英语文摘读皮亚杰儿童怎样学数学心得

2020年11月29日发(作者：尹小霞)


转眼间，进入第三章一元一次方程的教学，一元一次方程是初中数学的重要内容， 首先要学
习用字母表示数。学生对字母表示数并不陌生，如小学接触的面积公式，还有运算率等都涉及到用字母表示数的知识。教材先从学生熟悉的加法交换律a+b=b+a和结合律
(a+b)+c =a+(b+c)入手,然后引发学生思考：“用字母表示有理数的运算律的意义是什么？”
进一步引导 学生思考：“由字母表示数的意义是什么？”学生开始给出各种理由，如简单，
方便……最终统一得出： “由于字母可以表示任意的有理数，所以用含有字母的式子表示运
算律就比较简明了，可以表示运算率的 普遍性。”最后，教师总结：“在数学中，字母和含
有字母的式子是主要的研究对象之一，这使我们对数 的研究更具有一般性。”……接下来教
材中提出这样一个问题：“3a+b能表示什么？”课本上给出了 这样的解释：“如果a（元），
b（元）分别表示签字笔和圆珠笔的单价，那么3a+b表示3支签字笔 和圆珠笔的价格；如果
a（千克），b（千克）分别表示1袋大米和1袋面粉的质量，那么3a+b表示 3袋大米和1
袋面粉的总质量……”其目的是通过赋予代数式的实际意义体会字母的任意性。我让学生举
出例子，其中一个学生给出了下面的解释：“a代表苹果，b代表梨，所以3a+b表示3个苹
果和一个梨”我有些疑惑，从字面上的解释，好像也说得通，但总觉得学生说的不对，可又
不知错在哪里 。史宁中教授在《数学思想概论》中谈到：“数来源于对数量本质的抽象，数
量的本质是多与少”因此数 的运算应以数量为前提。离开了数量也就不再是数学问题。反观
学生的答案，从字面上看没有问题，但已 脱离了数量，相加也就没有意义了。如果改成a
代表苹果的重量，b代表梨的重量，又或者a代表苹果的 价钱，b代表梨的价钱，3a+b也就
有了意义。
从教近20年，又教了十几年的高中数学， 一下子回到初一很是不适应。习惯了做那些所谓
的难题，当面对初一年级诸如“有理数加法”看似最简单 的问题时，却有些素手无策！除了
缺乏对初中知识的深刻理解外，孩子们的学情也让我头疼。直升班的学 生，大多数都在小学
阶段上了课外班，可以说，初一的许多知识对他们中的大多数人来说并不陌生，甚至 是十分
熟悉，例如，他们知道许多运算的法则和技巧，对学生的不了解使我常常在课堂上陷于尴尬
的境地——我精心设计教学常常因为结论早已被学生熟知而失去了应有的神秘感，而变得索
然无味。这 时候，“课堂上教什么？”成了困扰我的难题!“负负得正”的教学是我经过反
复思考后进行的尝试。
本节课的题目是有理数的乘法。教学的最终目的是得出有理数乘法的法则——同
号 两数相乘得正，异号两数相乘得负。这个运算法则对学生来说并不陌生，因为小学已经学
过数的乘法，此 时只不过是由于负数的引入，导致法则的变化。按照皮亚杰的理论，在儿童
学习运算法则的教学之前，应 充分的给儿童创设关于运算的实际活动，因为对低年龄段的儿
童来说，2+3=5只是死记硬背，是毫无 意义的。必须赋予其一定的含义。如吃了2个苹果，
又吃了3个苹果，问共吃了几个苹果？只有在这样的 活动中儿童才会逐渐理解和建构2+3=5
这一个算式。同样，对初一的学生来说，对负数意义的理解也 需要赋予其含义，因此在课本
中从有理数运算的一开始，就是不断用通过举实例地办法帮助学生体会有理 数加减法的意
义。因此理解负数的意义，是学好这几课的关键。然而与有理数的加减法不同的是，有理数
乘法（特别是两个负数相乘）很难与生活联系，因此能否找到合适的例子，并且用好实例，
讲明 白是关键。
课堂实录：
……
教师：猜想（-2）x3的结果，并举出实例说明该结果的合理性。
学生：电梯向下运行为负 ，每次向下运行两层，三次后向下运行了几层？学生接下来又举出
了生活中的实例。诸如水位，温度，盈 亏……
教师：大家看老师的例子，你能用这个例子重新解释-2x3的含义吗？




