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2020年11月29日发(作者：申佳允)

老梁试卷高一数学必修一综合

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（5.00分）已知集合A={x|x＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）

A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4）

2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（ ）

2
A． B． C． D．

3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（ ）

A． B．3 C．或3 D．或3

4．（5.00 分）已知奇函数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取
值范 围为（ ）

A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或x＞1}

5．（5.00分） 已知函数f（x）=log
a
x（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B =f（a+1）﹣f
（a），C=f'（a+1），则（ ）

A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A

6．（5.00分）已知函数
是（ ）

A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]

n
，若x，y满足，则的取值范围
7．（5.00分）已 知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）x的图象上，设
，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c

，g（x）=e（e是自然对数的底数），若关于x的
x
8．（5.00分）已知函数f（x） =
方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x
1
、x
2
，且x
1
＜x
2
，则x
2
﹣x
1
的最小值为（ ）


A．（1﹣ln2） B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2）

9．（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至1 00万元的投资收益，为激发开
发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益 x（万元）的增加而增
加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟 合公司奖励方案，
则较适合的函数是（ ）

A．y=+2 B．y= C．y=+ D．y=4lgx﹣3

2
10．（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax+ bx+c与函数y=（）的图象可能是（ ）

x
A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

11．已知log
2
x=log
3
y=log
5
z＜0，则、、由小到大排序为 ．

12．已知函数
3x）＜f（4）的解集为 ．

（a＞0，且a≠ 1），若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x﹣
2
13．函数f（x）=，关于x的方程f （x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数
根，则实数k的取值范围为 ．

14．已知λ∈R，函数（fx）=，当λ=2时，不等式（fx）＜0的解集是 ．若
函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．

三．解答题（共6小题）

15．已知定义域为R的函数f（x）=﹣+
（1）求a的值；

（2）判断函数f（x）的单调性并证明；

（3）若对于任意的t∈（1，2），不 等式f（﹣2t+t+1）+f（t﹣2mt）≤0有解，求m的取值范
围．
22
是奇函数


16．（1）计算：；

（2）已知x+x=2，求的值．




17．已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．




18．已知幂函数f（x）=
（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）当x∈（1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取
值范围．




19．已知函数
﹣
1
在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2﹣k，

x

（1）求函数f（x）的反函数f（x）；

（2）试问：函数f（x）的图象上是否 存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；
若不存在，说明理由；

（ 3）若方程
＜x
2
＜x
3
，且x
3
﹣x
2
=2（x
2
﹣x
1
），求实数a的值．




的三个实数根x
1
、x
2
、x
3满足：x
1

20．如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成 的区域内计划建一条商业街，
其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的 两线段EF、CD，及夹
在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米 2a元，在两线段EF、
CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD=2θ，

（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；

（2）求商业街的总收益的最大值．






老梁试卷高一数学必修一综合

参考答案与试题解析



一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（5.00分）已知集合A={x|x＜16}，B={x|4﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）

2
A．（﹣4，2） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，4）

【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【解答】解：A={x|﹣4＜x＜4}，B={x|x＜2}；

∴A∩B=（﹣4，2）．

故选：A．

【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集的运算．



2．（5.00分）函数f（x）=ln||的大致图象是（ ）

A． B． C．
D．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断

【解答】解∵，

∴f（﹣x）=ln||=﹣ln||=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，排除A，C

当0＜x=e+1，则f（e+1）=ln||=ln|e+2|﹣lne＞0，故排除B，

故选：D．


【点评】本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数 的奇偶性，以函数值的特点，属于
基础题



3．（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（ ）

A． B．3 C．或3 D．或3

【分析】根据f（x）为奇函数即可得出，从而可解出a=±1，从而可 求出f（a）
的值．

【解答】解：f（x）是奇函数；

∴
2x
；

整理得：（2a﹣2）2=0；

∴2a﹣2=0；

∴a=±1；

a=1时，；

2
a=﹣1时，．

故选：C．

【点评】考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法．



4．（5.00分）已知奇函数f（x），当x＞0时单调递增，且f（1）=0，若f（x﹣1）＞0 ，则x的取
值范围为（ ）

A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2} C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或x＞1}

【分析】先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，再将不等式等价变形，
即可得到结论．

【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，


且﹣1＜x＜0或x＞1，f（x）＞0；

x＜﹣1或0＜x＜1，f（x）＜0；

∴不等式f（x﹣1）＞0，

∴﹣1＜x﹣1＜0或x﹣1＞1，

解得0＜x＜1或x＞2，

故选：A．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得 到对称区间得单调性，
属于基础题．



5．（5.00分）已知 函数f（x）=log
a
x（0＜a＜1）的导函数为f'（x），记A=f'（a），B=f （a+1）﹣f
（a），C=f'（a+1），则（ ）

