简爱读后感英文：极惯性矩常用计算公式

2020年11月29日发(作者：祖可)

极惯性矩常用计算公式

极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA








矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^312
三角形：b*h^336
圆形对于圆心的惯性矩：π*d^464
环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)64;α=dD
§16-1 静矩和形心



平面图形的几何性质一般与杆件横截面的
几何 形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征
量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足
轻重的 作用。
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，
如图Ⅰ-1所示。
定义式：
， (Ⅰ-1）
量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同
的坐标和。则



由此可得薄板重心的坐标为

同理有
所以形心坐标

（Ⅰ-2）
或

形对该轴的静矩等于零，即
，
，

；，则
由式（Ⅰ-2）得 知，若某坐标轴通过形心，则图
；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则
该轴必然通过图形的 形心。静矩与所选坐标轴有
关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平 面图形组
成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积
为，形心坐标为
别为

（Ⅰ-3）
，
，则其静矩和形心坐标分
，




（Ⅰ-4）

，
【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的
心位置。
【解】由对称性，
轴的狭长条作为微面积

所以




，
及形
。现取平行于
读者自己也可用极坐标求解。




【例I-2】 确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。
【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，
在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别
为
矩形Ⅰ：

矩形Ⅱ：
mm，
mm，
mm2
mm
mm2
mm
整个图形形心的坐标为


§16-2 惯性矩和惯性半径




惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如
图Ⅰ-4所示。
， (Ⅰ-5)
量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义



， (Ⅰ-6)
为图形对轴和对轴的惯性半径。
组合图形的惯性矩 设为分图形的
惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为
， (Ⅰ-7)


若以表示微面积到坐标原点的距离,则定
义图形对坐标原点的极惯性矩

（Ⅰ-8）
因为

所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系

（Ⅰ-9）



式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴
的（轴）惯性 矩之和，等于它对该两轴交点的
极惯性矩。
下式

（Ⅰ-10）

定义为图形对一对正交轴、轴的惯性积。量
纲是 长度的四次方。可能为正，为负或为零。
若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。

【例I-3】求如图Ⅰ-5所示圆形截面的
。
【解】如图所示取，根据定义，

由轴对称性，则有


由公式（Ⅰ-9）
（I-10a）



（I-10b）

对于空心圆截面，外径为，内径为，则

(Ⅰ-12a)

（I-12b）


【例I-4】求如图Ⅰ-6所示图形的及。
【解】取平行于轴的狭长矩形，由于
其中宽度随变化，
则


，



由，如图








附录A 平面图形的几何性质

§A-1 引言

不同受力形式下杆 件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质
有关。当研究杆件 的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这
些几何量包括：形 心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何
性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系


任意平面几何图形如图A-1所示。在 其上取面
积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、
y。定义下列积分：
（A-1）


分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或
静矩，其单位为

。

如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和
zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；< br>
和

则分别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图
形的静矩与形心图 形几何形状的中心称为形
心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心
即为合力的作用点。< br>
设

、

为形心坐标，则根据合力之矩定理
(A-2)
或
(A-3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：
1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静 矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某
些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形
等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的

图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式 (A-3),即可得组合
图形的形心坐标。即:
(A-4)
(A-5)
§A-3 惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径

图A-1中的任意图形，以及给定的Oxy坐标，定义下列积分：
(A-6)
(A-7)
分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。
定义积分
(A-8)
为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。
定义积分
(A-9)
为图形对于通过点O的一对坐标轴x、y的惯性积。
定义

,
分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
根据上述定义可知：
1. 惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均
为

或

。
2.因为

=

+

，所以由上述定义不难得出
=

+

(A-10)
3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图A-2中所示的微面积取法，不 难得到圆截面对其中心的极惯性矩
为
(A-11)
(A-12)
式中,d为圆的直径；R为半径。
类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为
, (A-13)




式中，D为圆环外径；d为内径。

4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A- 7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩
形对于平行其边界的轴的惯性矩：
, (A-14)
根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相 同的惯性矩，便可得到圆截面对
于通过其中心的任意轴的惯性矩均为
(A-15)
对于外径为D、内径为d的圆环截面,

(A-16)
应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。
必须指出，对于由简 单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积分的方法计算它们
的惯性矩。而是利用 简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方法求
得。
§A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理

