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植物的生长过程【强烈推荐】八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-29 05:15
tags:八年级, 辅助线, 初二数学

-

2020年11月29日发(作者:齐浣)
三角形作辅助性方法大全

1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明 角的不等关系时,如果直接证不出
来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形 外角的位
置上,小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题.
例:已知D为△ABC内任一点,求证:∠BDC>∠BAC
证法(一):延长BD交AC于E,
∵∠BDC是△EDC 的外角,
AA
∴∠BDC>∠DEC
E
同理:∠DEC>∠BAC
DD
∴∠BDC>∠BAC
BB
CC
F
证法(二):连结AD,并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角,
∴∠BDF>∠BAD
同理∠CDF>∠CAD
∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD
即:∠BDC>∠BAC

2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段,构造全等三角形.
例:已知,如图,AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,
求证:BE+CF>EF
= DC
证明:在DA上截取DN = DB,连结NE、NF,则DN
A
在△BDE和△NDE中,
DN = DB
N
E
F
∠1 = ∠2
2
3
4
1
B
ED = ED
C
D

∴△BDE≌△NDE
∴BE = NE
同理可证:CF = NF
在△EFN中,EN+FN>EF
∴BE+CF>EF

3. 有以线段中点为端点的线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形.
例:已知,如图,AD为△ABC的中线,且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证:BE+CF>EF
证明:延长ED到M,使DM = DE,连结CM、FM
△BDE和△CDM中,
BD = CD
∠1 = ∠5
ED = MD
∴△BDE≌△CDM
∴CM = BE
又∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4
∠1+∠2+∠3 + ∠4 = 180
o

∴∠3 +∠2 = 90
o

即∠EDF = 90
o
A
o
∴∠FDM = ∠EDF = 90
△EDF和△MDF中
E
F
2
3
ED = MD
4
1
B
5
C
D
∠FDM = ∠EDF
M
DF = DF

∴△EDF≌△MDF
∴EF = MF
∵在△CMF中,CF+CM >MF
BE+CF>EF
(此题也可加倍FD,证法同上)

4. 在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形.
例:已知,如图,AD为△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD
证明:延长AD至E,使DE = AD,连结BE
∵AD为△ABC的中线
∴BD = CD
A
在△ACD和△EBD中
2
BD = CD
B
1
C
D
∠1 = ∠2
E
AD = ED

∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD

5.截长补短作辅助线的方法
截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;
补短法:延长较短线段和较长线段相等.
这两种方法统称截长补短法.
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法:
①a>b
②a±b = c
③a±b = c±d
例:已知,如图,在△ABC中,AB>AC,∠1 = ∠2,P为AD上任一点,
求证:AB-AC>PB-PC
证明:⑴截长法:在AB上截取AN = AC,连结PN
在△APN和△APC中,
AN = AC
A
∠1 = ∠2
1
2
AP = AP
P
N
∴△APN≌△APC
B
C
D
∴PC = PN

∵△BPN中有PB-PC<BN
∴PB-PC<AB-AC
⑵补短法:延长AC至M,使AM = AB,连结PM
在△ABP和△AMP中
AB = AM
A
∠1 = ∠2
1
2
P
AP = AP
B
C
∴△ABP≌△AMP
D
∴PB = PM
M

又∵在△PCM中有CM >PM-PC
∴AB-AC>PB-PC
练习:1.已知,在△ABC中,∠B = 60
o
,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O
求证:AC = AE+CD
2.已知,如图,AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.
D
E
求证:BC = AB+CD
A

14
2
3

B
C

6.证明两条线段相等的步骤:
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中,然后证这两个三角形全等。
②若图中没有全等 三角形,可以把求证线段用和它相等的线段代换,再证它们所
在的三角形全等.
③如果没有相等的线段代换,可设法作辅助线构造全等三角形.
例:如图,已知,BE、CD相交于F,∠B = ∠C,∠1 = ∠2,求证:DF = EF
证明:∵∠ADF =∠B+∠3
∠AEF = ∠C+∠4
又∵∠3 = ∠4
∠B = ∠C
∴∠ADF = ∠AEF
在△ADF和△AEF中
A
∠ADF = ∠AEF
∠1 = ∠2
D
E
1
2
AF = AF
3
4
F
∴△ADF≌△AEF
B
C

∴DF = EF

7.在一个图形中,有多个垂直关系时,常用同角(等角)的余角相等来证明两个角相等.
例:已知,如图Rt△ABC中,AB = AC,∠BAC = 90
o
,过A作任一条直线AN,作BD⊥AN
于D,CE⊥AN于E,求证:DE = BD-CE
证明:∵∠BAC = 90
o
, BD⊥AN
∴∠1+∠2 = 90
o
∠1+∠3 = 90
o