A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．B＞A＞C D．C＞B＞A

【分析】设M坐标为（a，f（a））， N坐标为（a+1，f（a+1）），利用导数及直线斜率的求法得到
A、B、C分别为对数函数在M处 的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数
函数的图象可知大小，得到正确答案．
【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），

则由于B=f（a+1）﹣f（a）=，表示直线MN的斜率，

A=f′（a）表示函数f（x）=log
a
x在点M处的切线斜率，

C=f′（a+1）表示函数f（x）=log
a
x在点N处的切线斜率．

所以，C＞B＞A．

故选：D．

【点评】本题考查三个数的大小 的比较，考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线
斜率的求法，是一道中档题．



6．（5.00分）已知函数
是（ ）

A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]

，若x，y满足，则的取值范围
【分析】先求 出函数y=f（x）的定义域（﹣1，1），并利用定义判断出函数y=f（x）为奇函数，

利用复合函数的单调性判断出函数y=f（x）为减函数，由
，可得到关于x、y的二元一次方程组，然 后利用线性规划的知识可求出
取值范围．

【解答】解：由
所以，函数
，得，解得﹣1＜x＜1，

，得
的
的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，

，
< br>任取x∈（﹣1，1），则﹣x∈（﹣1，1），
所以，函数
令
则内层函数，

在x∈（﹣1，1）上单调递减，

为减函数，

为奇函数，

而外层函数y=lnu单调递增，由复合函数的单调性可知，函数
由，得，

则有，化简得，

做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示，


而代数式表示连接可行域上的点（x，y）与定点P（﹣3，0）两点连线的斜率，


由斜率公式可得直线PC的斜率为
直线PB的斜率为
结合图形可知，
故选：C．

，

的取值范围是（﹣1，1），

，

【点评】本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划，关键在于利用函数的单 调性与奇偶性
得到二元一次不等式组，然后利用线性规划求代数式的取值范围，属于中等题．



7．（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m﹣1）x的图象上 ，设
，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c

3
n
【分析】由幂函数的定义可得m=2 ，n=3，f（x）=x，且f（x）在R上递增，结合对数函数和幂
函数的性质，即可得到a，b，c 的大小关系．

【解答】解：点（m，8）在幂函数f （x）=（m﹣1）x的图象上，

可得m﹣1=1，即m=2，

2=8，可得n=3，

则f（x）=x，且f（x）在R上递增，

由a=f（
0＜＜
），b=f （ln π），c=f（
＜1，ln π＞1，

），

3
n
n
可得a＜c＜b，

故选：A．

【点评】本题考查幂函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题．



x
8．（5.00分）已知函数f（x）=，g（x）=e（e是自然对 数的底数），若关于x的
方程g（f（x））﹣m=0恰有两个不等实根x
1
、x2
，且x
1
＜x
2
，则x
2
﹣x
1< br>的最小值为（ ）

A．（1﹣ln2） B．+ln2 C．1﹣ln2 D．（1+ln2）

【分析】化简方程为f（x）=lnm，作函数f（x），y=lnm的 图象，结合图象可知，存在实数m（0

＜m≤1），使x
2
=e
≥ g（）=
=m，可得x
1
﹣x
2
=m﹣lnm，令g（m）=m﹣l nm，利用导数可得g（m）
，

【解答】解：∵f（x）=
f
（
x
）
，∴f（x）＞0恒成立；

∴g[f（x）]=e=m，∴f（x）=lnm；

作函数f（x），y=lnm的图象如下，

结合图象可知，存在实数m（0＜m≤1 ），使x
2
=e
故x
1
﹣x
2
=m﹣lnm，令g （m）=m﹣
=m

lnm，则g′（m）=1﹣，

故g（m）在（0，]递减，在（，1）递增，∴g（m）≥g（）=
故选：D．

，

【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最 值问题，应用
了数形结合的思想及转化构造的方法．



9．（5 .00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开
发者的潜 能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增
加，同时奖金不超 过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，
则较适合的函数是（ ）

A．y=+2 B．y= C．y=+ D．y=4lgx﹣3

【分析 】由设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，100]时，
① f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立．然后对两个函数模型逐一分析，
对三个条件全部 满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃．