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我的娇妻初中数学八年级下册资料 (精品干货)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-29 07:47
tags:初中数学, 八年级, 其它课程

-

2020年11月29日发(作者:江勇为)
相似三
相似
我们一定
识打下良

例式,等积式的证明;二、双垂直


角形的判定
三角形的知识 与圆有着密切的联系,所以
要把这部分知识学好,为学习圆这部分知
好基础。
我们本讲重点研究两个问题:一、比
条件下的证明与计算。
一、等积式、比例式的证明:
等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变 化很多,同学们常常感到困难。但是,如果我们掌握了
解决这类问题的基本规律,就能找到解题的思路。

(一)遇到等积式(或比例式)时,先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式,在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母,就 可找出相似三角形。

例1、已知:如图,△ABC中,∠ACB=90,AB的垂直 平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证:CD=DE·DF。

分析:我们将此 等积式变形改写成比例式得:,由等式左边得到△CDF,由等式右边得到△EDC,这样只要证明
02
这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角,只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。

证明略(请同学们证明)

提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.
(二)若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似,则需要进行等线段代换或 等比代换。有时还需
添加适当的辅助线,构造平行线或相似三角形。

例2. 如图,已知△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA,BF交AD于P点,交AC于E点。
求证:BP=PE·PF。

分析:因为BP、PE、PF三条线段共线 ,找不到两个三角形,所以必须考虑等线段代换等其他方法,因为AB=AC,D是BC中
点,由等腰三 角形的性质知AD是BC的垂直平分线,如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC,只需证明△ PEC∽△
PCF,问题就能解决了。

证明:连结PC

在△ABC中,∵AB=AC,D为BC中点,

∴AD垂直平分BC,

2









∴PB=PE·PF。(等线段代换)

0
2
PB=PC, ∴∠1=∠2,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,
∴∠3=∠4,
∵CF∥AB,∴∠3=∠F,∴∠4=∠F,
又∵∠EPC=∠CPF,∴△PCE∽△PFC,
,∴PC=PE·PF,∵PC=PB,
2
例3.如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于F。
求证:

分析:比例式左边AB,AC在△ABC中,右边DF、AF在△A DF中,这两个三角形不相似,因此本题需经过中间比进行代换。
通过证明两套三角形分别相似证得结论 。

证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,

∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90,

∴∠1+∠2=90,∠2+∠C=90,

∴∠1=∠C, ∴△ABD∽△CAD, ∴

又∵E是AC中点,∴DE=EC,

∴∠3=∠C,又∵∠3=∠4,∠1=∠C,

∴∠1=∠4,又有∠F=∠F,

∴△FBD∽△FDA,



二、双垂直条件下的计算与证明问题:

“双垂直”指:“Rt△ABC中,∠BCA=90,CD⊥AB于D”,(如图)在这样的条件下有下列结论:

0
00
0


, ∴(等比代换)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)勾股定理

我们应熟记这些结论,并能灵活运用。

0
△ADC∽△CDB∽△ACB
由△ADC∽△CDB得CD=AD·BD
由△ADC∽△ACB得AC=AD·AB
由△CDB∽△ACB得BC=BD·AB
由面积得AC·BC=AB·CD
2
2
2
例4.如图,已知 Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,根据下列各条件分别求出未知所有线段的长:
(1)AC=3,BC=4;
(2)AC=,AD=2;
; (3)AD=5,DB=
(4)BD=4,AB=29。

分析:运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理,已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。

解:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

(1)∵AC=3,BC=4,由勾股定理得AB==5,
∵AC=AD·AB, ∴AD=
2
=,
∴BD=AB-AD=5-

=,
∵CD·AB=AC·BC,

∴CD=

(2)∵AC=,AD=2,AC=AD·AB,
2
(或利用CD=AD·BD来求)
2

∴CD=,
∵BD=AB-AD, ∴BD=
2
-2=,
∵BC=BD·AB,且BC>0,

∴BC=

(3)∵AD=5,DB=

,且CD=AD·BD,
2
∴CD==12
AB=AD+BD=
2

∵AC=AD·AB,
∴AC=
∵BC=BD·AB,
2
=13
∴BC=

(4)BD=4,AB=29,BC=BD·AB,

∴BC=

∴AD=AB-BD=29-4=25,

∵AC=AD·AB,

∴AC=

∵CD=AD·BD,

∴CD=

=10
2
2
2

=2,
=5,
例5.已知:如图,矩形ABCD中,AB:BC=5:6,点E在BC上,点 F在CD上,EC=BC,FC=CD,FG⊥AE于G。
求证:
分析:
BC=k,
AF=AD+DF=40k,
2222
AG=4GE。
图中有直角三角形,充分利用直角三角形的知识,设AB=5k,BC=6k (k>0),则EC=< br>FC=CD=AB=3k,得DF=2k,由勾股定理可得AE=AB+BE=50k,EF=EC+FC =10k,
22222222
所以AE=EF+AF由勾股定理逆定理得Rt△AFE,又因为 FG⊥AE,具备双垂直条件,问题的解决就有了眉目。

证明:∵AB:BC=5:6,

∴设AB=5k, BC=6k (k>0),

∴在矩形ABCD中,有

CD=AB=5k, BC=AD=6k, ∠B=∠C=∠D=90,

∵EC=

∵FC=

在Rt△ADF中,由勾股定理得

AF=AD+DF=36k+4k=40k,

同理可得AE=50k, EF=10k,

∴AF+EF=40k+10k=50k=AE,

∴△AEF是Rt△(勾股定理逆定理),

∵FG⊥AE, ∴△AFE∽△FGE,

∴EF=GE·AE,∵AE=

∴GE=

∴AG=AE-GE=5

k-k=4k,
=k, ∴4GE=4k,
2
222222
2222
22222 2
0
222
BC, ∴EC=×6k=k, ∴BE=5k,
CD, ∴FC=×5k=3k, ∴DF=CD-FC=2k,
=5k


F。


∴CD=AD·BD,

∴CD=AD·BD,

422
2
AG=4GE.
例6 .已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于
求证:AE·BF·AB=CD。
证明:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
3
0
又 ∵Rt△ADC中,DE⊥AC,Rt△BDC中,DF⊥BC,

∴AD=AE·AC,BD=BF·BC,

∴CD=AE·BF·AC·BC,

又 ∵AC·BC=AB·CD,

∴CD=AE·BF·AB·CD,

∴AE·BF·AB=CD

说明:本题几次用到直角三角形中的重要等积式。请同学们熟记这些重要的等积式,并能运用它们解决问题。

22
4
4
3















反比例函数及其图象
一、知识点讲解
1.反比例函数的概念
定义:一般地,函数y=(k是常数,k≠0)叫做反比例函数,其中自变量x的取值范围是x≠0。
注意:
①反比例函数三种形式:反比例函数y=(k是常数,k≠0)可以写成y=k·x(k是常数,k≠0), 自
-1
变量x的指数是-1;也可写成xy=k(k是常数,k≠0)。
②注意k≠0的条件,否则不是反比例函数。
③反比例函数中,两个变量成反比例关系:由xy =k,因为k为常数,k≠0,两个变量的积是定值,所
以y与x成反比变化,而正比例函数y=kx( k≠0)是正比例关系:由
数,两个变量的商是定值。
2.反比例函数的图象和性质
=k(k≠0),因为k为不等于零的常
反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线,其图象和性质如下表
反比例函数
y=
k的符号
图象
k>0
(k≠0)
k<0

性质 ①x的取值范围是x≠0,
y的取值范围是y≠0.