图A-4中所示之任意图形，在坐标系Oxy系中，对于x、y轴的惯性矩和惯性积为



另有一坐标系Ox
1
y
1
，其中x
1
和y
1
分别平行于x和y轴，且二者之间的距离为a和b。
所谓移轴定理是 指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴的惯性矩、
惯性积，求图 形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。
下面推证二者间的关系。
根据平行轴的坐标变换



将其代人下列积分
,

得



展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得
(A-17)
如果x、y轴通过图形形心，则上述各式中的

=

=0。于是得
(A-18)
此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明：
1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴间距离
平方的乘积。
2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过 形心的直角坐标轴的
惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。
3.因为面积及a、b项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
22

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时abA为正，异号时 为负。
所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。
§A-5 惯性矩与惯性积的转轴定理

所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性积分别为

、

和

。
现将Oxy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α角，得到一新的坐 标系，记为Ox
1
y
1
。要考察的是图形对新
坐标系的

、

、

与

、

、

之间的关系。
根据转轴时的坐标变换：


于是有



将积分记号内各项展开，得
(A-19)
改写后，得
（A-20）
上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。

若将上述

与

相加，不难得到

这表明：图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关，即在轴转动时，其和保持不变。
上述式 (A-19)、(A-20)，与移轴定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通过形心。当然，对于 绕形
心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。
§A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩

从式(A-19)的第三式可以看出，对 于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积
也发生变化，并且根据惯性积可 能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α
0
以及相应的x
0
、y0
轴，
图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α
0
，令式(A- 19)中的第三式为零，
即

由此解得
(A-21)
或
(A-22)
如果将式(A-20)对α求导数并令其为零，即
，
同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当α改变时,
时，二者分别为极大值和极小值。
、

的数值也发生变化，而当α=α
0
定义 过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性 积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图
形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。 显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。
根据式(A-20)和(A-21)，即可得到主惯性矩的计算式

(A-23)
需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心 主
轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。
当图形有一根 对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图A-6所示的具有一根
对称轴的图 形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数
值相等，但 反号。所以，整个图形对于x、y轴的惯性积

因为C为形心，故x、y为形心主轴。
=0，故图A-6对称轴为主轴x、y为主轴。又

§A-7组合图形的形心、形心主轴

工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯 性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此必须
首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。 < br>因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定其形心、形心主轴
以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。一般应
按下列步骤进行。
·将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。
·以形心 为坐标原点，设Ozy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心
轴的惯 性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积，相加(空
洞 时则减)后便得到整个图形的

、

和

。
·应 用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角α
0
。
·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩

和

。
可以看出，确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2～§A-6全部知识的过程。

§A-8 例题

例题A-1 截面图形的几何尺寸如图A-7所示。试求图中具有断 面线部分的I
x
、I
y
。
解: 根据积分定义，具有断面线的图形 对于x、y轴的惯性矩，等于高为h、宽为b的
矩形对于x、y轴的惯性矩减去高为

的矩形对于相同轴的惯性矩，即


上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的情形，计算比较简捷。
例题A-2 T形截面尺寸如图A-8a所示。试求其形心主惯性矩。
解：1.分解为简单图形的组合。
将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和II。
2.确定形心位置
首先，以 矩形I的形心C
1
为坐标原点建立如图A-8b所示的C
1
xy坐标系。因为 y轴为T字形的对称轴，故
图形的形心必位于该轴上。因此，只需要确定形心在y轴上的位置，即确定y
c
。根据式(A-5)的第二式，
形心C的坐标









3.确定形心主轴
因为对 称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴，所以以形心C为坐标原点建立如图A-12c所示的
Cx
0
y
0
坐标系，其中y
0
通过原点且与对称轴重合，则x< br>0
、y
0
即为形心主轴。
4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩

根据惯性矩的积分定义，有
和











例题A-3 图A-9a所示为一薄壁圆环截面，D
0
为其平均 直径，δ为厚度，若δ、D
0
均为已知，试求薄壁圆
环截面对其直径轴的惯性矩。

解：求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法，即

其中,

。
对于

的薄壁圆环截面，为了使公式简化，可采用近似方法计算。
取积分微元dA如图A-9b所示。根据惯性矩的定义，得到