=BE=500
∵∠
A=75°
，

∴∠
DAF=75°
﹣
45°=30°
．

∵
AD=200
米，

∴
DF=AD=100
米，
AF=200
×
∵
BC
⊥
CD
，

∴四边形
CDFE
是矩形，

∴
CD=EF=AE
﹣
AF=
（
500
﹣
100
∴
AB
+BC
+
AD
+
CD=500
）米，
CE=DF=100
米，

）
=
（
1300
+
500
﹣
100
）米．

=100
米．

+（
5 00
+
100
）+
200
+（
500
﹣
1 00
﹣
100
）米．

答：围墙的长度是（
1300
+
500


18
．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口
O
出发，甲轮船向南偏东
45°
方向航行，乙轮船以每小时
15
海里的
2
小时后两艘轮船之间的距离 为
50
海里，速度向南偏西
45°
方向航行，问甲轮船平均每小时航行多少海 里？


【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=
速度×时间，根据勾股定理解
答即可．

【解答】解：根据题意知∠
AOB=90°
，

OB=2
×
20=40
，
AB=50
，

由勾股定理得，
OA=
=
==40


则甲轮船每小时航行
=20
海里，

答：甲轮船每小时航行
40
海里．



19．如图，台风中心位于点
P
，并沿东北方向
PQ
移动，已知台风移动的速 度为
50
千米
/
时，受影响区域的
半径为
260
千 米，
B
市位于点
P
的北偏东
75°
方向上，距离点
P480
千米处．

（
1
）说明本次台风会影响
B
市； （
2
）求这次台风影响
B
市的时间．


【分析】 （
1
）作
BH
⊥
PQ
于点
H
，在
Rt
△
BHP
中，利用特殊角的三角函数值求出
BH
的长与
260
千米相比
较即可．

（
2
）以
B
为 圆心，以
260
为半径作圆交
PQ
于
P
1
、
P
2
两点，根据垂径定理即可求出
P
1
P
2
的长 ，进而求出
台风影响
B
市的时间．

【解答】解：（
1）作
BH
⊥
PQ
于点
H
．

在
Rt
△
BHP
中，

由条件知，
PB= 480
，∠
BPQ=75°
﹣
45°=30°
，

∴
BH=480sin30°=240
＜
260
，

∴本次台风会影响
B
市．


（
2
）如图 ，以点
B
为圆心，以
260
为半径作圆交
PQ
于
P
1
，
P
2
，

若台风中心移动到
P
1
时，台风开始影响
B
市，台风中心移动到
P
2
时，台风 影响结束．

由（
1
）得
BH=240
，由条件得
BP
1
=BP
2
=260
，

∴
P
1
P
2
=2
∴台风影响的时间
t=
=200
，< br>
=4
（小时）．

故
B
市受台风影响的时间为
4
小时．



20
．在△
ABC
中，∠
ABC=90°
，
D为平面内一动点，
AD=a
，
AC=b
，其中
a
，b
为常数，且
a
＜
b
．将△
ABD
沿射线BC
方向平移，得到△
FCE
，点
A
、
B
、< br>D
的对应点分别为点
F
、
C
、
E
．连接BE
．

（
1
）如图
1
，若
D
在△
ABC
内部，请在图
1
中画出△
FCE
；

（
2
）在（
1
）的条件下，若
AD
⊥
BE
，求
BE
的长（用含
a
，
b
的式子表示）；

（
3
）若∠
BAC=α
，当线段
BE
的长度最 大时，则∠
BAD
的大小为
180°
﹣
α
；当线段
BE
的长度最小时，
则∠
BAD
的大小为
α
（用含
α
的式子表示）．


