privileges高中数学选修3-1《数学史选讲》论文

2020年11月29日发(作者：尹澄)
高中数学选修3-1《数学史选讲》论文

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【摘要】本论文主要通过论述数学史上的三大危机，来表明一些个人对数学的看法。数学三
大危 机简述：第一，一位学生发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远
无法用最简整数比 来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论，但就
因为这样这个学生也被抛入大海 ；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积
分理论推翻；第三，罗素悖论：S由一切不是 自身元素的集合所组成，那S属于S吗？用通
俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明 到底撒谎还是说实话。罗素悖论
的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识 ，它很简单，轻松
摧毁集合理论！

【关键词】数学史选讲，数学三大危机

【研究内容】
一、第一次数学危机
公元前五世纪古希腊的著名数学家与 哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位
一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯 提出的著名命题“万物皆数”是该学
派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派 的数学信仰。然而，具
有戏剧性的是，由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信 仰的“掘
墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边 长为1的正
方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用< br>一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出
现， 却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使
毕达哥拉斯学派为 之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念 这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的
冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都 可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普
遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时， 这个断言也毫无例外是正确的！可
是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存 在而推翻了！这应该
是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的 是，面
对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方
数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

二、第二次数学危机
导源 于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同
一时期，微积分这一锐 利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现。这一工具一问世，
就显示出它的非凡威力。许许多多 疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，
还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格 的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但
他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。 因而，从微积分诞生时就遭到了
一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。