∴∠2 = ∠3
∵BD⊥AN CE⊥AN
∴∠BDA =∠AEC = 90
o
在△ABD和△CAE中,
A
∠BDA =∠AEC
1
2
D
B
3
E
N
C

∠2 = ∠3
AB = AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD = AE且AD = CE
∴AE-AD = BD-CE
∴DE = BD-CE

8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.
例:AD为△ABC的中线,且CF⊥AD于F,BE⊥AD的延长线于E
求证:BE = CF
证明:(略)
A


F

2
B
C
1
D

E


9.条件不足时延长已知边构造三角形.
例:已知AC = BD,AD⊥AC于A,BCBD于B
求证:AD = BC
证明:分别延长DA、CB交于点E
∵AD⊥AC BC⊥BD
∴∠CAE = ∠DBE = 90
o
在△DBE和△CAE中
∠DBE =∠CAE
E
BD = AC
∠E =∠E
A
B
∴△DBE≌△CAE
O
∴ED = EC,EB = EA
C
D
∴ED-EA = EC- EB

∴AD = BC

10.连接四边形的对角线,把四边形问题转化成三角形来解决问题.
例:已知,如图,AB∥CD,AD∥BC
求证:AB = CD
证明:连结AC(或BD)
A
∵AB∥CD,AD∥BC
1
3
∴∠1 = ∠2
2
4
在△ABC和△CDA中,
B
C
∠1 = ∠2
AC = CA
∠3 = ∠4
∴△ABC≌△CDA
E
∴AB = CD
练习:已知,如图,AB = DC,AD = BC,DE = BF,
D
A
D

C
B
F

求证:BE = DF

11.有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.
例:已知,如图,在Rt△ABC中,AB = AC,∠BAC = 90
o
,∠1 = ∠2 ,CE⊥BD的延长
线于E
求证:BD = 2CE
证明:分别延长BA、CE交于F
∵BE⊥CF
∴∠BEF =∠BEC = 90
o

F
在△BEF和△BEC中
A
∠1 = ∠2
E
D
BE = BE
1
2
B
C
∠BEF =∠BEC

∴△BEF≌△BEC
∴CE = FE =
1
CF
2
∵∠BAC = 90
o
, BE⊥CF
∴∠BAC = ∠CAF = 90
o

∠1+∠BDA = 90
o

∠1+∠BFC = 90
o

∠BDA = ∠BFC
在△ABD和△ACF中
∠BAC = ∠CAF
∠BDA = ∠BFC
AB = AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD = CF
∴BD = 2CE
练习:已知,如图,∠ACB = 3∠B,∠1 =∠2,CD⊥AD于D,
求证:AB-AC = 2CD
A

1
2

D

B
C


12.当证题有困难时,可结合已知条件,把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.
例:已知,如图,AC、BD相交于O,且AB = DC,AC = BD,
A
D
求证:∠A = ∠D
O
证明:(连结BC,过程略)

B
C



13.当证题缺少线段相等的条件时,可取某条线段中点,为证题提供条件.
例:已知,如图,AB = DC,∠A = ∠D
求证:∠ABC = ∠DCB
A
D
B
C

证明:分别取AD、BC中点N、M,
连结NB、NM、NC(过程略)

14.有角平分线时,常过角平分线上的点向角 两边做垂线,利用角平分线上的点到角两边距
离相等证题.
例:已知,如图,∠1 = ∠2 ,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+BC = 2BD,
求证:∠BAP+∠BCP = 180
o

E
AN
证明:过P作PE⊥BA于E
P
∵PD⊥BC,∠1 = ∠2
1
2
B
D
C
∴PE = PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中
BP = BP
PE = PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD
∴BE = BD
∵AB+BC = 2BD,BC = CD+BD,AB = BE-AE
∴AE = CD
∵PE⊥BE,PD⊥BC
∠PEB =∠PDC = 90
o
在△PEA和△PDC中
PE = PD
∠PEB =∠PDC
AE =CD
∴△PEA≌△PDC
∴∠PCB = ∠EAP
∵∠BAP+∠EAP = 180
o

∴∠BAP+∠BCP = 180
o

练习:1.已知,如图,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于P,
PD⊥BM于M,PF⊥BN于F,求证:BP为∠MBN的平分线


M

D
A
P


B
C

F
N


2. 已知,如图,在△ABC中,∠ABC =100
o
,∠ACB = 20
o
,CE是∠ACB的平分线,
D是AC上一点,若∠CBD = 20
o
,求∠CED的度数。

B

E

A

C
D


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本文更新与2020-11-29 05:15,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/469387.html

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