佛洛伊德初二数学下经典题型及教案

2020年11月29日发(作者：吕飞)
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一、填空题（每题
2
分，共计
20
分）


⑴用恰当的不等号表示下列关系：

①
x
的
3
倍与
8
的和比
y
的
2
倍小：

；

②老师的年龄
a
不小于你的年龄
b
：
.
⑵不等式
3(x+1)≥5x—3
的正整数解是

⑶当
a
时，不等式
(a—1)x
＞
1
的解集是
x
＜
.
⑷已知
x
＝
3
是方程
—2
＝
x—1
的解，那么不等式
(2— )x
＜

的解集是

⑸已知函数
y=2x—3
，当
x
时，
y≥0
；当
x
时，
y
＜
5.
X+8
＜
4x
－
1
⑹若不等式组

的解集是
x
＞
3
，则
m
的取值范围是

x
＞
m
x
－
a≥0

⑺已知关于
x
的不等式组

的整数解共有
5
个，则
a
的取值范围是

3
－
2x
＞－
1
2x
－
a
＜
1
⑻若不等式组

的解集为
—1
＜
x
＜
1
，那么
(a—1)(b— 1)
的值等于

x
－
2b
＞
3
⑼小明用
100
元钱购得笔记本和 钢笔共
30
件，已知每本笔记本
2
元，每只钢笔
5
元
.
那么小明最多能
买

只钢笔
.
亚洲锦标赛

国内重大比赛

金牌
10 29
银牌
1 21
铜牌
0 10
⑽
20XX
年某省体育事业成绩显著，据统计，在有关大赛中获得奖牌数如右表所示< br>(
单位：枚
)
如果只获得
1
枚奖牌的选手有
57人，那么荣获
3
枚奖牌的选手最多有

人
.
二、选择题（每题
4
分，共计
40
分）

⑾已知< br>“
①
x+y=1
；②
x
＞
y
；③
x +2y
；④
x2—y≥1
；⑤
x
＜
0”
属于不等式 的有

个
.
A.2
；
B. 3
；
C.4
；
D. 5.
⑿如果
m，那么下列结论错误的是

A.m
－
9－
9
；
B.—m>—n
；
C. >
；
D. >1.
(13)
设
“●”
、
“▲”
、
“■ ”
表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么
●
、
▲、
■
这三种物
体按质量从大到小的顺序排列为

A.■
、
●
、
▲
。
B.■
、
▲
、
●
。

C.▲
、
●
、
■
。
D.▲
、
■
、
●
。

⒁已知
a
，
b
两数在数轴上的位置如图所示，设
M=a+b,N=—a+b,H=a—b
，则下列各式正确的是

A.M>N>H
；
B.H>M>N
；

C.H>M>N
；
D.M>H>N.
⒂不等式组

的解集在数轴上表示，正确的是

．

A. B. C. D
⒃已知
(x+3)2+
＝
0
中，
y
为负数，则
m
的取值范围是

A.m
〉
9 B.m
〈
9 C.m
〉－
9 D.m
〈－
9
⒄观察下列图像，可以得出不等式组

3x+1
〉
0
的解集是

－
0.5x+1
〉
0
A.x
〈
B.
－

〈
x
〈
0
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C.0
〈
x
〈
2 D.
－

〈
x
〈
2
⒅某种出租车的收费标准是：起步价
7
元（即行驶的距离不超过
3
千米都需付
7
元车费）
,
超过< br>3
千米，
每增加
1
千米，加收
2.4
元（不足
1
千米按
1
千米计算）某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费
19
元，那么此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是

千米
.
A.11 B.8 C.7 D.5
⒆某种肥皂原零售价每块
2
元，凡购买
2
块以上（包括2
块）
,
商场推出两种优惠销售办法
.
第一种：一
块肥 皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售
.
你在购买相同数量肥皂的 情况
下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买