【分析】（1
）把
A
、
D
向右平移
BC
的距离即可得到对 应点
F
、
E
，然后连接
EF
、
FC
、EC
即可；

（
2
）易证四边形
ABCF
为矩 形，则
AC=BF
，在直角△
BEF
中，利用勾股定理即可求解；

（
3
）当线段
BE
的长度最大时，
E
点在
BF
的延长线上，当线段
BE
的长度最小时，
E
点在
BF< br>上，再求出∠
BAD
．

【解答】解：（
1
）如图，


（
2
）连接
BF
．

∵将△
ABD
沿射线
BC
方向平移，得到△
FCE
，

∴
AD
∥
EF
，
AD=EF
；
AB
∥
FC
，
AB=FC
．


∵∠
ABC=90°
，

∴四边形
ABCF
为矩形．

∴
AC=BF
．

∵
AD
⊥
BE
，

∴
EF
⊥
BE
．

∵
AD=a
，
AC=b
，

∴
EF=a
，
BF=b
．

∴．

（
3
）①如图，当线段
BE
的长度最大时，
E
点在
BF
的延长线上，


∵四边形
ABCF
是矩形，∠
BAC=α
，

∴∠
BFC=α
，

∴∠
EFC=180°
﹣
α
．

∴∠
BAD=180°
﹣
α
．

②如图，当线段< br>BE
的长度最小时，
E
点在
BF
上，


∵四边形
ABCF
是矩形，∠
BAC=α
，

∴
AC=BF
，且互相平分，

∴∠
BAC=
∠< br>ABF
，∠
BFC=
∠
ACF
，

∵∠
AOB=
∠
COF
，

∴∠
BAC=
∠
ABF=
∠
BFC=
∠
ACF
，

∴∠
BFC=
∠
BAC=α
，

∴∠
BAD=α
．

故答案为：
180°
﹣
α
，
α
．



《平行四边形》单元测试

考试范围：
xxx
；考试时间：
100
分钟；命题人：
xxx
学校：
_______ ____
姓名：
___________
班级：
___________考号：
___________
题号

得分




评卷人



得

分

一


二


三


总分


一．选择题（共
10
小题）

1
．如图，矩形
ABCD
中，
BE
、
CF
分别平分∠
ABC
和∠
DCB
，点
E
、
F
都在
AD
上，下列结论不正确的是（


A
．△
ABE
≌△
DCF
B
．△
ABE
和△
DCF
都是等腰直角三角形

C
．四边形
BCFE
是等腰梯形

D
．
E
、
F
是
AD
的三等分点

2
．如图，已知四边形
ABCD
，对角线
AC
和
B D
相交于
O
，下面选项不能得出四边形
ABCD
是平行四边形的是（ ）


A
．
AB
∥
CD
，且
AB=CD B
．
AB=CD
，
AD=BC
C
．
AO=CO
，
BO=DO D
．
AB
∥
CD
，且
AD=BC
3
．在 四边形
ABCD
中，
AC
、
BD
交于点
O
，在下列各组条件中，不能判定四边形
ABCD
为矩形的是（ ）

A
．
AB=CD
，
AD=BC
，
AC=BD B
．
AO=CO
，
BO=DO
，∠
A=90°
C
．∠
A=
∠
C
，∠
B
+∠
C=180°< br>，
AC
⊥
BD D
．∠
A=
∠
B=90°
，
AC=BD
4
．如图，正方形
ABCD
的边长为
4cm
，则图中阴影部分的面积为（ ）


A
．
6cm
2
B
．
8cm
2
C
．
16cm
2
D
．不能确定

5
．四边形
ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于点
O
，设有下列条件：①
AC=BD
；②
AC
⊥
BD
；③
AC
与
BD
互相平分；④矩形
ABCD
；⑤菱形
ABCD
；⑥正方形
ABCD< br>，则下列推理成立的是（ ）

A
．①④?⑥
B
．②④?⑥
C
．①②?⑥
D
．①③?⑤

6
．如图，菱形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
AB
、
AC
的中点，若
EF=3
，则菱形
ABCD
的周长是（ ）


A
．
12 B
．
16 C
．
20 D
．
24
7
．下列命题是真命题的是（ ）

A
．有一个角是直角的四边形是矩形

B
．有一组邻边相等的四边形是菱形

C
．有三个角是直角的四边形是矩形

D
．有三条边相等的四边形是菱形

8
．如图，四边形
AB CD
是正方形，延长
AB
到点
E
，使
AE=AC
， 则∠
BCE
的度数是（ ）


A
．
45° B
．
35° C
．
22.5° D
．
15.5°
9
．在
?ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，若
AC=8
，
BD=6
，则边长
AB
的取值范围是（ ）