①x的取值范围是x≠0,
y的取值范围是y≠0.
②当k>0时,函数图象的两个分支 ②当k<0时,函数图象的两
分别在第一、第三象限。在每个象限内,个分支分别在第二、第四象限。
y随x的增大而减小。 在每个象限内,y随x的增大而
增大。
3.与正比例函数y=kx(k≠0)比较:
反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线,与坐标轴没有交点。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是直线,经过原点。
函数
解析式
正比例函数
y=kx(k≠0)
y=
图象 直线,经过原点
(k≠0)
反比例函数
-1
双曲线,与坐标轴没有交点
x≠0的一切实数
当k>0时,在一、三象限;
当k<0时,在二、四象限。
自变量取值范围 全体实数
图象的位置 当k>0时,在一、三象限;
当k<0时,在二、四象限。
性质 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k>0时,在每个象限内,y随x
的增大而减小;
当k<0时,y随x的增大而减小。
当k<0时,在每个象限内,y随x
的增大而增大。
4.反比例函数y=(k≠0)的图象的画法及应注意的问题
画图方法:描点法。
由于双曲线的图象有关于原点对称的性质,所以只要描出它在一个象限内的分支,再对称地画出另一
分支 。
一定要注意:k>0,双曲线两分支分别在第一、三象限。
k<0,双曲线两分支分别在第二、四象限。
特点:y==kx(k≠0)中,∵x≠0,∴y ≠0,则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠
-1
近x轴、y轴。
画图时图象要体现这种性质,千万注意不要将两个分支连起来。
5.反比例函数解析式的确定。
在反比例函数y=(k≠0)定义中,只有一个常数,所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定 系数
k,反比例函数即可确定。
所以只要将图象上一点的坐标代入y=中即可求出k值。
二、例题分析:
例1.选择题:
1.已知函数y=的图象经过(1,-2)点,那么函数y=kx+1的图象,不经过( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
解:∵y=

经过(1,-2)点,
∴-2=,∴k=-2。
∴一次函数y=kx+1=-2x+1,它的图象经过第二、四、一象限。
∴不经过第三象限,选择C。
2.已知:k<0,那么函数y
1
=与y
2
=kx在同一直角坐标系中的图象是( )


解:∵k<0,∴y
1
=在第二、四象限。
k<0,y
2
=kx在第二、四象限。
∴选择B。
3.已知:y与成反比例,且x=4时,y=-,那么y与x之间的函数关系式是( )。
A、y=- B、y=- C、y=- D、y=-
解:∵y与成反比例,即将看成自变量,设解析式为y=,
当x=4,y=-,
∴-=,∴k=2×(-)=-,
∴y==,选择A。
考察定义:已知中两个成反比例的变量是y和,则应设解析式为y=,不能设为y=.
4.反比例函数y=(k+1)x,当x>0时,函数值y随x增大而减小,那么k的值为( )
A、-2 B、0 C、-2或0 D、-1±
解:∵反比例函数y=(k+1)x,
k+2k-1=-1,k+2k=0,
k
1
=0或k
2
=-2.
∵当x>0时,y随x值增大而减小,∴k+1>0,∴k>-1。
∴选择B。k=0
以上四例重点考察的是反比例函数的概念、性质两方面的基础内容,是深入学习的关键,应认真掌握。
22
例2.已知函数y=(m+m-6)
2
,问m为何值时,函数是反比 例函数,且图象在第二、第四象限。
解:∵函数是反比例函数。
∴m-3m+1=-1解得m=1或m=2
又∵图象在第二、四象限
将m=1代入m+m-6中得1+1-6<0,适合要求。
而将m=2代入m+m-6=0,这时函数不是反比例函数。
2
22
2
注意:1.反比例函数y=
2
中自变量x次数为-1,且系数k≠0,当k<0时,图象在第二 、四象限。
2.本题中,字母m应满足m+m-6<0,但这样的不等式我们还不会解,所以可采 取验证的方法分别将m的
值代入,看是否符合不等式。这种方法在某些不可解的情况下常会用到。
例3.已知y=y
1
+y
2
,y
1
与x成正比 例,y
2
与x成反比例,且x=1与x=2时,y的值都为6,求x=-4时,
y的值 。
解:∵y
1
与x成正比例,∴y
1
=k
1
x
∵y
2
与x成反比例,∴y
2
=
∴y=k
1
x+
又∵x=1时,y=6,x=2时,y=6
依题意,有 解得
∴y
1
=2x,y
2
=, 即:y=2x+
当x=-4时,y=2×(-4)+=-8-1=-9
注意:在同一题目中,多个函数关系应用不同的待定系数k
1
、k
2
……表示;k虽然为常数,但不同的
关系中,常数不一定相等。
例4.已知,如图,反比例函数y=-
的坐标。
(2)△AOB的面积。
与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点。求:(1)A、B两点
分析:图象的交点 在两个函数的图象上,应该同时满足两个函数的解析式,所以联立两个函数的解析
式,组成的方程组的解 即为交点的坐标。三角形ABC不是直角三角形,三个边都可以求出,但高很难求,
图形中有直角坐标系 ,所以常用现成的直角将图形分解为几个直角三角形的面积和来求,简便很多。
解:(1)联立解方程组
解得
故A点坐标为(-2,4),B点坐标为(4,-2)
(2)设直线y=-x+2交x轴于M,交y轴于N,则易得M(2,0),N(0,2)

