默默无闻新浙教教数学八年级上册同步练习分章节全册(含答案)

2020年11月29日发(作者：陆泰临)

第1章 三角形的初步知识
1．1第1课时 三角形的有关概念及三边关系

知识点1 三角形的有关概念
1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )

图1－1－1
2．如图1－1－2，(1)点D在△ABC内，写出图中所有除
△ABC外的三角形：____________________________．
(2 )在△ACD中，∠ACD所对的边是________；在△ABD
边AD所对的角是_______ _． 图1－1－2
知识点2 三角形的内角和
3．在△ABC中，若∠A＝∠B，∠C＝34°，则∠B＝________°.
4．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角中最多有一个锐角
B．三角形的内角中最多有两个锐角
C．三角形的内角中最多有一个直角
D．三角形的内角都大于60°
知识点3 三角形按内角的大小分类
5．一个三角形两个内角的度数分别如下，试判断这个三角形的形状．
(1)30°和60°：________________；
中，

(2)40°和80°：________________；
(3)50°和20°：________________．
6．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定


知识点4 三角形的三边关系
7．［2018·福建］下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
8．教材课内练习第3题变式如图1－1－3，在△ABC中，D是AB的中点，连结CD，
在下列空格中填写“＞”“＜”或“＝”．
(1)CD＋AD________AC；
(2)CD－DB________BC；
(3)2BD________AC＋BC. 图1－1－3

1
9．如图1－1－4，在△ABC中，∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝
3
1
∠ACB，∠A＝45°，则∠BDC＝________°.
3
图1－1－4
10．已知a，b，c 是三角形的三边长，则|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b
＋c|＝____ ____．

11．观察并探索下列各问题：

(1)如图1－1－5① ，在△ABC中，P为BC边上一点，则BP＋PC________AB＋
AC(填“＞”“＜”或“ ＝”)；
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得到图②，试观察比较大小：△BPC的周长________△ABC的周长(填“＜”“＞”或“＝”)．

图1－1－5








教师详解详析
1．C [解析] 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形．故选C.
2．(1)△ABD，△ACD，△BCD (2)AD ∠ABD
3．73 [解析] 根据“三角形三个内角的和等于180°”，得∠B＝∠A＝(180°－∠C)÷
2＝(180°－34°)÷2＝73°.
4．C
5．(1)直角三角形 (2)锐角三角形 (3)钝角三角形
[解析] (1)根据“三角形三个内角的和等于180°”得第三个角为90°，因此该三角形是
直角三角形；
(2)根据“三角形三个内角的和等于180°”得第三个角为60°，因此该三角形是锐角
三 角形；
(3)根据“三角形三个内角的和等于180°”得第三个角为110°，因此该三角形是钝角
三角形．
6．A [解析] 在△ABC中，因为∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，所以最大角∠C＝
5
×180°＝90°，所以这个三角形是直角三角形．
2＋3＋5
7．C [解析] ∵1＋1＝2，∴选项A不能组成三角形；∵1＋2＜4，∴选项B不能组成
三角形；∵2＋ 3＞4，∴选项C能组成三角形；∵2＋3＝5，∴选项D不能组成三角形．
故选C.
8．(1)＞ (2)＜ (3)＜
1
9．135 [解析] 因为∠A＝45°， 所以∠ABC＋∠ACB＝135°.因为∠DBC＝∠ABC，
3
111
∠DCB＝ ∠ACB，所以∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×135°＝45°.
333
因此，∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－45°＝135°.
10．2b [解析] ∵a，b，c是三角形的三边长，∴b＋c－a>0，b－c－a<0，c－a－b<0，

a－b＋c>0，∴|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|＝b＋c－a－b＋c ＋a－c＋a
＋
b－a＋b－c＝2b.
11．(1)< (2)< [解析]如图，延长BP交AC于点M.