例子：一只蜗牛沿直线爬行，规定向右爬行为正，如每小时向右爬行2米就记做+2，
学生： -2的含义是蜗牛向左每小时爬行2米，3的含义是爬行的时间为3小时，所以-2x3
的含义就是一只 蜗牛以每小时2米的速度向左爬行，3个小时后蜗牛的位置。如图可知蜗牛
在距离起点左侧6米的位置， 因为向右为正，记做-6米。
教师：2x(-3)=?怎样解释它的含义？
学生：把-3看 做速度，2看做时间，含义就是：蜗牛每小时向左爬行3米，问两小时后蜗牛
的位置。
教师：大家说的很好，都是这么解释的吗？
学生：是
教师：为什么？
学生：因为时间不能为负
教师：速度就可以为负吗？
学生：规定了方向以后，速度就可以为负了
教师：既然速度可以规定方向，难道时间就不能规定方向吗？
学生思考……马上就有学生明白了我的用意
学生小强：老师，我认为时间也有正负，比如沈老 师让我们早上7点钟到校，如果我6点
30分到校就是早到的半个小时，如果我7点30分到校就是晚到 了半个小时，早到，与晚到
意义是不同的，所以一个记做+30分，一个就记做-30分。
教 师：很好。规定了方向以后，速度就有了正负，规定了某个参照时刻后（如早上7点），
时间也就有了正 负的意义。8点就是一小时后，记做+1,6点就是一小时以前，记做-1.
教师：现在，你能否重新解释2x(-3)的含义？
学生：小蜗牛每小时向右爬行2米，问3 小时前蜗牛的位置？如图所示应在起点左侧6米的
位置。记做-6，所以2x(-3)=-6
教师：（-2）x（-3）=?怎样解释？
学生：小窝牛每小时向左爬行2米，问3小时前他 的位置?如图所示它应在起点右侧6米的
位置。记做+6米，所以（-2）x（-3）=6
教师：（-2）x0=?
教师：你能归纳出有理数乘法的运算法则吗？
…… ……整个教学过程可以用一气呵成来形容，学生很轻松地就理解了为什么负负得正，而对于
时间为什 么可以为负，学生好像并没有我预想中的困难。分析一下原因，发现学生小强功不
可没。他的例子太经典 了！”早到，迟到“一下就区分出时间的正负，为学生的理解时间的
正负扫清了障碍。小强平日里常常因 为迟到没少挨批，想不到关键时刻却帮了我们的忙。看
来任何事情总是有两面性的，这句话有点意思。还 是希望小强改掉迟到的毛病。
整个教学过程应该说，体现了数学的原初的自明性，但对 于数学内部逻辑自明
性的呈现还很不够。下课前的几分钟让学生用数学推理的方式解释-2x3,学生用 了添括号将
其变成-（2x3);还有的学生将-2变成（0-2）x3，再去括号变成0-2x3=- 6。不知这样的推到
是否合理？是否体现了逻辑自明性？



前 一段，结合自己有理数乘法的教学，写了“为什么负负得正”的案例，在与同事的交流中，
获得了肯定的 同时，也有人提出了这样的疑问“教学过程的流畅就能说明教学设计是自明的




