5亿日元怎样把实际问题化成数学问题

2020年11月29日发(作者：查良镛)
初中数学竞赛：怎样把实际问题化成数学问题

数学从逻辑上讲，是训练思维的工具 ．通过学习数学可以使人更加聪明，办事更有条理，
思维更加灵活而富于创造性．另一方面，如果从应用 上讲，数学也是一种应用技术，应用数
学知识、原理和方法可以解决各种实际问题．那么怎样把一个实际 问题化成数学问题来解决
呢？这是一个比较复杂的过程，大体上可以通过以下步骤进行：
(1)了解实际问题中量的关系和图形元素的关联；
(2)根据量或图形间的关系，寻找相应的数学模式；
(3)考虑数学模式中的条件与结论的蕴涵关系，提出数学问题；
(4)应用数学知识、原理，求出数学问题的解答；
(5)由数学问题的解答，对实际问题作出解释与讨论；
(6)推广数学模式所能解决的更广泛的实际问题．
但是由于实际问题千变万化，特别复杂， 所以当把实际问题化成数学问题求解时，也有
不同的思考方法．下面提出几点较为常见的方法，供读者参 考．
1．抽象分析法
例1 “七桥问题”．在18世纪东普鲁士的首府哥尼斯堡有一条河， 叫作布勒格尔河，
横贯城区，在这条河上共架有七座桥(图2-146)．所谓“七桥问题”就是：一个 人要一次走
过这七座桥，但对每一座桥只许通过一次，问如何走才能成功？这个问题，引起当时德国人< br>的好奇，很多人都热衷于解决它，但谁也没有成功．

欧拉(Euler)是一位大数 学家，由于千百人的失败，使他猜想：这种走法可能根本不存
在．但是怎样证明这种走法不可能呢？欧拉 运用抽象分析法，将之化成数学问题，于1736
年证明了他的猜想，使“七桥问题”得到圆满的解决． 那么欧拉是怎样抽象成数学问题进行
思考的呢？
使问题简单化．
作为解决实际问题 的第一步，要尽可能使问题简单化．为此要抓住问题的要点，做初步
的抽象处理．显然岛的大小和桥的长 短与问题无关，因此可以不加考虑．如果把岛及陆地用
点表示，桥用线表示，那么这个问题就成了一笔画 问题(图2-147)．

在图2-147中，由A到B有桥1；由B到D有桥2，桥3；由 D到C有桥4，桥5；由C
到A有桥7；由A到D有桥6，共七座桥．这样，就把实际问题数学化了，使 问题的解决推
进了一步．
一般说来，在数学思考中，常把原问题不改变本质地加以变形，使其 简单化，以利于找
到解答．例如，列方程解应用问题就是这种思想的一种体现．先把实际问题化成含有已 知量
和未知量的方程，然后再把方程作同解变形，化为最简方程，较容易地求出方程的解，实际
问题也就解决了．
寻找解决问题的方法．
问题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓 住本质加以分析，从中发现规律性．为
此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．
(1)假 如只有三座桥(图2-148)．对于图2-148(a)来说，无论从哪个端点起一笔画出总
是可能的 ．但对图2-148(b)来说，无论从哪个端点起，一笔画完总是不可能的．

(2)假如 有四座桥(图2-149)．对于图2-149(a)，(b)来说，显然可以一笔画成．但对图
2-1 49(c)来说，却不能一笔画成．

研究了这些简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数 学家提出了网络这一概念，以便
利用新概念的特性，解决已经提出的问题．
定义 网络是由有 限个点(称作网络的顶点)和有限条线(称作网络的弧)所组成的图
形．这些点和线满足以下条件：
(i)每条弧都以不同的两个顶点作为端点；
(ii)每个顶点至少是一条弧的端点；
(iii)各弧彼此不相交．
这样，所谓一笔画问题，就是网络中的同一条弧不许画两次，而把网络全部勾画出来的
问题．
(3)研究网络能一笔画出的特点，寻找解决问题的方法．我们假定一个网络能一笔画出
来，那 么这个网络中显然有一点为起点，另一点为终点，其他各点为通过点．设某点为起点，
如果以某点为顶点 的弧不只一条，那么由某点沿一条弧画出去，必沿另一条弧画回来，因此，
最初是画出去，然后进出若干 次后，把集中在某点的弧全部通过完毕为止，最后一次必须是
画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条 ．而终点的情况刚好与起点相反，先是画进，再
画出，进出若干次，最后一次必是画进，因此终点也集中 奇数条弧．但起点与终点同为一点
时，必是先出后进，中间或许经过若干次进出，最终回到起点．因此在 该点集中的弧必是偶
数条，而在中途通过的点所集中的弧显然也必定是偶数条．
通过上面分析 可知：一个网络中的点可分为两类，一类顶点集中了偶数条弧，另一类顶
点集中了奇数条弧．我们称前者 为偶点，后者为奇点．例如，在图2-149(b)中，A，B为奇
点，C，D为偶点．通过对图2-1 48和图2-149的考察，我们可以直观地想到如下结论：
(i)一个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是0或2．
(ii)一个网络中的奇点个数若是0或2，那么这个网络一定能一笔画出来．
欧拉证明了以 上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔画的条件是当且仅
当这个网络的任意两个顶点都有 弧连接，并且奇数点的个数等于0或2．
(4)回到原问题．利用欧拉定理，“七桥问题”很容易就解 决了．因为在图2-147中，
奇点个数是4，不满足欧拉定理的条件，因此不可能按约定条件通过七座 桥．
(5)推广．如果一个网络的奇点个数不是0或2，则这个网络不可能一笔画成．那么要
多少笔才能画成呢？这就成为多笔画的问题了．多笔画的研究发展了网络理论的研究与应
用，后来发展成 现代数学的一个分支——图论．
归纳上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解决实际问题的思维过程：
(1)把实际问题简单化，抽象成数学问题．
(2)解决问题是靠发现事物间由简单到复杂、由特殊到一般的内在联系．
(3)发现的思路 是以具体实例作为经验观察，由简到繁地考察构成实例间的基本事实和
关系；再由诸特例作出一般的归纳 猜想，并加以理论证明．
(4)应用论证后的法则，解决各种难题，实际上是化难为易．
(5)把法则加以推广，以解决更多的实际问题，并扩展数学的理论和应用．

2．数据处理法
有些实际问题需要收集问题中的若干对应数据，从数据中观察相关变量的依存 关系或对
应关系，可以得到大致体现实际问题有关变量变化规律的数学模型，从而解答实际问题．下面举一个实例，说明这种方法的应用．
例2 怎样由树的断面直径来推断树的高度．
解 第一步：设计变量．根据这个问题，我们可以设预测的某种树的高度为y，离地面
1.5米处的直径为x 厘米．
第二步：收集x，y的对应数据，为此我们测量12棵树的x，y的对应值，列表如表28．1．

第三步：由对应数据求出y对x的函数关系式．
常用的方法是作图法．把直径x看 作自变量，高度y看作因变量．每一对(x，y)看作一
个点，画在坐标纸上(图2-150)，作成散 点图．从散点图可以直观地看出两个变量之间的大
致关系．我们从图2-150可看出，y随x的增大而 增大，并且这些点的分布近似一条直线．