在△ABM中， BP＋PM＜AB＋
在△PMC中，PC＜MC＋PM.②
①②两式相加，得BP＋PC＜AB＋AC，
∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，
即△BPC的周长＜△ABC的周长．



1．1第2课时 三角形中的重要线段
AM.①

知识点1 三角形的角平分线
1
1．已知AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD＝________＝________．
2
2．如图1－1－6所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
1
C．∠3＝∠ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线 图1－1－
6

知识点2 三角形的中线
3．已知AE是△ABC的中线，那么BE＝________＝________BC.
4 ．如图1－1－7，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确
的是( )
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE 图1－1－7
知识点3 三角形的高线
5．如图1－1－8，在△ABC中，BC边上的高是( )
A．AF B．BH C．CD D．EC

图1－1－8 图1－1－9
6．如图1－1－9，在△ABC中，BD是AC边上的高．若△ABC的面积为4，AC＝4，
则 BD＝________．



7．已知AD是△ABC的中线．
(1)若△ABD的周长为25，AB比AC长6，则△ADC的周长为________；
(2)若S
△
ABD
＝8，则S
△
ACD
＝_______ ___．

8．如图1－1－10，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD 中BD边上的中
线．若△ABC的面积为S，则△AED的面积为________．

图1－1－10 图1－1－11
9．如 图1－1－11，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，
PE⊥AC 于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，则PF＋PE＝________．

10．( 1)已知：如图1－1－12(a)，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平
分线．若 ∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是______．
(2)如图(b)，已知AF平分 ∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D.若∠B
＝x°，∠C＝(x＋36)°.
①∠CAE＝________°(用含x的代数式表示)；
②∠F的度数是________．


图1－1－12









教师详解详析
1．∠CAD ∠BAC
2．D [解析] 由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的定义，可知BD是△ABC的角
1
平分线，CE是 △BCD的角平分线，所以选项A，B正确；因为∠3＝∠4＝∠ACB，所以
2
选项C正确； CE不是△ABC的角平分线，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对
边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段，所以选项D错误．故选D.
1
3．CE
2
4．D
5．A
6．2
7．(1)19 [解析] 因为AD是△ABC的中线，所以B D＝CD.又因为AD＝AD，AB比
AC长6，所以△ADC的周长为25－6＝19.
(2)8
1
8.S
4
9．8 [解析]连结AP，则S
△
ABC
＝S
△
ABP
＋S
△
ACP
，
111
∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE.
222
∵AB＝AC，
∴BD＝PF＋PE.
∵BD＝8，∴PF＋PE＝8.
10．(1)10°
(2)①(72－x)
②18° [解析](1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝100°.

∵AE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE＝∠CAB＝50°.
2
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－40°＝10°.
(2)①∵AF平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE.
∵∠B＝x°，∠C＝(x＋36)°，
1
∴∠CAE＝×[180°－x°－(x＋36)°]＝(72－x)°.
2②∵∠FED＝∠AEC＝180°－∠CAE－∠C＝180°－(72－x)°－(x＋36)°＝72 °，
FD⊥BC，
∴∠F＝180°－∠FDE－∠FED＝180°－90°－72°＝18°.

1．2 定义与命题
第1课时 定义与命题

知识点1 定义
1．下列语句中，属于定义的是( )
A．两点确定一条直线
B．平行线之间的距离处处相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离

2．下列语句中，不属于定义的有( )
①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等 于180°；③等式(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab
＋b
2< br>称为两数和的完全平方公式；④如果a，b为实数，那么(a－b)
2
＝a
2< br>－2ab＋b
2
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 命题
3．下列语句中，不是命题的是( )
A．如果a＞b，那么b＜a
B．反向延长射线OA
C．垂线段最短
D．2022年冬季奥运会在北京举行
4．已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角 ；③两直线平行，同位角相等；
④等于同一个角的两个角相等吗？⑤等角的余角相等．其中是命题的有_ ___________．(填
序号)
知识点3 命题的构成
5．“三角形的内角 和为180°”这个命题的条件是________________，结论是
___________ _______，把此命题改写成“如果……那么……”的形式是
_________________ _________________________．
6．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( )
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
7．分别写出下列命题的条件和结论．
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；

(3)锐角小于它的余角．



8．下列句子是命题吗？若是，则把它改写成“如果……那么……”的形式．
(1)一个角的补角比这个角的余角大多少度？
(2)垂线段最短，对吗？
(3)等角的补角相等；
(4)同旁内角互补．




9．观察下列给出的四个方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并写出定义．
(1)x< br>3
＋x
2
－3x＋4＝0；(2)x
3
＋x－1＝0； (3)x
3
－2x
2
＋3＝x；(4)y
3
＋2y2
－5y－1＝0.