吗？”对于这样的质疑我缺乏有力的反驳，因为直到现在我也无法说清楚我的这种教学设计< br>的自明性源于何处？无奈，上网查阅了相关的资料，有了一点点的思路。
2001年春，袁隆平 院士到武汉讲学，谈到自己中学学习的经历，对为什么“负负得正”一
直不能理解，堂堂院士，困扰于一 个初中问题看似可笑，然而事实上，要想真正弄清楚又谈
何容易！要弄清楚负负得正的深层原因，它的实 际背景是不能回避的问题。张奠宙教授曾在
一篇文章中发出这样的感慨：“世界上还没有发现一个为大家 普遍接受的负负得正的实际情
景，可以说，负负得正至今仍然是困惑初中数学界的疑难问题”。从另一方 面讲，《新课程》
又非常重视过程与方法的教学，因此教材的编写者非常关注两个负数乘积为正数这一规 律的
产生和形成过程，尽可能使学生感受到“负负得正”的合理性。因此设计了水位涨落的实例。
即便如此，教学中常常有陷入另一种尴尬中——“为了情境而情境”，强行将学生拉入老师
设计的实际 情景中，然而学生却常常不领情，教师讲的费劲，学生听得糊涂。要想解决它，
首先要攻克以下难点。
一、有理数与数轴上的点对应关系。将有理数与数轴上的点对应起来，有理数的正负，对应
数轴 上原点左右两侧的点。如-2对应原点左侧距离原点两个单位的点，2对应原点右侧距离
原点两个单位的 点。
二、有向线段的数量与速度V之间的关系。物理中的速度看似都是正的，却是以规定了方向
作为前提，所以我们说速度是矢量，既有大小又有方向，因此它与数学中有向线段的概念一
致。按数轴 规定向右为正，如向右走，速度为2米/小时,可记做+2，向左走，速度为2米/
小时,可记做-2，
三、从“相反意义的量”的角度来理解时间的正负。在物理的世界，时间也是正的，这是因
为物 理中通常研究的是以现在开始为起点的，即它只选择了数轴上原点右侧的部分为研究对
象，如果从“相反 意义的量”的角度来理解时间的话，时间也应该有正负。以现在开始为界
线，如果从现在开始以后为正， 那么从现在以前为负。例如规定现在12点为起点，记做原
点，那么14点就是从现在开始两小时后，记 做+2小时，10点就是12点的两小时前，记做
-2小时。自此，时间也就有了正负。
有理 数，点在数轴上的位置，有向线段的数量与速度……将数轴上的点的位置与有理数对应
起来，有向线段与 速度对应起来，将相反意义的量与正负对应起来，过去为负，将来为正，
正视此时时间的正负与物理世界 中的时间不同的现实，是数学中的规定……凡此种种，如果
教师在教学之前有这样的认识，那么他的教学 或许可以达到自明。
周末晚上,和妞妞搭了积木,玩了拼图又讲了5个故事,妞妞才心满意足的睡着了 ,此时的我早
已精疲力尽,但仍然迫不及待的打开电脑开始整理昨天带学生们去国家大剧院的照片.看着 照
片上一张张熟悉的年轻的笑脸,心中竟涌出一丝丝的感动,这是丰台二中最年轻的一批学子,
承载着二中人对新教育理想的实践与探索,若干年后,也许会载入二中史册的2012届的青苗
班,种子 班,和飞鸟班……自9月1日入校以来,我们已共同走过了一百多个日日夜夜.
说出 来,大家可能不会相信,北京的孩子,却有许多并未走进过国家大剧院.因此,当孩子
们听说可以走进国 家大剧院,并且还要参与到节目中校歌的演唱时，兴奋异常！许多孩子为
此推掉了早已安排好的补课，外 出，甚至比赛……因为在国家大剧院演出对他们来说太有诱
惑力了！
还记 得，周二晚自习时间，第一次与乐队合练，二中本来就不大的礼堂被两百多个孩
子塞的满满的，从未见识 过如此场面的孩子们有点懵，就连平时最淘气的孩子也涨红了小脸，
瞪圆了双眼不敢有一丝的大意，生怕 错过了指挥的一个字，一个眼神……乐队演奏一曲完毕，
孩子们竟不约而同的鼓起掌来。此时此刻，我感 受到了音乐的魔力！
为了让演出完美，必须做足充分的准备。首先是服装，制服还 没有做好是个遗憾，就
用运动服配红领巾来弥补，穿在孩子们身上倒也十分精神。突然发现问题，作为演 出背景座




位多出了11个，只好从合唱队调过11名男生， 于是必须准备11套服装和红领巾，为防意
外，我们准备了15套。 听音乐会是件高雅的事，学生的言 行必需得体，于是班主任开始普
及听音乐会的各种常识——从服装，礼仪，何时鼓掌，不准吃零食，不准 拍照，不带手机，
坐姿端正……总之，你的言行举止要配得上国家大剧院的环境。最重要的还是安全，从 乘车
到入场，退场要求必须集体列队。
周六一大早，我们就出发了，坐 在汽车上的我竟和孩子们一样兴奋。即便如此，孩
子们也表现的十分得体，也许是这几天培训的礼仪发挥 了作用吧，孩子们手中小心翼翼的攥
着门票，脸上的表情竟然十分的庄重，好像不是去听音乐会的，而是 去参加一个重要的盛典。
是啊，孩子们在赴一个重要的约会，一个与国家大剧院的约会 。此时，我的耳边响起那首
再熟悉不过的诗——向着明亮那方，向着明亮那方……
演出的精彩早在意料之中，而学生们的表现也可圈可点。 明亮那方是什么？是国家
大剧院，是音乐，是 一切美好的事物。孩子们需要用美好的东西浸润，滋养，这一点太重要
了！
遗憾还是有的，演出过程中有几个孩子交头接耳，还有一个睡着了，最遗憾的是因
为中途下车，忙着组织 学生们下车而没有带领学生向司机师傅表示感谢，这是教师的责任！

数学概念的形成过程
根据皮亚杰的儿童认知发展阶段，柯普兰在《儿童如何学数学》一书中，将
一个 具体的数学概念的发展过程分为三个阶段，即：阶段1表示毫无理解，对应
于皮亚杰所说的前运算阶段的 智慧特点；阶段2表示部分理解，对应于前运算与
具体运算之间的过渡阶段的智慧特点；阶段3表示完全 理解，对应于具体运算阶
段的智慧特点。当然，他也指出：“有些概念还有阶段4，这是指在纯粹抽象或
形式运算水平上的完全理解”。这种划分有一定的道理，因为，背后的依据显然
是皮亚杰的理论 ，但它有效避免了在具体教育实践中所面临的一个较为棘手的问
题，即：对于中小学数学老师而言，刻画 一个具体数学概念的形成过程，照搬皮
亚杰的“名词”，是非常生硬且难以理解的；转换后的概念，大家 耳熟能详，不
失亲切。但是，这种转换的失足之处也是显而易见的。其一：由于照顾到“日常
说 法”——毫无、部分、完全，使得这种划分反而丧失了皮亚杰根据儿童内在认
识图式循环建构生成所使用 语言的精妙性和深刻性；其二，儿童的认知发展是一
个同化、顺应、动态平衡的循环建构过程，某一阶段 的认知发展图式，即是前一
阶段的抽象形式，又是后一阶段的具体内容，所以，成长中的儿童的认知图式 总
是可以在“感知运动阶段”找到其源头，而柯普兰恰好把这个“源头”给忽略
了；其三，数学 概念不同于物理概念，后者直接源于客观存在的物体（限于经典
物理学），而前者却是对施加于客观物体 的“动作”本身的抽象与创造。客观世
界有“1”、“2”、“3”么？没有，即便是看似如此简单的阿 拉伯数字，也是
人类伟大的创造。而人们通常认为欧式几何是对客观世界的“图形性质”的“归
纳”，这显然也是错误的，客观世界中有小而无内的“点”么？有没有粗细、可
以向两端无限延伸的“直 线”么？有没有厚度、可以向四周无限延伸的“平面”
么？仍然没有，这些最基本的几何图形都是人类最 纯粹的发明与创造！也就是说，
一个科学的数学概念也许起源于儿童的感知或具体操作，但是，它的“成 熟水
平”一定是以高度形式化和抽象化为表征的。而柯普兰居然说：“有些概念具有
阶段4”， 他可能忽视了数学最根本的特点——高度的形式化与逻辑化。




在《思维与语言》一书中，维果斯基将一个概念的不同成熟阶段界定为：混
合概 念、复合概念、科学概念。这显然是一个发生学上的划分，对于以语言为表
征的概念思维发展而言，具有 很好的启发意义。但是，这种划分也许对于“人文
科学”的概念发展而言更为恰当，而对于数学概念来说 ，有明显的不足，因为：
儿童学习和发展一个数学概念时，并不存在一个所谓的“日出概念”和“科学概
念”的区分，更不存在这两个概念并行发展的不同轨道。在一个科学的数学概念
建构生成过程中 ，不同儿童达到相应发展阶段的年龄不是僵化固定的，但是，从
感知具体到抽象形式、从低级到高级，各 个发展阶段总是构成一个互为内容与形
式的动态建构的统一体。
综上所述，我建议把一个数学 概念的形成过程界定为：感知运动型概念、操作协
调型概念、形式逻辑型概念。感知运动型概念对应于儿 童认知发展的感知运动阶
段和前运算阶段，儿童在这个时期建构的数学概念，一方面受制于视觉或其它感
觉，另一方面也会受到具体操作活动作需要步骤数量和复杂程度的影响。操作协
调型概念对应于 具体运算阶段，儿童已经形成了量的守恒性和运算的可逆性，但
是必须建立在具体操作活动的基础上，所 以，认知结构表现得并不稳定，遇到较
为复杂的问题时，可能仍然需要试误性协调操作活动。这一阶段年 龄跨度大，且
不同概念抵达此阶段的年龄差异很大。比如说，加、减法运算，儿童在7岁左右
即 可形成操作协调型概念并直接进入下一阶段；而对于乘、除法和比例，儿童抵
达相应的阶段却要推迟到1 1岁，甚至更晚。形式逻辑型概念，是一个科学的数
学概念形成的标志，儿童完全可以脱离具体情境与操 作，直接在自己内在的认知
结构中进行抽象的、形式化的科学稳定地运演。
在日常数学教学中 ，有些老师“善于”联系实际生活。比如：初中学习直线时，
会引导学会观察铅笔、书脊、桌子的边缘、 墙角线、电线杆子、笔直的马路等等，
然后抽象归纳出直线的概念；再如：高中学习“面面平行的判定定 理”时，会引
导学生观察教室内相对的墙面、不同楼层的天花板等等，然后抽象出判定定理。
这 样的课堂往往很活跃，并且很容易赢得赞誉，比如：很好的联系了生活实际，
体现了数学知识源于生活、 寓于生活、用于生活的特点，等等。然而，这些做法
与赞誉都是错误的，是根本不符合儿童认知建构数学 概念的基本规律的，是对
“数学学习要联系生活世界”的肆意歪曲和习焉不察的黑白颠倒。首先，升入初
中以后（更惶论高中），学生的认知图式已经进入形式运演阶段，他们在此阶段
建构生成的数学 概念是形式逻辑型，是基于内在已有认知图式的“反省抽象”，
而不是基于对外部客体的“简单抽象”（ 前面的两个例子恰恰都是如此）。教学
的目标和重点，应该是引导学生的认知图式向更高的阶段（其实也 就是更形式化
的阶段）发展，而不是一旦遇到问题，总是首先把学生“拉回”到“感知运动水
平 ”，仿佛中学生只是刚刚出生的“婴儿”一样；其二，在前面的例子中，概念
定理的获得过程看似流畅自 然，实则漏洞百出，于学生的数学思维发展有百害而
无一利。请问：铅笔、桌子的边缘是直线吗？墙面、 天花板是平面吗？答案都是
否定的，前者只不过是“线段”，而后者也许只能算作一个“长方体”，向两 端
或四周无限延伸的直线或平面根本就不存在于我们人类可见的视野之中，我们只
能在外面的思 维意识中尽情地想象它们、创造出它们，而这才是真正的数学学习
所迫切需要的！