=

==6
注意:在直角坐标系中求图 形的面积,通常将图形拆分成几个三角形的面积和,拆分的原则是尽量以
坐标轴上的线段作为小三角形的 一条边,也就是以坐标轴为界拆分复杂图形,这样,容易找到三角形的底
和高。把复杂图形分解成简单的 ,化难为易的转化思想在解三角形面积中是最基本的思想,这里也可由S

AOB
=S
△AOM
+S
△BOM
=×2×4+×2×2=6求得结果。
代数几何相联系的题目很重要,所用的知识点多,并且变化多,是中考重点。




















比例线段
一.知识要点:

(一)比例线段

1.线段的比:如果选 用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的
比是a:b=m:n, 或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。

2.成比例线段:在四条线段中, 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做
成比例线段,简称比例线段.

3.比例的项:已知四条线段a,b,c,d,如果,那么a,b,c,d,叫做组成比 例的项,
线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段d还叫做a,b,c的第四比例项.

4.比例中项:如果作为比例线段的内项是两条相同的线段,即a:b=b:c或
段a和c的比例中项.

(二)比例的性质:
(1)比例的基本性质:
(2)反比性质:
(3)更比性质:
(4)合比性质:





,那么线段b叫做线
(5)等比性质:

(三) 平行线分线段成比例定理


1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。

2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3 .平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比
例。

4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这 条直线平行于三角
形的第三边。

这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。


这三个基本图形的用途是:

1.由平行线产生比例式

基本图形(1): 若
l
1
//
l
2//
l
3
,则
基本图形(2): 若DE//BC,则
基本图形(3): 若AC//BD,则





或或

或或



在这里必须注意正确找出对应线段,不要弄错位置。

2.由比例式产生平行线段

基本图形(2):若
立,则DE//BC。

基本图形(3):若
立,则AC//DB。

二. 本讲内容所需要的计算与证明方法

计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。
2. 会利用比例式建立方程求线段的长。

证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。

三. 例题

例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。

分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a ,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设
参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。
, , , , , 之一成
, , , ,, 之一成

解:∵a:b:c=3:5:7

设a=3k, b=5k, c=7k

∵2a+3b-c=28

∴6k+15k-7k=28,∴k=2

∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12

例2:若

解:设

则x=3k, y=4k, z=5k



说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。

例3.如图,在

ABCD中,E为AB中点,

分析:欲求,就需要有 平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使
,EF,AC相交于G, 求。


, 求的值。
已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。

解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)



ABCD中,AD

∵E为AB中点,∴AE=BE

∵AD//BC,∴∠AFE=∠H
BC,
在△AEF和△BEH中
在△AEF≌△BEH(AAS)


∴AF=BH



设AF=k, 则FD=3k,AD=4k,BH=AF=k,BC=AD=4K,CH=5K

∵AD//BC,即AF//HC





说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。或取AC中点N,连结EN。







请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出


例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点。
求证: EA:EC=BF:CF

分析:这是证明比例式的问题,根据 题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC,CF在
同一个三角形中,而EA,BF 不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基
本图形(由平行得比例 )。为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。