块肥皂
.
A.5 B.4 C.3 D.2
⒇韩日
“
世界杯
” < br>期间，重庆球迷一行若干人从旅馆乘车到球场为中国队加油，现有某个车队，若全部安
排乘该车队 的车，每辆坐
4
人则多
16
人无车坐，若每辆坐
6
人，则坐 最后一辆车的人数不足一半
.
这个
车队有

辆车

A.11 B.10 C.9 D.12
三、解答题

（
21
）解下列不等式（组）：（每题
8
分，共计
24
分）

（
1
）
5
（
x+2
）
≥1―2(x―1)
（
2
）

（
3
）解不等式组：

（
22
）若方程组

的解
x
、
y
都是正数，求
a
的取值范围
.
（
6
分）（
23
）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿
相同路线 从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图像．根据图像解答下列问题：（
6
分）

（
1
）在轮船快艇中，哪一个的速度较大？

（
2）当时间
x
在什么范围内时，快艇在轮船的后面？当时间
x
在什么范围内 时，快艇在轮船的前面？

（
3
）问快艇出发多长时间赶上轮船？

四、实际应用题（每题
8
分，共计
24
分）

（< br>24
）某校长暑假将带领该校市级
“
三好学生
”
去北京旅游， 甲旅行社说：
“
如果校长买全票一张，则其余
的学生可享受半价优惠
.”乙旅行社说：
“
包括校长在内全部按票价的六折优惠
.”
若全票价为240
元，两家
旅行社的服务质量相同，根据
“
三好学生
”的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算？


（
25
） 某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有
3500
辆次，其中变速车保管费是每辆< br>0.5
元，一般车的保管费是每辆
0.3
元
.
（
1
）一般车停放的辆次数为
x
，总的保管费为
y
元，试写出
y
与
x
的关系式；

（
2
）若估计前来停放的
3500
辆自行车中，变速车的辆次不小于
25
％，但不大于
40
％，试求该保管站
这个星期日收入保管费总数的范围














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第十八章

勾股定理

18．1 勾股定理（一）
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥< br>一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面
积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积
相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改
变 。
三、例题的意图分析
例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼 图，发散学生的思维，锻炼学生的
动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手 。激发学生的民族自豪感，和爱
国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重 叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信
勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的
语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文
明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，
是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事 实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段
连结得一直 角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）
的长是3，长 的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
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再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现3+4与5 的关系，5+12和13的关系，即3+4=5，5+12=13，那么就有勾+股=弦。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a＋b=c。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼 摆不同的形状，利用面积相等
进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S
△< br>+S
小正
=S
大正

4×

ab＋（b－a）=c，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发
学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a＋b=c。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×

ab＋c
右边S=（a+b）
左边和右边面积相等，即
4×

ab＋c=（a+b）
化简可证。
六、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
22
22
222
22
222
222222222222222
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⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b= a＋c，则 =90°； 若满足b＞c＋a，则∠B是 角；
若满足b＜c＋a，则∠B是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每 行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19
时，b，c的值，并 把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5
5、12、13
7、24、25
9、40、41
……
19，b、c
3+4=5
5+12=13
7+24=25
9+40=41
……
19+b=c
222
222
222
222
222
222
222222
3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=< br>
cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多
少秒时，PA与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
求证：⑴AD－AB=BD·CD
⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。


22
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八、参考答案
课堂练习
1．略；
2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=

AB；⑶AC=

AB；⑷AC+BC=AB。
3．∠B，钝角，锐角；
4．提示：因为S
梯形ABCD
= S
△ABE
+ S
△BCE
+ S
△EDA
，又因为S
梯形ACDG
=