10．当三角形中一个内角∠α是另一个内角∠β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中∠α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个
“ 特征三角形”的最小内角的度数为________.

教师详解详析

1．D 2.B 3.B
4．①③⑤
5．三个角是一个三角形的内角 这三个角的和是180° 如果三个角是一个三角形的
内角，那么这三个角的和为180°
6．D
7．解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．结论：这两条直线平
行．
(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3.结论：∠1＝∠3.
(3)条件：一个角是锐角．结论：这个角小于它的余角．
8．解：一般地，判断某一件事情 的句子是命题．因为(1)(2)是问句，所以(1)(2)不是
命题，(3)(4)是命题，将它们改 写成“如果……那么……”的形式如下：
(3)如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．
(4)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．
9．解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，未知数的最高次数均为3.
名称：一元三次方程．
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程．
10．30°

1.2 第2课时 命题的真假与定理


知识点1 真命题与假命题
1．下列命题是真命题的是( )

A．相等的角是对顶角
B．若实数a，b满足a
2
＝b
2
，则a＝b
C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
D．两直线平行，内错角相等
2．(1)命题“如果ab＝0，那么a＝0”是______命题；
(2)命题“如果a＝0，那么ab＝0”是______命题．(填“真”或“假”)
3．填空，使之成为一个真命题：若a<3，则|a－3|＝________．
知识点2 举反例
4．[2017·宁波奉化区模拟]对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”， 能说明
它是假命题的反例是( )
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
5．试举反例说明下列命题是假命题．
(1)如果a＋b＞0，那么ab＞0；
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数．




知识点3 基本事实和定理
6．下面说法错误的是( )
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题

C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样的真命题就是定理
7．如图1－2－1，在点A到点B的所有路线中，路程最短的是
________
(填序号)，依据的基本事实是_____________________________．
8．写出三角形内角和定理： ____________________． 图1－2－1

9．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题 A是假
命题”的反例的是( )
A．2k B．15 C．24 D．42
11
10．已知命题：若a＞b，则＜.请判断这个命题的真假．若是真命题，请说 明理由；
ab
若是假命题，请举一个反例，并适当修改命题的条件使其成为一个真命题．





11．如图1－2－2，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝45°.
(1)图①中∠DEF＝________°，图②中∠DEF＝________°.
(2)图①、图②中∠DEF分别与∠ABC有怎样的数量关系？请你据此归纳出一个真命题．

图1－2－2









教师详解详析
1．D 2.(1)假 (2)真 3.3－a
4．C
5．解：(1)答案不唯一，反例：如a＝3，b＝－2.
∵a＋b＝3＋(－2)＝1＞0，
ab＝3×(－2)＝－6＜0，
∴原命题是假命题．
(2)答案不唯一，反例：如a＝2，b＝－2，
∵a＋b＝2＋(－2)＝0，0是有理数．
∴原命题是假命题．
6．C
7．① 两点之间线段最短
8．三角形三个内角的和等于180°
9．D
11
10．解：假命题．反例不唯一，如a＝1，b＝－2符合a＞b，但不满足＜.
ab
1111
改成：若a＞b＞0，则＜或若0>a>b，则<.
abab
11．解：(1)45 135
(2)图①中∠DEF＝∠ABC，图②中∠DEF＋∠ABC＝180°.
真命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．

1.3 证明
第1课时 证明及表述格式


知识点1 证明的含义
1．下列说法不正确的是( )
A．证明是说明命题是真命题的过程
B．要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式
C．要说明一个命题是假命题通常采用举反例的方式
D．真命题与假命题都可以通过举反例来说明
2．下列能作为证明的依据的是( )
A．已知条件 B．定义和基本事实
C．定理和推论 D．以上三项都可以
知识点2 命题的证明
3．如图1－3－1，下列条件中能证明AD∥BC的是( )
A．∠A＝∠C B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠C D．∠A＋∠B＝180°