A
．
1
＜
AB
＜
7 B
．
2
＜
AB
＜
14 C
．
6
＜
AB
＜
8 D
．
3
＜
AB
＜
4
10
．如图，已知< br>E
、
F
分别为正方形
ABCD
的边
AB
，< br>BC
的中点，
AF
与
DE
交于点
M
，
O
为
BD
的中点，则
下列结论：①∠
AME=90°
；② ∠
BAF=
∠
EDB
；③∠
BMO=90°
；④
M D=2AM=4EM
；⑤
AM=MF
．其中正确结
论的个数是（ ）


A
．
5
个
B
．
4
个
C
．
3
个
D
．
2
个




评卷人



得

分

二．填空题（共
4
小题）

11
．如图，在菱形
A BCD
中，若
AC=6
，
BD=8
，则菱形
ABCD
的面积是

．


12
．如图，矩形
A BCD
中，∠
ABC
的平分线交
AD
边于点
E
，点
F
是
CD
的中点，连接
EF
．若
AB=8
，且
EF
平分∠
BED
，则
AD
的长为

．


13
．如图，将平行四边形
ABCO
放置 在平面直角坐标系
xOy
中，
O
为坐标原点，若点
A
的坐标 是（
6
，
0
），
点
C
的坐标是（
1
，
4
），则点
B
的坐标是

．


14
．如图，
Rt
△
ABC
中，∠
AC B=90°
，
AC=4
，
BC=3
，以
AB
，BC
，
AC
为边在
AB
同侧作正方形
ABMN
，正方
形
ACDE
和正方形
BCFG
，其中线段
DE
经过点
N
，
CF
与
BM
交于点
P
，CD
与
MN
交于点
Q
，图中阴影部分
的面积为

．





评卷人



得

分

三．解答题（共
6
小题）

15
．如图，已知菱形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，点E
是菱形外一点，且
DE
∥
AC
，
CE
∥BD
，连接
OE
．

求证：
OE=CD
．


16
．如图，矩形
ABCD
中，∠
ABD
、∠
CDB
的平分线
BE
、
DF
分别交边
AD
、
BC
于点
E
、F
．

（
1
）求证：四边形
BEDF
是平行四边形；

（
2
）当∠
ABE
为多少度时，四边形
BEDF
是菱形？请说 明理由．


17
．矩形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
AD
、
BC
的中点，
CE
、< br>AF
分别交
BD
于
G
、
H
两点．

求证：（
1
）四边形
AFCE
是平行四边形；

（
2
）
EG=FH
．


18
． 如图，在△
ABC
中，点
O
是边
AC
上一个动点，过点O
作直线
EF
∥
BC
分别交∠
ACB
、外角∠
ACD
的平
分线于点
E
、
F
．

（
1
）若
CE=8
，
CF=6
，求
OC
的 长；

（
2
）连接
AE
、
AF
．问：当点
O
在边
AC
上运动到什么位置时，四边形
AECF
是矩形？ 并说明理由．


19
．如图，在矩形
ABCD
中，
E
是
AD
上一点，
PQ
垂直平分
BE
，分别交< br>AD
、
BE
、
BC
于点
P
、
O、
Q
，连接
BP
、
EQ
．

（
1
）求证：四边形
BPEQ
是菱形；

（
2
）若
AB=6
，
F
为
AB
的中点，
O F
+
OB=9
，求
PQ
的长．


20< br>．
PA
2
+
PC
2
=PB
2
+PD
2
，已知矩形
ABCD
和点
P
，当点
P< br>在
BC
上任一位置（如图（
1
）所示）时，易证得结论：
22 22
请你探究：当点
P
分别在图（
2
）、图（
3
） 中的位置时，
PA
、
PB
、
PC
和
PD
又 有怎样的数量关系请你写
出对上述两种情况的探究结论，并利用图（
2
）证明你的结论 ．

答：对图（
2
）的探究结论为

；

对图（
3
）的探究结论为

；


证明：如图（
2
）




参考答案与试题解析



一．选择题（共
10
小题）

1
．如图，矩形
AB CD
中，
BE
、
CF
分别平分∠
ABC
和∠
DCB
，点
E
、
F
都在
AD
上，下列结论不正确 的是（


A
．△
ABE
≌△
DCF
B
．△
ABE
和△
DCF
都是等腰直角三角形

C
．四边形
BCFE
是等腰梯形

D
．
E
、
F
是
AD
的三等分点

【分析】
A
、由
AAS
证得△
ABE
≌△
DCF
；

B
、根据矩形的性质、角平分线的性质推知△
ABE和△
DCF
都是等腰直角三角形；

C
、由
A
中的全等三角形的性质得到
BE=CF
．结合矩形的对边平行得到四边形
BCFE是等腰梯形；

D
、根据
A
在全等三角形的性质只能得到
AE=DF
，点
E
、
F
不一定是
AD
的三等分点 ．

【解答】解：如图，∵四边形
ABCD
是矩形
ABCD
，

∴∠
A=
∠
D=
∠
DCB=
∠
ABC=9 0°
．

又
BE
、
CF
分别平分∠
ABC
和∠
DCB
，

∴∠
ABE=
∠
DCF=45°
，

∴∠
AEB=
∠
ABE=45°
，∠
DFC=
∠
DCF=45°
，

∴
AB=AE
，
DF=DC
，

∴△
ABE
和△
DCF
都是等腰直角三角形．

故
B
正确；


在△
ABE
与△
DCF
中，

∵△
ABE
≌△
DCF
，

∴
BE=CF
．

又
BE
与
FC
不平行，且
EF
∥
BC
，
EF
≠
BC
，< br>
∴四边形
BCFE
是等腰梯形．

．则△
ABE< br>≌△
DCF
（
AAS
），故
A
正确；

故
C
正确；


∵△
ABE
≌△
DCF
，

∴
AE=DF
．

但是不能确定
AE=EF=FD
成立．即点
E
、
F
不一定是
AD
的三等分点．

故
D
错误．

故选：
D
．




2
．如图，已知四边形
ABCD
，对角线
AC
和
BD
相交于
O
，下面选项不能得出四边形
ABCD
是平行四边形的
是（ ）


A
．
AB
∥
CD
，且
AB=CD B
．
AB=CD
，
AD=BC
C
．
AO=CO
，
BO=DO D
．
AB
∥
CD
，且
AD=BC
【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可．

【解答】解：
A
、能推出四边形
ABCD
是平行四边形，故本选项错误；

B
、能推出四边形
ABCD
是平行四边形，故本选项错误；

C
、能推出四边形
ABCD
是平行四边形，故本选项错误；

D
、不能推出四边形
ABCD
是平行四边形，故本选项正确；

故选
D
．



3
．在四边形
A BCD
中，
AC
、
BD
交于点
O
，在下列各组条件 中，不能判定四边形
ABCD
为矩形的是（ ）

A
．
AB=CD
，
AD=BC
，
AC=BD B
．
AO=CO
，
BO=DO
，∠
A=90°
C
．∠
A=
∠
C
，∠
B
+∠
C=180°< br>，
AC
⊥
BD D
．∠
A=
∠
B=90°
，
AC=BD
【分析】 由
AB=CD
，
AD=BC
，得出四边形
ABCD
是平行四 边形，再由对角线相等即可得出
A
正确；

由
AO=CO
，
BO=DO
，得出四边形
ABCD
是平行四边形，由∠
A=90°< br>即可得出
B
正确；

由∠
B
+∠
C=180 °
，得出
AB
∥
DC
，再证出
AD
∥
BC
，得出四边形
ABCD
是平行四边形，由对角线互相垂直得
出四边形
ABCD
是菱形，
C
不正确；

由∠
A
+∠
B=180°
，得出
AD
∥
BC
，由
HL
证明< br>Rt
△
ABC
≌
Rt
△
BAD
，得出
BC=AD
，证出四边形
ABCD
是平行四
边形，由∠
A=90°
即可得出
D
正确．