（a+b），
S
△BCE
= S
△EDA
=

ab，S
△ABE
=

c, （a+b）=2×

ab＋

c。
课后练习
1．⑴c=

；⑵a=

；⑶b=


2．

；则b=

，c=

；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：过A作AE⊥BC于E。

18．1 勾股定理（二）
一、教学目标
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
3．难点的突破方法：
⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公 式的推倒过程，在做题过程中熟
记公式，灵活运用。
⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不 同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提
高学生的灵活应用能力
222
2
222
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⑶作辅助线， 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角
形，作高是常用 的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
三、例题的意图分析
例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形 ，并标好图形，理清边之间的
关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学 会利用不同的条件转化为已
知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造
直角 三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
四、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标 好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边
直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另 一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两
边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角 形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让
学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学 会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关
系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边 12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生
知道考虑问题要全面，体会 分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
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⑴求等边△ABC的高。
⑵求S
△ABC
。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。
六、课堂练习
1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
七、课后练习
1．填空题
在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
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⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。
2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

八、参考答案
课堂练习
1．17； ； 6，8； 6，8，10； 4或

； ，

；
2．8； 3．48。
课后练习
1．24； 4

； 3

； 6； 12； 10； 2．


18．1 勾股定理（三）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。
3．难点的突破方法：
数形结合，从实际 问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，
注意勾股定理的使 用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复
运用定理，使学生达 到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的
积极性和主动性。
三、例题的意图分析
例1（教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意 条件的转化；学会如何利用数学
知识、思想、方法解决实际问题。
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例2（教材P75页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系： 保证一边不
变，其它两边的变化。
四、课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有 着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今
天我们就来运用勾股定理解决一些问 题，你可以吗？试一试。
五、例习题分析
例1（教材P74页探究1）
分析：⑴ 在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都
是直角。⑵ 让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学
问题中忽略厚 度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意
给学生小结深化 数学建模思想，激发数学兴趣。
例2（教材P75页探究2）
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 ⑵ 在
△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。
则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。
六、课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是 米。





2题图 3题图 4题图
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3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地 直
接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC= 80公里，
BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
七、课后练习
1．如 图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50
米，
∠B=60°，则江面的宽度为 。
2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为
米。
3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且R P⊥PQ，则RQ= 厘
米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三 角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求
B、C两点之间的距离 ，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）
八、参考答案：
课堂练习：
1．

； 2．6， ；
3．18米； 4．11600；
课后练习
1．

米； 2．

；
3．20； 4．83米，48米，32米；

18．1 勾股定理（四）
一、教学目标
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1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用。
2．难点：勾股定理的综合应用。
3．难点的突破方法：
⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。
⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。
⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用< br>能力。
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
三、例题的意图分析
例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形 结构和图形性质，通过讨论、
计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直 角三角形，三个勾股定理及
推导式BC-BD=AC- AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
例2（补充）让学生注意 所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让
学生掌握解一般三角形的问 题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已
知角。
例3（补充 ）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角
形的方法，把 四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面
学过的知识和新 知识综合运用，提高解题的综合能力。
例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画 出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上
的点与实数一一对应的理论。
四、课堂引入
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
五、例习题分析
例1（补 充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，
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求线段AB的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非
常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导
式BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角
形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由

，分别在两个三角形中利用勾股定理
和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。在学生充 分思考
和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S< br>△ABC
。让学生充分讨
论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？
解略。
例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2 。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长A B、DC交于F，或延长AD、BC交于
E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选 第三种较为简单。教学中要逐层展示给
学生，让学生深入体会。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE=AE- AB=8-4=48，BE=

=

。
∵DE= CE- CD=4-2=12，∴DE=

=

。
∴S
四边形AB CD
=S
△ABE
-S
△CDE
=

AB·BE-

CD·DE=


小结：不规则图形的面积 ，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边
形面积转化为三角形面积之 差。
例4（教材P76页探究3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示

的点。
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六、课堂练习
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S
△ABC
= 。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，
BC= ，S
△ABC
= 。
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，
AD= ,S
△ABC
= 。
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S
△ABC
。


七、课后练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，AB= 。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S
△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。
3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=

，
求（1）AB的长；（2）S
△ABC
。
4．在数轴上画出表示－

的点。
八、参考答案：
课堂练习：
1．30cm，300cm；
2．90，60，30，4，

；
3．2，

，3，1，

；
4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x， 25-x=26-（17-x），x=7，BD=24，
S
△ABC
=