图1－3－1 图1－3－2
4．如图1－3－2所示，下列推理不正确的是( )
A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180°
B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD


5．填空：如图1－3－3所示．
∵∠A＋∠D＝180°(已知)，
∴AB∥________(_________________________________ _)，
∴∠1＝________(_____________________________ ___________)． 图1－3－3


6．完成下面的证明过程：
(1)已知：如图1－3－4所示，直线EF分别交直线AB，CD于点G，H，∠EGA＝
∠ FHD.
求证：AB∥CD.
证明：∵∠EGA＝∠FHD(已知)，
∠FHD＝∠GHC(____________________)，
∴∠EGA＝∠________(等量代换)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(2)已知：如图1－3－5所示，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD.
证明：∵∠1和∠D互余，∠C和∠D互余(已知)，
∴∠1＝∠C(____________________________)，
∴AB∥CD(____________________________)．

图1－3－4 图1－3－5

7 ．[教材例1变式]如图1－3－6所示，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E，∠A＝
118 °，求∠AEC的度数．



图1－3－6










8．已知：如图1－3－7，BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC，∠BC D.求证：AB∥CD.

图1－3－7









9．如图1－3－8所示，AE⊥CF于点E，BD⊥CF于点D，∠FEG＝45°，AC ∥GE，
则图中等于45°的角(不包含∠FEG)有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

图1－3－8 图1－3－9

10．如图1－3－9，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝________°．
11．下列命题是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；如果你认为
是真命题 ，给出证明．
(1)对于所有的自然数n，n
2
的末位数字都不是2；
(2)对于所有的自然数n，n
2
＋n的值都是偶数．




12．已知：如图1－3－10，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于点 H，CD与AB有
什么位置关系？说明理由．


图1－3－10










13．已知：如图1－3－11所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1.
求证：AD平分∠BAC.

图1－3－11










14．已知：如图1－3－12，∠MON＝36°，OE平分∠MON，A，B分别是射线OM，OE上的动点(点A，B不与点O重合)，D是线段OB上的动点，连结AD并延长交射线ON
∥O N，

，x的值为多少？
，x的值为多少？
图1－3－12


于点C，设∠OAC＝x°.若AB
(1)∠ABO的度数是多少？
(2) 当∠BAD＝∠ABD时
(3)当∠BAD＝∠BDA时























教师详解详析
1．D 2.D 3.D 4.C
5．CD 同旁内角互补，两直线平行 ∠C 两直线平行，内错角相等
6．(1)对顶角相等 GHC (2)同角的余角相等 内错角相等，两直线平行
7．解：∵CE平分∠ACD，
1
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD.
2
∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠AEC，
11
∴∠AEC＝(180°－∠A)＝×(180°－118°)＝31°.
22
8．证明：∵BE∥CF，
∴∠CBE＝∠BCF.
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠BCD＝2∠BCF，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.
9．C
10．80 [解析] 如图，∵a∥b，∴∠1＝∠4.

∵∠1＝60°，∴∠4＝60°.
∵∠2＝40°，∴∠3＝180°－∠4－ ∠2＝180°－60°－40°＝80°.故答案为80.
11．解：(1)是真命题．证明如下：

∵0到9的平方的末位数字只能为0，1，4，5，6，9，
∴对于所有的自然数n，n
2
的末位数字都不是2.
(2)是真命题．证明如下：
∵n
2
＋n＝n(n＋1)，
对于所有的自然数n，n与n＋1中必有一个为偶数，
∴对于所有的自然数n，n
2
＋n的值都是偶数．
12．解：CD⊥AB.理由如下：
∵∠1＝∠ACB，
∴DE∥BC，∴∠2＝∠DCB.
又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCB，∴CD∥FH，
∴∠CDB＝∠FHB，
∵FH⊥AB，∴∠FHB＝90°，
∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB.
13．证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠1.
又∵∠E＝∠1，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC.
14．解：(1)∵∠MON＝36°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝18°.
∵AB∥ON，

∴∠ABO＝∠BON＝18°.
(2)当∠BAD＝∠ABD时，∠BAD＝18°.
∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝180°－18°×3＝126°，
即x的值为126.
(3)当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠ABO＝18°，
1
∴∠BAD＝×(180°－18°)＝81°.
2
∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝180°－18°－18°－81°＝63°，
即x的值为63.

