刑房初二数学试讲

2020年11月29日发(作者：贺翼张)
第十八章 勾股定理
18．1 勾股定理（一）
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学
习。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗
河每年 要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限
标志。水退了，人们 要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从
一开始就与面积结下了不解之缘， 面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的
工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积 相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图
形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 。

三、例题的意图分析
例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确 性；通过拼图，发散学生的思
维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名 数学家之手。激
发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后， 只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步
让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多 信号，
如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定
理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明
勾股定理的 重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事 实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺
折成直角，两段连结得一直 角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直
角三角形较短直角边（勾）的长是3，长 的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是
5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现3
2
+4
2
与5
2
的关系，5
2
+12
2< br>和13
2
的关系，即3
2
+4
2
=5
2，5
2
+12
2
=13
2
，那么就
有勾
2
+股
2
=弦
2
。
C
D
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、
∠C的对边为a、b、c。
求证：a
2
＋b
2
=c
2
。
分析：⑴让 学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，
a
b
A
c
B让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S
△
+S
小正
=S
大正

4×
1
ab＋ （b－a）
2
=c
2
，化简可证。
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2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾 股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家
之手。激发学生的 民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠
C=90°，∠A、∠B、∠C的对 边
b
ab
a
为a、b、c。
c
a
a
求证 ：a
2
＋b
2
=c
2
。
a
c
b
c
分析：左右两边的正方形边长相
等，则两个正方形的面积相等。
1
左边S=4×ab＋c
2

2
右边S=（a+b）
左边和右边面积相等，即
4×
2
b
c
c
a
a
b
b
c
b
a
b
1
ab＋c
2
=（a+b）
2

2
化简可证。


六、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
A
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
D
⑷三边之间的关系： 。



C
B

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b
2
= a
2
＋c
2
，则 =90°； 若
满足b
2
＞c
2
＋a
2
，则∠B是 角； 若满足b
2
＜c
2
＋a
2
，则∠B是
A

角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。



七、课后练习
a
D
c
b
E
c
B
b
a
C