AC·BD=254；
课后练习：
1．4；
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2
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2．5，12；
3．提示：作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=

，BC=2+

，S
△ABC
= =2+

；
4．略。
18．2 勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
3．难点的突破方法：
先让学生动手操作， 画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证
明方法。充分利用这道 题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
为学生搭好台阶，扫清障碍。
⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问
题 转化为如何判断一个角是直角。
⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑶先做直角， 再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A
1
B
1
=c，则通过三边对应 相等的两个三角形
全等可证。
三、例题的意图分析
例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。
例2（P82探 究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求
知欲，锻炼学生 的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
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例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤 ：①先判
断那条边最大。②分别用代数方法计算出a+b和c的值。③判断a+b和c是否相等，若相等 ，则是直
角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
四、课堂引入
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
五、例习题分析
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆 命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意
语言的运用。
⑵理顺他们之 间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都
假。
解略。
例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个 三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问< br>题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角， 再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A
1
B
1
=c，则通过三边对应 相等的两个三角形
全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合， 激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论
证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理 论学生更容易接受。
证明略。
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例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n－1 ，b=2n，c=n＋1（n＞
1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理 的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出 a+b和c的值。③判断a+b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不
相等，则不是直角三角形 。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证 明a+b=c
即可。
⑶由于a+b= （n－1）＋（2n）=n＋2n＋1，c=（n＋1）= n＋2n＋1，从而a+b=c，故命题获证。
六、课堂练习
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命 题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：

，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c= b—a，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a=

，b=

，c=


D．a：b：c=2：3：4
2
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4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判 断该三角形是否是
直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=

，b=

，c=

； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b=

，c=

； ⑷a=5，b=

，c=1。
七、课后练习，
1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
⑴如果a＞0，那么a＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。
2．填空题。
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。
⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。
⑶在△ABC中，若a=b－c，则△ABC是 三角形， 是直角；
若a＜b－c，则∠B是 。
⑷若在△ABC中，a=m－n，b=2mn，c= m＋n，则△ABC是 三角形。

3．若三角形的三边是 ⑴1、

、2； ⑵

； ⑶3，4，5 ⑷9，40，41；
⑸（m＋n）－1，2（m＋n），（m＋n）＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4．已知： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是
直角 三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=

，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
八、参考答案：
22
222
2222
222
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课堂练习：
1．对，错，错，对； 2．D；
3．D； 4．⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A。
课后练习：
1．⑴如果a＞0，那么a＞0；假命题。
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。
2．⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角。
3．B 4．⑴是，∠B；⑵不是，；⑶是，∠C；⑷是，∠C。
18．2 勾股定理的逆定理（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
3．难点的突破方法：
三、例题的意图分析
例1（P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
四、课堂引入
创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
五、例习题分析
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例1（P83例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为24+18=30，PQ+PR=QR，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30 米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较
长边短1米，请你试判 断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由5+12=13，知三角形为直角三角形。
解略。
六、课堂练习
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小 强在操场上向东走了80m后，又
走60m的方向是 。
2． 如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1
米， 则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我 国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海
里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，
乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40° ，问：甲巡逻艇的航向？

七、课后练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的
形状为 。
2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC 、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、
C两点之间距离是9米， B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
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3．如图，小明的 爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，
以便计算一下产量。 小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

八、参考答案：
课堂练习：
1．向正南或正北。
2．能，因为BC=BD+CD=20，AC=AD+CD=5，AB=25，所以BC+AC= AB；
3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°， 航向为北偏东50°。
课后练习：
1．6米，8米，10米，直角三角形；
2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。
3．提示：连结AC。AC=AB+BC=25，AC+AD=CD，因此∠CAB=90°，
S
四边形
=S
△ADC
+S
△ABC
=36平方米。

18．2 勾股定理的逆定理（三）
一、教学目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
3．难点的突破方法：
⑴研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。
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