也许有人会提出异议：难道数学就不需要联系生活实际吗？就可以不食人间烟火< br>吗？当然不是！只是不能像上面所提及的课例那般“庸俗化”的联系，而是体现
在：学生运用自己 头脑中高度形式化、逻辑化的科学数学武器去数学化的处理和
解决他们在日常生活，特别是相应的科学研 究领域所遇到的真正的实际问题，这
种“联系”本身就是创造
科学的类结构、序结构以及数概念的发展
前文已详细论述了儿童类结构和序结构的形成发展过 程。事实上，儿童的数概念
几乎是伴随着类结构和序结构的发展而同步发展的，如果借用维果斯基的说法 ，
即：混合概念、复合概念、科学概念，我们可以用下表来表示数、类、序之间的
发展关系。
维氏的 类结构 序结构 数概念 皮亚杰的儿童
认知发展阶段
概念发展阶段
混合概念 无标准，仅能根据无标准，不同的相与“会数大致处于感知
视觉或位置相邻而邻两物 的标准不统数”的八哥运动阶段末期
归堆 一 类似 和前运算阶段
前期
复合概念 有标准，但不统一，有标准，但不统一，能机械计处于前运算阶
偶尔能根据视觉或偶尔能根据视觉或数， 但不明段晚期
试误完成“任务” 试误完成“任务” 确真实含义
科学概念 能根据确定标准准能根据确定标准准？ 具体运算阶段
确分类，并能准确确排序 及以后
判断包含关系
为何有个“？”呢？因为，对于科学的数概念而言，儿童仅形成科学的类概念和
序概念还略显不够，他们还需要同步发展“类”与“序”之间的关系概念，以及
数量的守恒性。
儿童可以参与多种游戏活动，以发展自己对于类与序的关系的认知。例如：用一
个小木快表示A ，然后用在木块A的基础上依次增加一个A的木块表示B、C、D、
E、F、G、H，问儿童：木块B由 几个木块A组成（用同样的方式询问C、D、E、
F、G、H与A的关系）？处于“混合概念”阶段的儿 童，无法解决这个问题；而
处于“复合阶段”的儿童，则可能用木块A去跟其他木块作比较，然后给出“ 答
案”，但由于受到视觉的局限，并不能够总是得到正确答案；而进入“科学概念”
阶段的儿童 ，则能够根据不同木块的“位置”，也就是“序号”，直接给出正确
答案了。用数轴上的点与其对应的数 的关系做类似游戏，也是非常有趣的。
关于数量的守恒问题，则更加复杂一些。首先，数的守恒与量的 守恒并不完全一
样。皮亚杰的研究表明，各类守恒在同一个儿童身上是按照一定顺序发生的：首
先是数的守恒，然后是量的守恒，包括：质量守恒，然后是长度守恒、重量守恒，
最后大约是在十一、二 岁时，才能获得面积守恒、体积守恒（当然，较聪明的儿