1.3 第2课时 几何命题的证明格式

知识点1 文字叙述命题的证明格式
1．请根据命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”完成以下要
求．
(1)画出图形；
(2)根据(1)中所画的图形填空，
已知：
____ __________________________________________________ ________________.
求证：__________________．




2．求证：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．



知识点2 三角形外角的定义和性质
3．如图1－3－13，在△AB D中，点C在BD边上，则△ABC的外角是________，△
ACD的外角是________．
4．如图1－3－14，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，D为CB延长线上的一点，则∠ABD＝________°.

图1－3－13 图1－3－14 图1－3－15
5．如图1－3－15，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与A B，AC相交
于点D，E.若∠AEN＝133°，则∠B的度数为____________．
6．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
7．如图1－3－16所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1

图1－3－16 图1－3－17 图1－3－18

8．如图1－3－17，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DA E＝60°，那么∠ACB
的度数为( )
A．25° B．60° C．85° D．95°
9．[2018·眉山]将一副三角板按如图1－3－18 所示的方式放置，使含30°角的三角板
的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线 上，则∠α的度数是( )
A．45° B．60° C．75° D．85°
知识点3 需要添加辅助线的几何证明
10．教材例4变式如图1－3－19所示，已知直线a∥b，求证：∠3＝∠1＋∠2.

图1－3－19


11．如图1－3－20所示，∠A＝50°，∠B＝30°，∠BDC＝110°，求∠C的度数．

图1－3－20




12．在三角形不共顶点的三个外角中，钝角的个数最少为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
13．如图1－3－2 1，直线AB∥CD，直角三角形DEF按图所示的方式放置，∠EDF＝
90°，若∠1＋∠F＝70 °，则∠2的度数为( )

A．20° B．25° C．30° D．40°
14．2018·青海小桐把一副三角板按如图1－3－ 22所示的方式摆放在一起，其中∠E＝
90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1 ＋∠2的度数是( )
A．150° B．180° C．210° D．270°

图1－3－21 图1－3－22 图1－3－23
15．如图1－3－23，在△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，
∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是________．
16．如图1－3－ 24所示，已知D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，
∠A＝62°，∠ACD＝ 15°，∠ABE＝20°.
(1)求∠BDC的度数；
(2)求∠BFD的度数；
(3)试说明：∠BFC＞∠A.

图1－3－24













17．2018·杭州上城区月考如图1－3－ 25，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及
线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线 上各点不属于任何部分．当动点P落在
某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PB D三个角．(提示：有公共端点的
两条重合的射线所组成的角是0°)
(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
(2)当动点P落 在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成
立)?
(3) 当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动
点P的具体位置 和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

图1－3－25
















教师详解详析
1．解：(1)如图所示．

(2)如(1)中图，直线a，b，c在同一平面内，a⊥c，b⊥c a∥b
2．解：已知 ：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点H，G，HM平分∠AHF，
GN平分∠EGD.
求证：MH∥GN.

证明：∵AB∥CD，∴∠AHF＝∠EGD.
∵HM平分∠AHF，GN平分∠EGD，
11
∴∠MHG＝∠AHF，∠HGN＝∠EGD，
22
∴∠MHG＝∠HGN，∴MH∥GN.
3．∠ACD ∠ACB
4．120 [解析] 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠ABD＝∠A＋
∠C＝50°＋70°＝120°.
5．70° [解析] ∵∠AEN＝133°，∠A＝63°，
∴∠ADE＝∠AEN－∠A＝70°.
∵MN∥BC，∴∠B＝∠ADE＝70°.
6．B 7.B

8．C [解析] ∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠CAE＝2∠DAE＝120°，
∴∠ACB＝∠CAE－∠B＝85°.
9．C
10．证明：延长AB交直线b于点D.
∵a∥b，
∴∠1＝∠BDC.
∵∠3＝∠BDC＋∠2，
∴∠3＝∠1＋∠2.
11.解：如图，连结AD并延长．