【解答】解：∵
AB=CD
，
AD=BC
，

∴四边形
ABCD
是平行四边形，

又∵
AC=BD
，

∴四边形
ABCD
是矩形，

∴
A
正确；

∵
AO=CO
，
BO=DO
，

∴四边形
ABCD
是平行四边形，

又∵∠
A=90°
，

∴四边形
ABCD
是矩形，

∴
B
正确；

∵∠
B
+∠
C=180°
，

∴
AB
∥
DC
，

∵∠
A=
∠
C
，

∴∠
B
+∠
A=180°
，

∴
AD
∥
BC
，

∴四边形
ABCD
是平行四边形，

又∵
AC
⊥
BD
，

∴四边形
ABCD
是菱形，

∴
C
不正确；

∵∠
A=
∠
B=90°
，

∴∠
A
+∠
B=180°
，

∴
AD
∥
BC
，如图所示：

在
Rt△
ABC
和
Rt
△
BAD
中，

，

∴
Rt
△
ABC
≌
Rt
△< br>BAD
（
HL
），

∴
BC=AD
，

∴四边形
ABCD
是平行四边形，

又∵∠
A=90°
，

∴四边形
ABCD
是矩形，

∴
D
正确；

故选：
C
．




4
．如图， 正方形
ABCD
的边长为
4cm
，则图中阴影部分的面积为（ ）


A
．
6cm
2
B
．
8cm
2
C
．
16cm
2
D
．不能确定

【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的 面积的一半，然后列式进行计算即
可得解．

2
【解答】解：
S阴影
=
×
4
×
4=8cm
．

故选
B
．



5
．四边形
AB CD
的对角线
AC
和
BD
相交于点
O
，设有下列条 件：①
AC=BD
；②
AC
⊥
BD
；③
AC
与
BD
互相
平分；④矩形
ABCD
；⑤菱形
ABCD；⑥正方形
ABCD
，则下列推理成立的是（ ）

A
．①④?⑥
B
．②④?⑥
C
．①②?⑥
D
．①③?⑤

【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得 出是菱形，和一个角为直角得出是
正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．

【解答】解：
A
、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；

B
、对角线垂直的矩形是正方形，正确；

C
、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；

D
、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误．

故选
B
．



6
．如图，菱形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
AB
、
AC< br>的中点，若
EF=3
，则菱形
ABCD
的周长是（ ）


A
．
12 B
．
16 C
．
20 D
．
24
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC
，再根据菱形的周长公式列式计
算即可得解．

【解答】解：∵E
、
F
分别是
AB
、
AC
的中点，

∴
EF
是△
ABC
的中位线，

∴
BC=2EF=2
×
3=6
，

∴菱形
ABCD
的周长
=4BC=4
×
6=24
．

故选：
D
．



7
．下列命题是真命题的是（ ）

A
．有一个角是直角的四边形是矩形

B
．有一组邻边相等的四边形是菱形

C
．有三个角是直角的四边形是矩形

D
．有三条边相等的四边形是菱形

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：
A
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误；

B
、四条边都相等的四边形是菱形，故选项错误；

C
、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项正确；

D
、四条边都相等的四边形是菱形，故选项错误．

故选
C
．



8
．如图，四边形
ABCD
是正方形，延长
AB
到点
E
，使
AE=AC，则∠
BCE
的度数是（ ）


A
．
45° B
．
35° C
．
22.5° D
．
15.5°
【分析】根据正方形的性质，易知∠
CAE=
∠< br>ACB=45°
；等腰△
CAE
中，根据三角形内角和定理可求得∠
A CE
的度数，进而可由∠
BCE=
∠
ACE
﹣∠
ACB得出∠
BCE
的度数．

【解答】解：∵四边形
ABCD
是正方形，

∴∠
CAB=
∠
BCA=45°
；

△
ACE
中，
AC=AE
，则：

∠
AC E=
∠
AEC=
（
180°
﹣∠
CAE
）
=67.5°
；

∴∠
BCE=
∠
ACE
﹣∠ACB=22.5°
．

故选
C
．



9
．在
?ABCD
中，对角线
AC
与
B D
相交于点
O
，若
AC=8
，
BD=6
，则边长< br>AB
的取值范围是（ ）

A
．
1
＜
AB
＜
7 B
．
2
＜
AB
＜
14 C
．
6
＜
AB
＜
8 D
．
3
＜
AB
＜
4
【分析】由在
?AB CD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，若
AC=8
，
BD=6
，根据平行四边形的对角线互相平
分，可求得
OA
与
OB
的长，然后由三角形三边关系，求得答案．

【解答】解 ：∵在
?ABCD
中，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，
AC=8
，
BD=6
，