证法一: 过C作CH//AB交DF于H

∵CH//AB,即CH//BD



又CH//AD,




∵D是AB中点

∴AD=BD





即EA:EC=BF:CF

证法二: 过C作CM//FD交AB于M

∵CM//FD



∵CM//ED



∵D是AB中点

∴AD=BD



∴EA:EC=BF:CF (等比代换)

说明:在上面证明过程中,我们还用到了 利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使
用的方法。本题还可以过B点作AC的平行 线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证。总之通过
作平行线得到比例是必须掌握的方法。

例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。

分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用 比
例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路。




(等比代换)

解: ∵菱形ABCD内接于△AEF

∴AB//CD,AB=BC=CD=AD

设菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)

∵AF=5

∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)



























∵CD//AB 即CD//AE

且AE=3(得到相等关系)
∴(利用比例式建立了关于x的方程)
∴5x=15-3x, ∴x=(解出方程)
∴菱形ABCD的边长为。
四.练习:
1.已知,求的值。
2.已知:如图,△ABC中,DE//BC。AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长
3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。
4.已知线段MN是AB, CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm,求MN的长。并思考3、4两题有何区别。
5.已知: △ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E。求:AE:EC。
6.已知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。













练习参考答案:

1.

3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负; 第4题中MN为线段,只能为正。

5. 提示:

2. 3. 4.

作DN//AC交BE于N 作CO//BE交AD延长线于O



或 或
作AP//BE交CB延长线于P 作AQ//BC交BE延长线于Q

结论: AE:EC=3:4

=6(提示:用方程的思想方法)。







相似三角形的性质
一、相似三角形的性质可以类比全等三角形的性质来研究
全等三角形 相似三角形
1
2
3
4
5
6
7
对应边相等
对应角相等
对应中线相等
对应角平分线相等
对应高相等
周长相等
面积相等
对应边成比例
对应角相等
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
对应高的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方

目的:

1.掌握相似三角形的性质;

2.能综合运用比例性质、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质等知识。

重点难点提示:

1.本节的重点是对性质定理的理解和应用。难点是对 比例线段,平行线分线段成比例定理、相似三角
形的判定及性质的综合运用。解决这一难点的关键在于掌 握知识的同时,在解题中不断的归纳总结提高。
注意,利用相似比解题的根据是相似三角形的性质。求出 相似比是解决这类问题的关键,由相似比以及一
个三角形的有关元素,可以求出另一个三角形的对应元素 。

2.学习本点要注意的问题:

(1)相似三角形的性质可以类比全等三角形的一些性质得到。

(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方。要明确它们的两个关系式:面积比=(相似比);
相似比=

二、例题:

例1.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:∠AFE=∠B。
分析:欲证∠AFE=∠B,只需ΔAEF∽ΔACB,∵∠BAC=∠ FAE,所以还需证
直的条件可以利用。

证明:∵AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,

RtΔABD中,DE⊥AB,

∴AD=AE·AB
2
2

=。而图中有双垂

同理可证:AD=AF·AC

∴AE·AB=AF·AC



∴ΔAEF∽ΔACB, ∴∠AFE=∠B

说明:本题 通过判定三角形相似,得到角等。由相似得角等,是证明角等的又一个方法。同时本题还
用到双垂直条件 下得等积式的性质。

例2.已知:如图,ΔABC中,DE//FG//BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4。
求:S
ΔADE
∶S
DEGF
∶S
BCGF


分析:要求题目中的三部分的面积比,必须先求出ΔADE,ΔAFG和ΔABC的面积,才能求出 两个四边
形的面积。由已知DE//FG//BC的条件,可以得到相似三角形,再由相似三角形的面积 比等于相似比的平方
的性质,可求出相似三角形的面积比。题目中未给出具体数值,故应引入参数。

解:∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4,

设AD=2k, DF=3k, FB=4k (k>0)

则AF=5k, AB=9k,

∵DE//FG, ∴ΔADE∽ΔAFG.