∵∠BDC＝∠1＋∠2＝∠BAD＋∠B＋∠CAD＋∠C＝∠BAC＋∠B＋∠C，
∴∠C＝∠BDC－∠BAC－∠B＝110°－50°－30°＝30°.
12．C [解析] 直接判断三角形外角的大小比较困难，我们可以把三角形外角的问题
转化为三角形内角的问题 ．因为三角形的三个内角中最少有两个锐角，所以三角形的三个
外角中最少有两个钝角．
13．A [解析] 根据∠1＋∠F＝70°以及三角形外角的性质可得∠ABD＝70°.根据AB∥CD，得∠ABD＋∠BDC＝180°，则∠BDC＝110°.根据∠EDF＝90°，得∠2＝
110°－90°＝20°.
14．C [解析] 如图：


∵∠1＝∠D＋∠DOA，∠2＝∠E＋∠EPB，
∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1＋∠2＝∠D＋∠E＋∠COP＋∠CP O＝∠D＋∠E＋180°－∠C＝30°＋90°＋
180°－90°＝210°.故选C.
15．125°
16．解：(1)在△ACD中，
∵∠A＝62°，∠ACD＝15°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋15°＝77°.
(2)在△BDF中，
∵∠BDC＋∠ABE＋∠BFD＝180°，∠ABE＝20°，
∴∠BFD＝180°－77°－20°＝83°.
(3)∵∠BFC是 △BDF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BDC＋∠ABE，
∴∠BFC>∠BDC.
∵∠BDC是△ACD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，
∴∠BDC>∠A，
∴∠BFC＞∠A.
17．解：(1)证法一：如图，
延长BP交直线AC于点E.


∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD.
∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
证法二：如图，

过点P作FP∥AC，
∴∠PAC＝∠APF.
∵AC∥BD，∴FP∥BD，
∴∠FPB＝∠PBD.
∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD.
证法三：∵AC∥BD，
∴∠CAB＋∠ABD＝180°.
即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°.
又∵∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
(2)不成立．
(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
(b) 当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB，或∠PAC＝∠PBD＋
∠APB， 或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD(任写一个即可)．
(c)当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD.
选择(a)证明：
如图，PB交AC于点M.


∵AC∥BD，
∴∠PMC＝∠PBD.
又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM，
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
选择(b)证明：如图．

∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°.
∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC.
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB，
或∠PAC＝∠PBD＋∠APB，
或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD.
选择(c)证明：如图．

PB交AC于点F.
∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD.
∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA，

∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD.
1.4
全等三角形

知识点1 全等图形
1．下列四个汽车标志图案中，不存在全等图形的标志图案是( )

图1－4－1
2．下列四个图形中是全等图形的是( )

图1－4－2
A．(1)和(3) B．(2)和(3) C．(2)和(4) D．(3)和(4)
知识点2 全等三角形的定义及相关概念
3．如图1－4－3所示，△AOC≌△BOD，C，D是对应顶点，下列结论中错误的是
( )
A．∠A与∠B是对应角
B．∠AOC与∠BOD是对应角
C．OC与OB是对应边
D．A与B是对应顶点


图1－4－3 图1－4－4
4．如图1－4－4，四边形ABCD沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌
___ _____，AB的对应边是________，AC的对应边是________，∠BCA的对应角是
________．
知识点3 全等三角形的性质
5．有下列说法：①全等三角形的形状 相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；
③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积 分别相等．其中正确的说法有
( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．[2018·温州]期末如图1－4－5，已知△AB C≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，
BC交DE于点F.若BE＝10，CF＝4，则BF的长 为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形中有一个角是100°，那么在△< br>ABC中与这个100°角对应相等的角是( )
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C

图1－4－5 图1－4－6

8．如图1－4－6，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠ADC＝
__ ______°.
9．[2018·宁波江北区校级期末]已知△ABC≌△DEF，若AB＝5，B C＝6，AC＝8，则
△DEF的周长是________．
10．如图1－4－7所示，△ ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上，判断
AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：AD∥BC，理由：因为△ADF≌△CBE，