∴
OA=AC=4
，
OB=BD=3
，

∴边长< br>AB
的取值范围是：
1
＜
AB
＜
7
．

故选
A
．




10
．如 图，已知
E
、
F
分别为正方形
ABCD
的边
AB< br>，
BC
的中点，
AF
与
DE
交于点
M
，
O
为
BD
的中点，则
下列结论：①∠
AME=90°< br>；②∠
BAF=
∠
EDB
；③∠
BMO=90°
；④
MD=2AM=4EM
；⑤
AM=MF
．其中正确结
论的个数是（ ）


A
．
5
个
B
．
4
个
C
．
3
个
D
．
2
个

【分析】根据正方形的性质可得
AB=BC=A D
，∠
ABC=
∠
BAD=90°
，再根据中点定义求出
A E=BF
，然后利用
“
边
角边
”
证明△
ABF和△
DAE
全等，根据全等三角形对应角相等可得∠
BAF=
∠
ADE
，然后求出∠
ADE
+∠
DAF=
∠
BAD=90°
，从而求出∠
AMD=90°
，再根据邻补角的定义可得∠
AME=90°< br>，从而判断①正确；根据中线的定
义判断出∠
ADE
≠∠
EDB
，然后求出∠
BAF
≠∠
EDB
，判断出②错误；根据直角三角形的性质判 断出△
AED
、
△
MAD
、△
MEA
三个三角形相 似，利用相似三角形对应边成比例可得
===2
，然后求出
MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形
ABCD
的边长为
2a
，利用勾股定理列式求 出
AF
，再根据相似三
角形对应边成比例求出
AM
，然后求出
MF
，消掉
a
即可得到
AM=MF
，判断出⑤正确；过点
M
作
MN
⊥
AB
于
N
，求出
MN
、
NB
，然后利用勾股定理列式求出
BM
，过点
M
作
GH
∥
AB
，过点
O
作
OK
⊥
GH于
K
，
然后求出
OK
、
MK
，再利用勾股定理 列式求出
MO
，根据正方形的性质求出
BO
，然后利用勾股定理逆定理
判断出∠
BMO=90°
，从而判断出③正确．

【解答】解：在正方形< br>ABCD
中，
AB=BC=AD
，∠
ABC=
∠
BA D=90°
，

∵
E
、
F
分别为边
AB< br>，
BC
的中点，

∴
AE=BF=BC
，

在△
ABF
和△
DAE
中，

，

∴△
ABF
≌△
DAE
（
SAS
），

∴∠
BAF=
∠
ADE
，

∵∠
BAF< br>+∠
DAF=
∠
BAD=90°
，

∴∠
A DE
+∠
DAF=
∠
BAD=90°
，

∴∠AMD=180°
﹣（∠
ADE
+∠
DAF
）
=180 °
﹣
90°=90°
，

∴∠
AME=180°
﹣ ∠
AMD=180°
﹣
90°=90°
，故①正确；


∵
DE
是△
ABD
的中线，

∴∠
ADE
≠∠
EDB
，

∴∠
BAF
≠∠
EDB
，故②错误；


∵∠
BAD=90°
，
AM
⊥
DE
，

∴△
AED
∽△
MAD
∽△
MEA
，

∴
===2
，

∴
AM=2EM
，
MD=2AM
，

∴
MD=2AM=4EM
，故④正确；


设正方形
ABCD
的边长为
2a
，则
BF=a
，

在
Rt
△
ABF
中，
AF===a
，
< br>∵∠
BAF=
∠
MAE
，∠
ABC=
∠
AM E=90°
，

∴△
AME
∽△
ABF
，

∴
即
=
=
，

，

a
，

a
﹣
a=a
，

解得AM=
∴
MF=AF
﹣
AM=
∴
AM=MF
， 故⑤正确；


如图，过点
M
作
MN
⊥
A B
于
N
，

则
==
，

即
==
，

解得
MN=a
，
AN=a
，

∴
NB=AB
﹣
AN=2a
﹣
a=a
，

根据勾股定理，
BM===a
，

过点
M
作
GH
∥
AB
，过点
O
作
OK
⊥
GH于
K
，

则
OK=a
﹣
a=a
，MK=a
﹣
a=a
，

在
Rt
△
MKO
中，
MO===a
，
< br>根据正方形的性质，
BO=2a
×
22
∵
BM
+MO=
（
=a
，

a
）
2
=2a
2
，
a
）
2+（
BO
2
=
（
a
）
2
=2a
2
，