同理可得:

设S
ΔADE
=4a, 则S
ΔAFG
=25a, S
ΔABC
=81a (a>0)

∴ S
DEGF
=25a-4a=21a
S
BCGF
=81a-25a=56a

∴ S
ΔADE
∶S
DEGF
∶S
BCGF
=4∶21∶56

例3.已知:ABCD是梯形,AB//DC,对角线AC,BD交于E,ΔDCE的面 积与ΔCEB的面积比为1∶3。
求:ΔDCE的面积与ΔABD的面积比。
=()=
2
2
=,又∵∠BAC=∠FAE
=()=(
2
)=
2
,


分析:题目中已知条件是面积比,要求的也是面积比,因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的。
Δ DCE与ΔCEB是等高三角形,因此面积比为底的比,而ΔDCE与ΔABE是相似三角形,面积的比等于相似
比的平方,又可证出ΔADE与ΔBCE的面积相等,这样ΔDCE与ΔABD的面积比就可求了。

解:∵S
ΔDCE
∶S
ΔCEB
=1∶3,而ΔDC E与ΔCEB是等高三角形,

∴DE∶EB=1∶3,

∵DC//AB, ∴ΔDCE∽ΔBAE,

∴S
ΔDCE
∶S
ΔBAE
=(DE∶EB)=1∶9,

∵ΔADC与ΔBDC为等底、等高三角形,

∴S
ΔADC
=S
ΔBDC


∴S
ΔA DC
-S
ΔDCE
=S
ΔBDC
-S
ΔDCE


∴S
ΔAED
=S
ΔBEC


设S
ΔDCE
=k, 则S
ΔAED
=S
ΔBEC
=3k, S
ΔBAE
=9k,

∴S
ΔABD
=S
ΔABE
+S
ΔADE
=12k,

∴S
ΔDCE
∶S
ΔABD
=1∶12.

注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方,计算时不要丢掉平方;若从面积比求相似 三角形的相
似比,则要注意开平方。

例4.在ΔABC中,AB=4,AC =4,BC边上的高AD=2,若一个
2
正方形一边在AB上,另二个顶点分别在AC,BC上 ,求正方形的边长。

分析:题目中没有给出图形,要自己画。由已知两边及第三边上
的高,由于高在三角形内和形外两种情况,可以画出两个三角形,那么就引起要分两种情形讨论。

解:已知AB=4

情形一:当AD在三角形内时,如图(1)

∵AB=4,AD=2,RtΔABD中,由勾股定理得:
,AC=4,BC边上的高AD=2,画出图形应当有两种情况。

BD=

同理可得CD=

∴BC=BD+DC=6+2=8,

∵(4

即AB+AC=BC, ∴∠BAC=90°,

∵正方形的一边在AB上,则作出正方形AEFG,如图(2)

设正方形边长为x,

∵FG//AB, ∴ΔGFC∽ΔABC,



∴4x=16

∴(4+4

)x=16
-4x
=,即=,
222
===6,
==2
)+4=8
222
∴x=

=6-2.
情形二:当AD在ΔABC外部时,如图(3)

∵AB=4

, AD=2

,RtΔABD中,由勾股定理得:

BD=

==6,
同理可得:CD=2,∴BC=6-2=4,

∵AC=4,∴AC=BC, ∴ΔABC为等腰三角形,

∵正方形的 一边在AB上,则作出正方形DEFG,如图(4),作出ΔABC底边AB上的高CH,设正方形
边长 为x,

∴BH=AH=

∴CH=

∵DG//CH, ∴ΔADG∽ΔAHC,

==2,
AB=2,DH=EH=x,


∴2

∴(2

=, ∴=,
x=4-x,
+1)x=4,
∴x=

=
答:正方形的边长为6-2

或。
说明:象本题这样的情况,由已知条件自已画出图形时,可能有多种情形,对每种可能的情形要一一
加以 讨论,这就是分类讨论的思想。在运用分类讨论的思想讨论问题时,要合理分类,做到不重不漏。

例5.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8 cm,点B、C、Q、R在同一
条直线
l
上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1 cm/秒的速度沿直线
l
按箭头所示方向开始匀速运动,t
秒后正方形ABCD与等腰 △PQR重合部分的面积为Scm,解答下列问题:
(1)当t=3秒时,求S的值;
(2)当t=5秒时,求S的值;

2

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