所以∠ADF＝∠CBE(____________________)．
又因为点E，B，D，F在同一条直线上，
所以∠CBE＋________＝180°，∠ ADF＋∠ADB＝
所以________＝∠ADB(等角的补角相等)，
所以AD∥BC(______________________)． 图1－4－7
180°，

11．如图1－4－8，在△ABC中，D，E分别是 AC，BC上的点．若
△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°

图1－4－8 图1－4－9


12．如图1－4－9，△ABC≌△AED，点B，C，D，E在同一条直线上，那么图中 相
等的角有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
13．[2018·绍兴期末改编]如图1－4－10，△ ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝
100°，BC，DE相交于点F，BC，AD相交 于点G，则∠DFB的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°

图1－4－10 图1－4－11
< br>14．如图1－4－11所示，C为直线BE上一点，△ABC≌△ADC，∠DCF＝∠ECF，
则AC和CF的位置关系是________．

15．已知：如图1－4－12，△AB C≌△A′B′C，∠A∶∠BCA∶∠ABC＝3∶10∶5，
点B′，C，A在同一条直线上，点A ′，B，B′在同一条直线上，求∠A′和∠B′BC的度数．

图1－4－12



16．如图1－4－13，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠ D＝20°，∠EAB＝
105°，点B，C，E在同一直线上，CE交AD于点F，求∠BFD和∠B ED的度数．

图1－4－13


17．如图1－4－14所示，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)求证：BD＝DE＋CE；
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？并说明理由．

图1－4－14






18．已知：如图1－4－15，在 △ABC中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点，
点P在线段BC上以3厘米/秒的速度 由点B向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由点
C向终点A以a厘米/秒的速度运动，当其中一点到 达终点时，另一点也随之停止运动，设
运动的时间为t秒．
(1)求CP的长(用含t的代数式表示)；
(2)若存在t的值，使以C，P，Q为顶点的 三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，
且∠B和∠C是对应角，求a的值．

图1－4－15






教师详解详析
1．C
2．C [解析] 根据“全等图形是能够重合的两个图形”进行分析判断．
3．C
4．△ADC AD AC ∠DCA
5．A
6．C [解析] 根据全等三角形的对应关系，得BC＝BE，所以BF＝BC－CF＝BE－
CF＝10－4＝6.故选C.
7．A [解析] 在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴∠B， ∠C不能等于100°，∴与这个100°
角对应相等的角是∠A.
8．130
9．19 [解析] ∵AB＝5，BC＝6，AC＝8，
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝5＋6＋8＝19.
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC的周长，
∴△DEF的周长是19.
10．全等三角形的对应角相等 ∠CBD ∠CBD 内错角相等，两直线平行
11．D [解析] ∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠C＝∠DBC＝∠ABD，∠A＝∠DEB＝∠DEC.
∵∠DEB＋∠DEC＝180°，
∴∠A＝∠DEB＝90°，
∴∠C＋∠DBC＋∠ABD＝180°－∠A＝90°，
∴∠C＝30°.

12．C [解析] ∵△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAD，∠ACB＝∠ADE.
∵∠DCA＝∠BAC＋∠B， ∠CDA＝∠EAD＋∠E，∠BAD＝∠BAC＋∠CAD，∠CAE
＝∠EAD＋∠CAD，
∴∠DCA＝∠CDA，∠BAD＝∠CAE，
∴图中相等的角有5对．
13．B [解析] 根据全等三角形的对应关系，得∠D＝∠B，∠BAC＝∠DAE，所以
∠DAB＝∠EA C＝(∠BAE－∠DAC)÷2＝20°.又因为∠D＝∠B，∠BGA＝∠DGF，所以根
据三角形 内角和定理，可知∠DFB＝∠DAB＝20°.
14．垂直 [解析] ∵△ABC≌△ADC，
1
∴∠ACB＝∠ACD，∴∠ACD＝∠BCD.
2
1
∵∠DCF＝∠ECF，∴∠DCF＝∠DCE，
2
11∴∠ACD＋∠DCF＝(∠BCD＋∠DCE)＝×180°＝90°，即∠ACF＝90°，
22
∴AC⊥CF，∴AC和CF的位置关系是垂直．
15．∠A′＝30°，∠B′BC＝50°
16．解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB＝∠EAD.
∵∠CAD＝35°，
且∠CAD＋∠EAD＋∠CAB＝∠EAB＝105°，
1
∴∠CAB＝∠EAD＝×(105°－35°)＝35°，
2
∴∠BFD＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°，
∴∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.

17．解：(1)证明：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE.
又∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.
(2)当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.
理由：∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°－90°＝90°.
又∵△BAD≌△ACE，
∴∠CEA＝∠ADB＝90°，
∴∠CEA＝∠BDE，∴BD∥CE.
18．解：(1)∵BP＝3t厘米，BC＝8厘米，
∴CP＝(8－3t)厘米．

(2)①若△BDP≌△CPQ，则BD＝CP.
∵AB＝10厘米，D为AB的中点，
∴BD＝5厘米，
∴5＝8－3t，解得t＝1.
∵△BDP≌△CPQ，
∴BP＝CQ，即3×1＝a·1，解得a＝3.
4
②若△BDP≌△CQP，则BP＝CP，即3t＝8－3t，解得t＝.
3
∵△BDP≌△CQP，∴BD＝CQ，
415
即5＝a，解得a＝.
34
15
综上所述，a的值为3或.
4

1．5 三角形全等的判定
第1课时 “边边边”判定方法

知识点1 三角形的稳定性
1．如图1－5－1所示，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其
不变 形，这种做法的根据是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．长方形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性 图1－5－1
2．在生产和生活中：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜< br>钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门．其中用到三角形的稳定性的有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
知识点2 利用“SSS”判定三角形全等
3．如图1－5－2，已知△ABC，则如图1－5－3所示的三角形 中，与△ABC全等的是
( )

图1－5－2 图1－5－3
4．如图1－5－4，已知CA＝BD，利用“SSS”判定△ABD≌△DCA时，还需添加的条件
是__________．


图1－5－4 图1－5－5
5 ．如图1－5－5所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，则∠ADB的度
数为__ ______°.




6．如图1－5－6，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.求证：△ACD≌△CBE.
证明：∵C是AB的中点，
∴________＝________．
AD＝CE ，
?
?
在△ACD和△CBE中，∵
?
CD＝BE，

?
?
＝ ，
∴△ACD≌△CBE( )． 图1－5－6
7．已知：如图1－5－7，AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF.求证：∠B＝∠C.
证明：∵CE＝BF(________)，
∴CE＋EF＝BF＋EF，
即CF＝BE.
在△ABE和△DCF中，
AB＝ （ ），
?
?
∵
?
＝DF（ ），

?
?
BE＝ ，
∴△ABE≌△DCF(________)，
∴∠B＝∠C(____________________________)． 图1－5－7
8．2018·贵州如图1－5－8，点A，D，C，B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，

CE＝DF，求证：AE∥FB.

图1－5－8






知识点3 用尺规作已知角的平分线
9．2017·台州期末如图1－5－9，小敏做了一个角平分仪ABCD，其
中AB＝AD，BC＝DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB
和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE
就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可
得△ABC≌△ADC，这样就有∠QRE＝∠PRE.说明△ABC≌△ADC的依据
是____________． 图1－5－9

10．已知∠α(如图1－5－10)，用直尺和圆规作∠α的平分线．(不 用写作法，保留作图
痕迹)

图1－5－10








11．如图1－5－11，下列条件中，不能判定△ABD和△CBD全等的是( )
A．AB＝BC，AD＝CD B．沿BD对折后，点A，C重合
C．AB＝DC，AD＝BC D．AB＝AD，BC＝DC
12．如图1－5－12，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下< br>列结论错误的是( )
A．△ABE≌△ACD B．BD＝CE C．∠ACE＝30° D．∠1＝70°
13．如图1－5－13，王师傅用4根木条钉成 一个四边形木架，要使这个木架不变形，
他至少需再钉上木条的根数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3

图1－5－11 图1－5－12 图1－5－13 图1－5－14
14．在如图1－5－14所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形， △ABC
是格点三角形(即顶点恰好是小正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点
三角形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图1－5－15，已知点B，C，D，E在同一条直线上，且AB＝AE，AC＝AD，